Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit \scriptstyle f(x)=\sum_{n\ge0}a_n x^n une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à R.

Si la série \scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n R^n converge, alors la limite \scriptstyle\lim_{x\to R^-}f(x) existe et est égale à la somme de cette série.

Remarque : dans le cas où la série \scriptstyle\sum a_n R^n est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, \scriptstyle\sum a_n x^n converge normalement donc uniformément sur [0, R] ; on retrouve immédiatement :

\lim_{x\to R^-}\left(\sum_{n\ge0}a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}\left(\lim_{x\to R^-} a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}a_n R^n.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple (1) :

Soit

f(x)=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^n}n=\ln(1+x).

Comme \textstyle\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit du théorème d'Abel que :

\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n=\lim_{x\to1^-}f(x)=\ln2.
Exemple (2) :

Soit

g(x)=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}=\arctan(x).

Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que \textstyle\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1} converge, d'où :

\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{x\to1^-}g(x)=\arctan(1)=\frac\pi4.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Quitte à effectuer un changement de variable linéaire u=x/R, on peut considérer uniquement le cas R=1. De plus (en ajoutant une constante à a_0) on se ramène au cas \scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n=0. Notons S_n les sommes partielles de la série \scriptstyle\sum a_n. On a donc par hypothèse \scriptstyle\lim_{n\to\infty}S_n=0 et l'on doit montrer que \scriptstyle\lim_{x\to1^-}f(x)=0.

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Considérons \scriptstyle x\in]0,1[. On a (avec la convention S_{-1}=0) :

\sum_{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^NS_n(x^n-x^{n+1})+S_Nx^{N+1}.

Comme la suite S_N est bornée (car convergente), on en déduit que

f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n.

Soit ε > 0. Il existe alors N_0 tel que |Sn| ≤ ε pour tout n>N_0, d'où :

|f(x)|\le(1-x)\left|\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right|+(1-x)~\varepsilon\sum_{n=N_0+1}^\infty x^n=(1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert +\varepsilon x^{N_0+1}.

Le majorant tend vers ε quand x tend vers 1, donc est inférieur à 2ε pour x assez proche de 1.

Réciproque partielle[modifier | modifier le code]

Tauber (de)[1] a démontré en 1897[2] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[3]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  2. (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ 1897, p. 273–277
  3. Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux exemples ci-dessus.

Articles connexes[modifier | modifier le code]