Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctions

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : $-\infty \leq a<b\leq +\infty$) et $f:\left]a,b\right[\to \mathbb {R}$ une fonction croissante. Alors :

• f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon ;
• f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon ;
• f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite, qu'on note respectivement f(x^–) et f(x⁺) ; elles sont finies et vérifient $f(x^{-})\leq f(x)\leq f(x^{+})$.

Plus généralement :

Soient $D$ une partie de $\mathbb {R}$, $f:D\to \mathbb {R}$ une application croissante et $a\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$.

• Si $a$ est adhérent à $D\cap ]-\infty ,a[$ alors$\lim _{a^{-}}f=\sup f(D\cap ]-\infty ,a[)$.
• Si $a$ est adhérent à $D\cap ]a,+\infty [$ alors$\lim _{a^{+}}f=\inf f(D\cap ]a,+\infty [)$.

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par –f ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « +∞ » et « –∞ ».

Énoncé pour les suites

Lorsqu'on prend $D=\mathbb {N}$ et $a=+\infty$ dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit $u=\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite croissante de réels. Alors, $\lim u=\sup u(\mathbb {N} )$. Par conséquent :

• si la suite est majorée alors elle est convergente ;
• si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant $u$ par $-u$.

Articles connexes

• Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.
• Théorème de la bijection (version forte), utilisant parfois le théorème de la limite monotone pour établir la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.