Seconde quantification

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La seconde quantification, aussi appelée quantification canonique, est une méthode de quantification des champs introduite par Dirac en 1927 pour l'électrodynamique quantique. Elle consiste à partir d'un champ classique tel que le champ électromagnétique, à le considérer comme un système physique et à remplacer les grandeurs classiques (E, B) décrivant l'état du champ par un état quantique et des observables de la physique quantique. On aboutit naturellement à la conclusion que l'énergie du champ est quantifiée, chaque quantum représentant une particule.

La seconde quantification a été baptisée ainsi par Fock et Jordan en 1932.[réf. nécessaire]

Exemple du champ scalaire réel[modifier | modifier le code]

Pour simplifier les notations, on s'intéresse dans un premier temps à un champ scalaire réel. On pourrait par exemple penser au champ de pression P(r,t) dans un gaz, mais ce champ n'est pas fondamental, puisqu'il suppose l'existence d'autres particules et ne peut exister dans le vide. Le seul champ étudié en physique classique qui puisse se propager dans le vide est le champ électromagnétique, lequel est un champ tensoriel. On peut cependant construire un champ scalaire se propageant dans le vide en considérant la fonction d'onde d'une particule relativiste comme un champ.

Première quantification[modifier | modifier le code]

L'équation relativiste donnant l'énergie E de la particule de masse m et de charge électrique nulle en fonction de sa quantité de mouvement \vec{p} s'écrit :

E^2 \ = \ p^2 \, c^2 \ + \ m^2 \, c^4

En appliquant une première fois les règles de la quantification canonique issues de la mécanique quantique, on obtient l'équation de Klein-Gordon pour la fonction d'onde \Phi(\vec{r},t) :

- \ \hbar^2 \ \frac{{\partial}^2\Phi(\vec{r},t)}{{\partial}t^2} \ = \ - \ \hbar^2 \, c^2 \ \Delta \ \Phi(\vec{r},t) \ + \ m^2 \, c^4 \ \Phi(\vec{r},t)

Cette équation se réécrit sous la forme suivante :

 \left( \ \Box \  + \ \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \ \Phi(\vec{r},t) \ = \ 0

 \Box représente l'opérateur d'alembertien :

 \Box \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{{\partial}^2 ~~}{{\partial}t^2} \ - \ \Delta.

Si l'on a considéré jusqu'à présent que \Phi était la fonction d'onde de la particule, on peut également la considérer comme un champ scalaire réel se propageant dans le vide, l'équation de Klein-Gordon étant son équation de propagation.

Développement de Fourier[modifier | modifier le code]

Supposons pour simplifier que la particule soit confinée dans une grande boîte de volume V fini. Le champ scalaire \Phi(\vec{r},t) admet alors un développement en série de Fourier[1]. Notons :

  • \omega la variable conjuguée au temps t : \omega est la pulsation.
  • \vec{k} le vecteur conjugué à la position \vec{r} : \vec{k} est le vecteur d'onde.

Les modes propres sont les exponentielles :

f(\vec{r},t) \ = \ f_0 \ e^{- \, i \, \omega t \, + \, i \, \vec{k} \cdot \vec{r}}

qui vérifient l'équation de Klein-Gordon :

 \left( \ \Box \ + \ \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \,  f(\vec{r},t) \ = \ 0 \quad \Longrightarrow \quad \left( \ - \ \frac{\omega^2}{c^2} \, + \, k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \, f(\vec{r},t) \ = \ 0

On doit donc avoir la relation de dispersion :

\frac{\omega^2}{c^2} \ = \ k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2}

Donc, si l'on se donne un vecteur d'onde \vec{k}, il lui correspond deux modes propres de pulsations respectives :

\omega_{\pm}(k) \ = \ \pm \ \sqrt{\ c^2 \, k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^4}{\hbar^2} \ }

Le développement en série de Fourier du champ scalaire \Phi(\vec{r},t) peut donc s'écrire comme une somme sur tous les vecteurs d'ondes possibles[2] :

\Phi \left( \overrightarrow{r},t\right) =\sum_{\overrightarrow{k}}\left[
A_{+}(\overrightarrow{k})e^{-i\omega _{+}(\overrightarrow{k})t}+A_{-}(\overrightarrow{k})e^{-i\omega _{-}(\overrightarrow{k})t}\right] e^{i\overrightarrow{k}
.\overrightarrow{r}}+c.c.

cc désigne le complexe conjugué.

Seconde quantification[modifier | modifier le code]

La procédure de seconde quantification consiste à remplacer les coefficients complexes des modes de Fourier du développement du champ scalaire par des opérateurs abstraits :




Ces opérateurs obéissent par définition à la règle de commutation canonique :

 \left[ \  \hat{a}_{\vec{k'}}, \ \hat{a}_{\vec{k}}^{\dagger} \ \right] \ = \ \delta_{\vec{k}, \vec{k}'} \ \hat{1}

Le champ scalaire de spin zéro est donc un champ bosonique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Si le volume V de la boîte est infini, il faut utiliser la transformée de Fourier à la place de la série de Fourier.
  2. Il faut imposer une condition aux limites sur la frontière  \partial V du volume fini  V . C'est cette condition aux limites qui va provoquer la discrétisation des vecteurs d'ondes possibles. Si on prend par exemple des conditions aux limites périodiques pour un volume parallélépipédique :  V = L_x L_y L_z, cette quantification s'écrira explicitement : k_i \ = \ \frac{2 \, \pi \, n_i}{L_i} où les entiers n_i \ \in \ \mathbb{Z}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]