Pont brownien

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Simulations de deux ponts browniens standard indépendants (en rouge et en vert)

Un pont brownien standard est un objet Mathématique de la théorie des Probabilités. C'est un processus stochastique à temps continu de loi celle d'un processus de Wiener et conditionné à s'annuler en 0 et en 1.

À ne pas confondre avec l'excursion brownienne.

Le pont brownien standard est ainsi également appelé "mouvement brownien attaché" ("tied down Brownian motion" en anglais), "mouvement brownien attaché en 0 et 1" ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou "mouvement brownien épinglé" ("pinned Brownian motion" en anglais).

Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l'évènement \scriptstyle [B_{t_1}=a , B_{t_2}=b].


Définition[modifier | modifier le code]

Un pont brownien standard est un processus stochastique \scriptstyle (B_t,t \geq 0) à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l'évènement \scriptstyle B_0=B_1=0.

Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur \scriptstyle  (B_{t_1},...,B_{t_n}), conditionnellement à \scriptstyle B_1=0, est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance :

 \forall 0\leq t\leq 1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbb E[B_t|B_1=0]=0,
 \forall 0\leq s< t\leq 1, \,\, cov(B_s,B_t|B_1=0)=s(1-t).

Remarque sur la définition

L'évènement \scriptstyle  [B_1=0] est de probabilité nulle. Considérons alors l'évènement \scriptstyle [|B_1|< \varepsilon] qui vérifie

 \forall \varepsilon>0, \mathbb P[|B_1|<\varepsilon]>0.

On peut ainsi considérer la loi conditionnelle \scriptstyle  \mathbb P[\cdot||B_1|<\varepsilon] du mouvement brownien sachant \scriptstyle |B_1|<\varepsilon . La convergence en loi suivante (Propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley[1]):

 \mathbb P [\cdot | |B_1|<\varepsilon] \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \mathbb P [\cdot | |B_1|=0]

permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien.


Relations avec d'autres processus stochastiques[modifier | modifier le code]

Relations avec le mouvement brownien[modifier | modifier le code]

Propriété 1

Si \scriptstyle (W_t,t \geq 0) est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus \scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) défini par :

 \displaystyle B_t = W_t - t W_1

est un pont brownien standard.

Réciproque

Si \scriptstyle (B_t, 0 \leq t \leq 1) est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus \scriptstyle (W^1_t,t \geq 0) et \scriptstyle (W^2_t,t \geq 0) définis par :

W^1_t=B_t+tZ     et     W^2_t=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z

sont des processus de Wiener pour \scriptstyle t \in[0,1] et \scriptstyle t\in[0,T], respectivement.

Propriété 2

Si \scriptstyle (W_t,t\geq 0) est un processus de Wiener, alors le processus \scriptstyle (B_t,0 \leq t\leq 1) défini par :

 B_t = (1-t)W_{\frac{t}{1-t}}

est un pont brownien standard.

Réciproque

Si \scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) est un pont brownien standard, alors le processus \scriptstyle (W_t,t \geq 0) défini par :

W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}

est un processus de Wiener.

Relations avec l'excursion brownienne[modifier | modifier le code]

en haut : simulation d'un pont brownien standard (en utilisant la Propriété 1). Le changement de couleur correspond à l'emplacement du minimum.
en bas : simulation de l'excursion brownienne associée (en utilisant la Propriété 3).


Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire de l'autre[2].

Définissons la transformée de Verwaat \scriptstyle V(f,T,\sigma) d'une fonction continue \scriptstyle f:[0,T]\mapsto \mathbb R.

 \displaystyle V(f,T,\sigma)(t)  =  f(\sigma+t)-f(\sigma)             si  0\leq t\leq T-\sigma
                             \displaystyle = f(\sigma+t-T)-f(\sigma)    si  T-\sigma\leq t\leq 1.

Intuitivement, la trajectoire de \scriptstyle V(f,T,\sigma) est celle de \scriptstyle f sur [0,T] mais coupée au temps σ et où les deux parties sont inversées.


Propriété 3

\scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) désigne un pont brownien standard et \scriptstyle \xi le temps aléatoire (presque sûrement unique) où B atteint son minimum. Alors le processus \scriptstyle  e(t), 0 \leq t\leq  1) défini par \scriptstyle e(t)=V(B,1,\xi)(t) a pour la loi celle de l'excursion normalisée du mouvement brownien. De plus \scriptstyle \xi est indépendante de e et est de loi uniforme sur [0,1].


Intuitivement, l'excursion brownienne normalisée est construite à partir d'un pont brownien en le coupant en son minimum et en inversant les deux parties obtenues.

Réciproque

\scriptstyle (e(t),0 \leq t \leq 1) désigne une excursion normalisée du mouvement brownien et η une variable aléatoire indépendante de e et de loi uniforme sur [0,1]. Alors le processus \scriptstyle (B_t,0 \leq t\leq 1) défini par Bt=V(e,1,η)(t) a pour loi celle du pont brownien. De plus 1-η est l'unique temps en lequel B atteint son minimum.


Expression sous forme de diffusion[modifier | modifier le code]

Le pont brownien peut être exprimé comme un processus de diffusion. En effet, si W est un mouvement brownien standard, la solution de l'équation différentielle stochastique


dX_t=dW_t-\frac{X_t}{1-t}dt

munie de la condition initiale X_0=0 a la même loi que le pont brownien.

Notamment, le processus X est markovien, ce qui n'est pas clair à partir de la définition de X comme mouvement brownien conditionné par sa valeur finale.

Propriétés[modifier | modifier le code]

\scriptstyle  (B_t,0 \leq t \leq 1) désigne un pont brownien standard.

Propriété 4

Soit b un nombre réel.

 \mathbb P\left[\hbox{il existe }t\in[0,1]\hbox{ tel que }B_t=b\right]=e^{-2b^2}.

Propriété 5

Soit b un nombre réel strictement positif.

 \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} |B_t| \geq b\right]=2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^2b^2}.

Propriété 6

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs.

 \mathbb P\left[-a < B_t < b \, , \forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left[e^{-2m^2(a+b)^2}-e^{-2((m+1)a+mb)^2}\right].

Propriété 7

Soit x un nombre réel strictement positif.

 \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} B_t -\inf_{t\in[0,1]} B_t \geq x\right]=2\sum_{m\geq 1}(4m^2x^2-1)e^{-2m^2x^2}.

Approximation du pont brownien[modifier | modifier le code]

Le pont brownien est le processus stochastique limite dans le théorème de Donsker.

Il apparaît également dans le test de Kolmogorov-Smirnov.


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, [University Press],‎ 2002 (ISBN 0-511-02958-6)
  2. Ph. Biane, Relations entre pont et excursion du mouvement Brownien réel, Annals de l'IHP, section B, tome 22, n°1 (1986), p. 1-7 {http://archive.numdam.org/article/AIHPB_1986__22_1_1_0.pdf}
  • Paul Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ISBN 0-387-00451-3, Springer-Verlag New York, 2004.