Utilisateur:Dfeldmann/Impossibilité (mathématiques)

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En mathématiques, la notion d’impossibilité a un sens assez technique, qui implique généralement qu'il est vain d'essayer de s'y opposer de front. Cet article examine les différents cas d'impossibilité rencontrés, et les moyens que les mathématiciens ont parfois pu employer pour les contourner.

Que veut dire « impossible » ?

Pour les mathématiciens (et les logiciens), est d'abord impossible ce qui entraîne une contradiction (logique)^{[réf. nécessaire]} : en effet, dans pratiquement tous les systèmes logiques utilisés, une seule contradiction permet de déduire n'importe quoi (formellement, si P et Q sont des propositions quelconques, on a (P et non-P) ⇒ Q) ; c'est d'ailleurs (en logique classique) le principe du raisonnement par l'absurde. Les logiciens ont ainsi beaucoup disserté sur l'impossibilité du triangle à quatre côtés ^{[réf. nécessaire]}; un polygone ayant trois angles et quatre côtés, bien qu'inimaginable, demande en effet un (petit) raisonnement pour être prouvé contradictoire, et donc impossible ; on s'en convaincra en réfléchissant à l'impossibilité (nettement moins évidente) d'un polyèdre à 6 sommets, 7 faces et 10 arêtes.

La définition précédente ne concerne cependant que les objets et les concepts mathématiques ; une autre sorte d'impossibilité est formulée par des règles telles que celle interdisant la division par zéro ("Tu ne diviseras pas par zéro" a été appelé le 11^ème commandement des mathématiciens), sans doute l'exemple le plus connu de ce genre de contrainte. Déclarer que certaines constructions sont impossibles, ou que certaines propositions ne peuvent être démontrées, peut sembler au non-professionnel relever du même type de loi plus ou moins arbitraire^{[réf. nécessaire]} ; il n'en est rien : ces déclarations correspondent à des théorèmes bien précis, et ne peuvent être remises en question qu'en modifiant le cadre dans lequel elles sont formulées.

Objets impossibles

En règle générale, dire que l'objet A est "impossible par définition" veut dire que A est censé être élément d'un ensemble défini en compréhension (donc de la forme $E=\{x|P(x)\}$, où P est une certaine propriété), et que l'on voudrait que Q(A) soit vrai, où Q est une autre propriété qui implique non-P. Alors, $\exists A,Q(A)etA\in E$ impliquant une contradiction, on en déduit (en raisonnant par l'absurde) que A "n'existe pas", ou "est impossible" : ainsi, le polyèdre du paragraphe précédent contredirait, s'il existait, un théorème général, valable pour tout polyèdre.

C'est pour une raison un peu différente que 1/0 "n'existe pas" : dans des cas de ce genre, la notation est en fait déjà une affirmation de propriétés de l'objet dénoté. Ainsi, dire que $x=1/0$ veut dire en réalité que x est "l'inverse de 0", c'est-à-dire que $0.x=1$, or on démontre aisément que dans tout ensemble de nombres, et même dans tout anneau, on a, pour tout x, $0.x=0$. De même, écrire $x={\sqrt {-1}}$ veut dire que $x^{2}=-1$; cette impossibilité-là est dite relative^{[réf. nécessaire]}, parce que x existe ou non selon l'ensemble de nombres dans lequel on se place.

Les mathématiciens ont parfois rencontré une autre sorte d'objet impossible : ainsi, un infinitésimal, c'est-à-dire un réel infiniment petit, demande déjà à être clairement défini avant que l'on puisse dire ou non s'il existe ; c'est ce que s'étaient bien gardé de faire les analystes du 17^èmesiècle, ce qui leur avait valu les violentes critiques de Berkeley ; dans tous les cas de ce genre, c'est seulement la contradiction entre les différentes propriétés supposées d'un tel objet qui permet de conclure à son inexistence, et cette méthode est en fait fréquement employée dans les démonstrations par l'absurde d'une propriété de la forme $\forall x,P(x)$ : on montre qu'un contre-exemple à P aurait des propriétés contradictoires, ce qui prouve qu'il n'en existe pas.

Un exemple plus moderne est donné par la notion de corps à un élément : il s'agit en fait d'un objet qui aurait (par analogie) certaines des propriétés d'un corps fini à un élément. Un tel corps ne peut évidemment exister, mais le problème est qu'il n'est nullement évident que

Problèmes sans solution

• Jusqu'à la Renaissance^{[réf. nécessaire]}, même la soustraction 2-3 semblait n'avoir pas de sens en Occident (Histoire des nombres négatifs) ; on trouve encore chez Descartes la dénomination de racines fausses pour les solutions réelles, mais négatives, des équations algébriques.

• L'équation $x^{2}=-1$ (dans $\mathbb {R}$)

Constructions impossibles

La quadrature du cercle est sans doute

Formules introuvables, formules absurdes

Les formules (dues respectivement à Cardan et Ferrari) donnant la solution des équations du troisième et du quatrième degré, malgré leur aspect effrayant, sont de même nature que celles, familières, correspondant au second degré ; on pensa d'abord^{[réf. nécessaire]} qu'il en irait de même pour les équations de degré supérieur. Mais après les travaux de Lagrange, certains mathématiciens commencèrent à soupçonner qu'il y avait là une difficulté essentielle^{[réf. nécessaire]}, ce qui allait être confirmé par les travaux de Ruffini, et surtout par le théorème d'Abel montrant que l'équation générale du cinquième degré n'a pas de solution par radicaux (autrement dit, qu'il est impossible de trouver une formule générale analogue aux précédentes) ; Galois devait presque simultanément préciser à quelles conditions une équation particulière pouvait cependant être ainsi résolue. Comme pour les constructions de la section précédente, il ne s'agit cependant bien évidemment que d'une impossibilité relative : si l'on s'autorise d'autres fonctions que les racines n-èmes, ou le recours à des solutions approchées, etc., la difficulté disparait.

Les avancées du calcul différentiel et intégral devaient finir par se heurter à une série de problèmes analogues : si, par exemple, la dérivée de toute fonction élémentaire s'exprime par une formule plus ou moins compliquée, mais ne mettant pas en jeu d'autres fonctions, il n'en va pas de même de ses primitives, ce qui fut source de considérables difficultés^{[réf. nécessaire]} : les mathématiciens, en effet, jusqu'au début du 19^ème siècle, concevaient mal la notion de fonction « générale ». La primitive de $e^{-x^{2}}$, par exemple, « n'existe pas » (ou plutôt ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions élémentaires ; c'est une conséquence d'un théorème de Liouville) ; elle apparaît pourtant si souvent dans les applications pratiques (en particulier en statistiques) qu'on lui a donné un nom : c'est (à une constante près) la fonction erf.

Euler s'est autorisé à écrire, par exemple, $1+2+4+8+\cdots =-1$; on trouvera dans l'article série divergente les justifications qui en ont été données par lui-même et ses continuateurs dans cette voie, tels que Abel et Borel. Il faut évidemment une intuition exceptionnelle pour éviter les contradictions flagrantes qui en résultent ; une célèbre controverse analogue s'était déjà élevée en 1712 entre Jean Bernoulli et Leibniz pour savoir quelle valeur attribuer au logarithme des nombres négatifs, Bernoulli faisant remarquer qu'on devait avoir $\ln((-1)^{2})=2\ln(-1)=\ln 1=0$, et donc $\ln(-a)=\ln(-1)+\ln a=\ln a$, tandis que Leibniz soutenait (sans pouvoir en déterminer la valeur exacte) que $\ln(-1)$ devait être imaginaire. Euler, dans une remarquable analyse, affirma en 1750 que la contradiction se résolvait si l'on admettait pour le logarithme complexe plusieurs valeurs (dont celle donnée par sa formule, $\ln(-1)=i\pi$).

Propositions indémontrables

Il est clair que les mathématiques ne sauraient tout démontrer : il faut bien partir de quelque part. La systématisation de cette considération de bon sens a donné naissance à la méthode axiomatique, mais Euclide s'était déjà rendu compte de cette nécessité, et avait rédigé les Élements en partant d'une liste de postulats, c'est-à-dire de résultats fondamentaux non démontrés, et qu'il est demandé au lecteur d'accepter, afin de pouvoir ensuite en déduire tout le reste. Le cinquième postulat, notre « axiome des parallèles », toujours ressenti comme moins naturel que les autres, et ressemblant plutôt à l'énoncé d'un théorème dont il manquerait la démonstration^{[réf. nécessaire]}, allait donner naissance à de nombreuses tentatives pour le prouver, toutes échouant, ou pire, entachées d'erreurs logiques plus ou moins graves.

Le développement des géométries non euclidiennes au 19^ème siècle, puis la démonstration de leur cohérence à l'aide de modèles euclidiens allaient définitivement démontrer (on parle de métathéorème) que le postulat n'était pas démontrable, ouvrant la voie à la position contemporaine : la géométrie euclidienne n'est ni meilleure ni pire que les autres, elle utilise simplement un jeu d'axiomes différents, et ce n'est que pour telle ou telle application non mathématique que l'on sera amené à la préférer ou non .

Cependant, la question de savoir ce qui, exactement, était démontrable, était ainsi ouverte ; au congrès de 1900, David Hilbert, commentant ses vingt-trois problèmes, affirma sa conviction qu'ils étaient tous solubles : « ...nous entendons toujours cet appel qui nous dit : voici le problème ; cherche sa solution. Tu peux la trouver par la raison seule, car en mathématiques, il n'y a pas d'ignorabimus », conviction qui allait ironiquement être particulièrement mise à mal par les travaux de Gödel sur son deuxième problème, en 1931. Quand à l'hypothèse du continu (le premier de ses problèmes), les efforts infructueux pour la démontrer s'expliquèrent en 1960, avec les travaux de Paul Cohen montrant son indécidabilité dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.

On a, au demeurant, souvent fait remarquer^{[réf. nécessaire]} qu'il y a en fait là deux notions bien différentes d'indémontrabilité : le résultat de Cohen montre seulement que les axiomes de ZFC ne suffisent pas pour décider de la vraie valeur de $2^{\aleph _{0}}$, et Woodin a proposé de nouveaux axiomes plausibles qui permettent par exemple de démontrer que $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$. En revanche, la nature même des résultats de Gödel induit une notion d'impossibilité absolue : quels que soient les nouveaux axiomes qu'on propose, par exemple, il restera toujours des polynômes pour lesquels le dixième problème de Hilbert n'aura pas de solution, c'est-à-dire que la question de savoir si ce polynôme s'annule ou non (pour des valeurs entières) des variables restera indécidable.

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Liens externes

• Aspects mathématiques de l'impossible
• Impossible, sur le site du CNRS Images des maths
• Les théorèmes de l'impossible, article de Ian Stewart dans Pour la science

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