Théorème de Vaschy-Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu $p = n - k$ variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Énoncé de Vaschy

Soit $a_1$, $a_2$, $a_3$,…$a_n$ des quantités physiques, dont les $p$ premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les $(n-p)$ dernières à des unités dérivées des $p$ unités fondamentales (par exemple $a_1$ peut être une longeur, $a_2$ une masse, $a_3$ un temps, et les $(n-3)$ autres quantités $a_4$, $a_5$,…$a_n$ seraient des forces, des vitesses, etc.; alors $p=3$). Si entre ces $n$ quantités il existe une relation :

$F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,$

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en $(n-p)$ paramètres au plus, soit:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,$

les paramètres $x_1$, $x_2$,…$x_n$ étant des fonctions monomes de $a_1$, $a_2$,…$a_n$ (par exemple $x_1=Aa_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}$).

Démonstration de Vaschy

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités $a_{p+1}$, $a_{p+2}$,…$a_n$ étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants $\alpha$, $\beta$,… $\alpha'$, $\beta'$… tels que les valeurs numériques des rapports

$\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,$

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport $\frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}}$ auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,$

peut s'écrire:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0,$

ou plus simplement

$f(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités $a_1$, $a_2$,… $a_p$ dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de $x_1$, $x_2$,… $x_{n-p}$ ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de $a_1$, $a_2$,… $a_p$, doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Généralisation.

Dans l'énoncé de Vaschy, les $p$ premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les $p$ premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimension de ces quantités ne peut être écrite comme une fonction monome des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique $\rho$, une aire $A$, une vitesse $V$ et une accélération $a$. Les variables $\rho$, $A$ et $V$ sont dimensionnellement indépendante par contre les variables $A$, $V$ et $a$ ne le sont pas car $[a]=[V]^2[A]^{-1/2}$

Origine du nom "Théorème $\Pi$"

Ce théorème est aussi nommé "Théorème $\Pi$" car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre $\Pi$ pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham.

Exemple d'application

Démonstration de la 3^e loi de Kepler

Soit un objet de masse $m_p$ (une planète), en orbite elliptique de demi grand axe $a$ et de période $T$ autour d'un objet de masse $m_s$ (Soleil), masse beaucoup plus élevée que la masse du premier objet de telle sorte que l'on puisse considérer que ce dernier est fixe dans l'espace. Nous cherchons à obtenir une relation liant la période de rotation à la longueur du demi grand axe.

D'après la loi de la gravitation universelle, en notant $\mathbf{r}$, le vecteur ayant pour origine le soleil et extrémité la planète, on a la relation :

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{G\cdot m_s\cdot \mathbf{r}}{\Vert\mathbf{r}\Vert^3}.$

On en déduit donc que notre problème est indépendant de la masse de la planète, $m_p$.

Ainsi notre problème peut s'écrire sous la forme :

$f(m_s,G,T,a)=0$.

Nous avons donc un problème dépendant de 4 paramètres physiques dépendants de 3 unités fondamentales (ou dimensions) : la masse, $\mathcal{M}$; le temps, $\mathcal{T}$; la longueur $\mathcal{L}$. Notre problème dépend donc d'une seule variable adimensionnelle que l'on peut nommer $\Pi$.

Les dimensions des 4 variables physiques sont:

• $[m_s]=\mathcal{M}$
• $[G]=\mathcal{L}^3\mathcal{M}^{-1}\mathcal{T}^{-2}$
• $[T]=\mathcal{T}$
• $[a]=\mathcal{L}$

On peut donc choisir $\Pi=\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$, et notre problème peut s'écrire:

$F(\Pi)=0$.

Donc $\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$ est une constante, valable dans tout système planétaire où la masse de l'étoile est très grande devant celle des planètes et où les planètes décrivent des trajectoires elliptiques.

Références

• Généralisation du théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes

Voir aussi

• Adimensionnement
• Ordre de grandeur
• Ordre de grandeur littéral
• Système d'unités naturelles
• Analyse dimensionnelle
• Nombre sans dimension