Fibré principal

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En topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est une fibration, mais c'est bien plus encore. Il vient avec un groupe, le groupe structural, décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des fibrés vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques… Les fibrés principaux sont particulièrement importants dans l'étude des classes caractéristiques en topologie algébrique.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe topologique qui agit continuement et librement à droite sur un espace topologique F.

Un fibré M sur X de fibre F et de groupe structural G est la donnée d'une application continue surjective \pi:M\rightarrow X, appelée la projection, telle que :

Pour tout point x de X, il existe un voisinage ouvert Ux de x dans X, et un homéomorphisme (\pi,\Phi_x):\pi^{-1}(U_x)\rightarrow U_x\times F, appelé trivialisation locale au-dessus de U.
Pour deux points x et y, il existe une application continue f_{xy}:U_x\cap U_y\rightarrow G, appelée fonction de transition, telle que, pour tout m dans \pi^{-1}(U_x\cap U_y), on ait :
\Phi_y(m)= \Phi_x(m)\cdot f_{xy}(\pi(m))

Selon le contexte, la définition peut se vouloir plus restrictive vis-à-vis des structures. En particulier, en géométrie différentielle, on demande que les espaces X et M soient des variétés, le groupe G un groupe de Lie et l'application et l'action différentiables. Mais essentiellement, la définition est la même.

Un fibré de groupe structural G et de fibre F est obtenu de la manière suivante. Considérons une famille (Ui) d'ouverts de X, et des applications f_{ij}:U_i\cap U_j\rightarrow G vérifiant :

  • pour tout i, l'application fii est l'identité ;
  • pour tous i, j, fij−1 = fji ;
  • pour tous i, j et k, fijfjk = fik (condition de cocyle).

Un fibré G-principal est un fibré sur X, de groupe structural G, et de fibre G, où l'action de G sur G est l'application de multiplication à droite. De manière équivalente, un fibré G-principal est un espace topologique M sur lequel agit continument et librement à droite le groupe topologique G, de quotient M/G = X. Cette caractérisation est valable en géométrie différentielle sous l'hypothèse que le quotient soit une variété.

Le fibré des repères[modifier | modifier le code]

La classification des fibrés principaux de groupe structural GLn sur X équivaut à la classification des fibrés vectoriels réels de rang n sur X.

Applications :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]