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En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités , la transformée de Cramér (du mathématicien Harald Cramér ) correspond à la transformée de Legendre-Fenchel de la fonction génératrice des cumulants d'une loi de probabilité .
Cette notion intervient dans l'étude de grandes déviations . Plus précisément, la transformée de Cramér constitue la fonction de taux dans le théorème de Cramér .
Soit
X
{\displaystyle X}
variable aléatoire réelle de loi
μ
{\displaystyle \mu }
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
K
(
t
)
=
ln
E
[
e
t
X
]
∈
R
∪
{
+
∞
}
∀
t
∈
R
{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{tX}]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} }
La transformée de Cramér de
μ
{\displaystyle \mu }
K
∗
{\displaystyle K^{*}}
transformée de Legendre de
K
{\displaystyle K}
K
∗
(
x
)
=
sup
t
∈
R
{
t
x
−
K
(
t
)
}
∈
R
+
∪
{
+
∞
}
∀
x
∈
R
{\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in \mathbb {R} }\,\{tx-K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in \mathbb {R} }
On peut généraliser la définition dans le cas où
X
{\displaystyle X}
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
K
{\displaystyle K}
K
(
t
)
=
ln
E
[
e
⟨
t
,
X
⟩
]
∈
R
∪
{
+
∞
}
∀
t
∈
R
d
{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}}
où
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
produit scalaire canonique sur
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
μ
{\displaystyle \mu }
transformée de Legendre-Fenchel de
K
{\displaystyle K}
K
∗
(
x
)
=
sup
t
∈
R
d
{
⟨
t
,
x
⟩
−
K
(
t
)
}
∈
R
+
∪
{
+
∞
}
∀
x
∈
R
d
{\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in \mathbb {R} ^{d}}\,\{\langle t,x\rangle -K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in \mathbb {R} ^{d}}
Définition pour un espace localement convexe séparé [ modifier | modifier le code ] On peut pousser encore la généralisation dans le cas où
X
{\displaystyle X}
espace localement convexe séparé
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
tribu borélienne . Dans ce cas la fonction génératrice des cumulants
K
{\displaystyle K}
K
(
t
)
=
ln
E
[
e
⟨
t
,
X
⟩
]
∈
R
∪
{
+
∞
}
∀
t
∈
X
′
{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in {\mathcal {X}}'}
où
X
′
{\displaystyle {\mathcal {X}}'}
dual topologique de
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
⟨
t
,
X
⟩
=
t
(
X
)
{\displaystyle \langle t,X\rangle =t(X)}
μ
{\displaystyle \mu }
transformée de Legendre-Fenchel de
K
{\displaystyle K}
K
∗
(
x
)
=
sup
t
∈
X
′
{
⟨
t
,
x
⟩
−
K
(
t
)
}
∈
R
+
∪
{
+
∞
}
∀
x
∈
X
{\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in {\mathcal {X}}'}\,\{\langle t,x\rangle -K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in {\mathcal {X}}}
La transformée de Cramér est toujours positive (elle vaut éventuellement plus l'infini) et semi-continue inférieurement . C'est donc une fonction de taux .
La transformée de Cramér est toujours convexe .
Si
Y
=
X
+
c
{\displaystyle Y=X+c}
c
∈
X
{\displaystyle c\in {\mathcal {X}}}
K
Y
(
t
)
=
K
X
(
t
)
+
⟨
t
,
c
⟩
{\displaystyle K_{Y}(t)=K_{X}(t)+\langle t,c\rangle }
K
Y
∗
(
x
)
=
K
X
∗
(
x
−
c
)
{\displaystyle K_{Y}^{*}(x)=K_{X}^{*}(x-c)}
Si
Y
=
a
X
{\displaystyle Y=aX}
a
∈
R
∗
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}}
K
Y
(
t
)
=
K
X
(
a
t
)
{\displaystyle K_{Y}(t)=K_{X}(at)}
K
Y
∗
(
x
)
=
K
X
∗
(
x
/
a
)
{\displaystyle K_{Y}^{*}(x)=K_{X}^{*}(x/a)}
Loi
Paramètres
Fonction génératrice des cumulants
K
{\displaystyle K}
Transformée de Cramér
K
∗
{\displaystyle K^{*}}
Loi de Bernoulli
p
∈
]
0
,
1
[
{\displaystyle p\in \left]0,1\right[}
ln
(
p
e
t
+
1
−
p
)
{\displaystyle \ln(pe^{t}+1-p)}
{
x
ln
(
x
p
)
+
(
1
−
x
)
ln
(
1
−
x
1
−
p
)
si
x
∈
[
0
,
1
]
+
∞
sinon
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x\ln \left({\frac {x}{p}}\right)+(1-x)\ln \left({\frac {1-x}{1-p}}\right)&{\text{ si }}x\in [0,1]\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}
Loi de Rademacher
ln
cosh
(
t
)
{\displaystyle \ln \cosh(t)}
{
1
+
x
2
ln
(
1
+
x
)
+
1
−
x
2
ln
(
1
−
x
)
si
x
∈
[
−
1
,
1
]
+
∞
sinon
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1+x}{2}}\ln \left(1+x\right)+{\frac {1-x}{2}}\ln \left(1-x\right)&{\text{ si }}x\in [-1,1]\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}
Loi de Poisson
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
λ
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle \lambda (e^{t}-1)}
{
λ
−
x
+
x
ln
(
x
λ
)
si
x
≥
0
+
∞
sinon
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\lambda -x+x\ln \left({\frac {x}{\lambda }}\right)&{\text{ si }}x\geq 0\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}
Loi exponentielle
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
t
λ
−
1
{\displaystyle {\frac {t}{\lambda }}-1}
{
λ
x
−
1
−
ln
(
λ
x
)
si
x
>
0
+
∞
sinon
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\lambda x-1-\ln \left(\lambda x\right)&{\text{ si }}x>0\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}
Loi normale
m
∈
R
,
σ
2
>
0
{\displaystyle m\in \mathbb {R} ,\,\sigma ^{2}>0}
m
t
+
σ
2
t
2
2
{\displaystyle mt+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}
(
x
−
m
)
2
2
σ
2
{\displaystyle {\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}
(en) Amir Dembo et Ofer Zeitouni, Large deviations techniques and applications , vol. 38, New York, Springer-Verlag, coll. « Applications of Mathematics », 1998 , 2e éd. (ISBN 0-387-98406-2 Math Reviews (en) Achim Klenke , Probability Theory—A Comprehensive Course , London, Springer, 2008 (ISBN 978-1-84800-047-6 
![{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{tX}]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99dfd0436067aca512cb20d6981c6d86aed10dd)
![{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8fa26897ee8d3a7cddc688fb202885f7e44c80)
![{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in {\mathcal {X}}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9750c475de40e82d8f549681411b4f6ba2f4a20)
![{\displaystyle p\in \left]0,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d00558eab93aa70de150faece10dc0ef6df8a6)
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x\ln \left({\frac {x}{p}}\right)+(1-x)\ln \left({\frac {1-x}{1-p}}\right)&{\text{ si }}x\in [0,1]\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3995f0226d0522c9fc56551a1e273fe1f3584992)
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1+x}{2}}\ln \left(1+x\right)+{\frac {1-x}{2}}\ln \left(1-x\right)&{\text{ si }}x\in [-1,1]\\+\infty &{\text{ sinon}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2bac16a51f49e76b8f7692989aed4dc08691a9)
