Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé

Théorème — Soit $\scriptstyle f(x)=\sum_{n\ge0}a_n x^n$ une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à $R$.

Si la série $\scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n R^n$ converge, alors la limite $\scriptstyle\lim_{x\to R^-}f(x)$ existe et est égale à la somme de cette série.

Remarque : dans le cas où la série $\scriptstyle\sum a_n R^n$ est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, $\scriptstyle\sum a_n x^n$ converge normalement donc uniformément sur $[0, R]$ ; on retrouve immédiatement :

$\lim_{x\to R^-}\left(\sum_{n\ge0}a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}\left(\lim_{x\to R^-} a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}a_n R^n.$

Exemples

Exemple (1) :

Soit

$f(x)=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^n}n=\ln(1+x).$

Comme $\textstyle\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit du théorème d'Abel que :

$\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n=\lim_{x\to1^-}f(x)=\ln2.$

Exemple (2) :

Soit

$g(x)=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}=\arctan(x).$

Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\textstyle\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}$ converge, d'où :

$\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{x\to1^-}g(x)=\arctan(1)=\frac\pi4.$

Démonstration

Quitte à effectuer un changement de variable linéaire $u=x/R$, on peut considérer uniquement le cas $R=1$. De plus (en ajoutant une constante à $a_0$) on se ramène au cas $\scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n=0$. Notons $S_n$ les sommes partielles de la série $\scriptstyle\sum a_n$. On a donc par hypothèse $\scriptstyle\lim_{n\to\infty}S_n=0$ et l'on doit montrer que $\scriptstyle\lim_{x\to1^-}f(x)=0$.

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Considérons $\scriptstyle x\in]0,1[$. On a (avec la convention $S_{-1}=0$) :

$\sum_{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^NS_n(x^n-x^{n+1})+S_Nx^{N+1}.$

Comme la suite $S_N$ est bornée (car convergente), on en déduit que

$f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n.$

Soit ε > 0. Il existe alors $N_0$ tel que |S_n| ≤ ε pour tout $n>N_0$, d'où :

$|f(x)|\le(1-x)\left|\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right|+(1-x)~\varepsilon\sum_{n=N_0+1}^\infty x^n=(1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert +\varepsilon x^{N_0+1}.$

Le majorant tend vers ε quand $x$ tend vers 1, donc est inférieur à 2ε pour $x$ assez proche de 1.

Réciproque partielle

Tauber (de) a démontré en 1897 que sous l'hypothèse a_n = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse a_n = O(1/n) suffit. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.

Articles connexes

• Série divergente
• Théorèmes abéliens et taubériens