Principe de l'argument

En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument) indique que si f est une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset\C$ simplement connexe dont l'ensemble F des zéros et des pôles est fini, alors pour tout lacet $\gamma$ à image dans U\F,

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j)$

Un lacet simple et positivement orienté C (en noir), les zéros de f (en bleu) et les poles de f (en rouge).

Avec $v_{z_j}(f)$ la valuation de f en $z_j$ c'est-à-dire l'ordre du $z_j$ si $z_j$ est un zéro et moins l'ordre de $z_j$ si c'est un pôle. $\mathrm{Ind_\gamma(z_j)}$ est l'indice du point par rapport au lacet.

Si $\gamma$ est un lacet simple positivement orienté formant le bord $\partial K$d'un compact K, la relation ci-dessus se réécrit :

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = Z_{f,K} - P_{f, K}$

où $Z_{f,K}$ et $P_{f, K}$ représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de f dans $K$ comptés avec leur multiplicité.

Interprétation géométrique

Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tours que fait l'image de $\gamma$ par f autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du Théorème de Rouché.

Figure 1: Premier cas pour la fonction ${z+1\over z^3}$. En bleu le lacet $C(0,r)$ avec $r<1$, en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue trois tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Figure 2: Second cas pour la fonction ${z+1\over z^3}$. En bleu le lacet $C(0,r)$ avec $r>1$, en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue deux tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Exemples

Soit la fonction $f:\C\to\C$ ayant deux zéros simples en $z_{1,2}=\pm i$ (la valuation de ces deux points est +1) et définie par :

$\displaystyle{ f(z) = z^2+1 }$

Considérons le lacet le plus simple : le cercle $C(0, r)$ centré à l'origine et de rayon $r > 0$, il y a deux cas à considérer :

• Tout d'abord si $r \le 1$, alors l'indice des deux zéros est nul et l'image du lacet par f ne tourne pas autour de l'origine.

• L'autre cas est : $r > 1$, alors l'indice des deux zéros est égal à 1 et l'image du lacet par f tourne deux fois autour de l'origine en effet :

$v_{z_1}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_1) + v_{z_2}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_2) = 2$

Considérons à présent la fonction $g:\C\to\C$ ayant un pôle triple à l'origine et un zéro simple en $z_2=-1$ (la valuation de ces deux points est respectivement -3 et +1) et définie par :

$\displaystyle { g(z) = {z+1\over z^3} }$

En considérant comme ci-dessus le cercle $C(0, r)$, nous avons à nouveau deux cas à considérer :

• Si $r \le 1$, alors l'indice du zéro simple est nul, et il ne reste que le pôle triple à considérer, l'image du lacet par la fonction g tourne -trois fois (trois fois dans le sens anti-trigonométrique) autour de l'origine.

• Si $r > 1$, on doit considérer le zéro et le pôle et donc l'image du lacet par la fonction g tourne -deux fois autour de l'origine.

Ces deux cas sont illustrés par les figures 1 et 2 ci-contre.

Démonstration

Par hypothèse, $f(z) \neq 0$ et f est holomorphe sur U\F et donc la ${}^\C$-dérivée $f'$ l'est aussi. Par conséquent, nous pouvons en déduire que f'/f est aussi holomorphe sur U\F.

U est simplement connexe donc le lacet $\gamma$ est homotope à un point dans U, on peut donc appliquer le Théorème des résidus :

${1\over 2\pi i} \int_{\gamma} {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} \mathrm{Res}\left( {f'\over f}, z_j\right)\mathrm{Ind}_{\gamma} (z_j)$

Pour $z_j \in F$, on a, au voisinage de $z_j$ :

$f(z) = (z-z_j)^{n_j} g(z)$

avec $g(z)$ holomorphe et non nulle sur un voisinage de $z_j$ et $n_j\in\Z$ qui correspond à la valuation de $z_j$.

On a donc :

$f'(z) = n_j (z-z_j)^{n_j-1} g(z) + (z-z_j)^{n_j} g'(z)$

dont on tire :

${f'(z)\over f(z)} = {n_j\over (z-z_j)} + {g'(z)\over g(z)}$

Le quotient ci-dessus a un pôle simple en $z_j$ puisque $g$ est holomorphe et non nulle au voisinage de $z_j$. On peut maintenant calculer le résidu en $z_j$ :

$\mathrm{Res} \left( {f'\over f}, z_j \right) = \lim_{z\to z_j}\left( (z-z_j){f'(z)\over f(z)} \right) = n_j$

Avec $n_j = v_{z_j}(f)$. En insérant ce dernier résultat dans la première équation, nous obtenons finalement :

${1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j)$

Applications

Des ouvrages d'Automatique utilisent assez fréquemment ce principe comme base théorique pour le critère de stabilité de Nyquist (en). La thèse originale de 1932 de Harry Nyquist fait usage d'une approche plutôt maladroite et primitive pour développer le critère de stabilité. Dans sa thèse, H. Nyquist ne mentionnait pas le principe de l'argument. Par la suite, Leroy MacColl et Hendrik Bode sont partis du principe de l'argument pour déterminer le critère de stabilité, approche qui est utilisée actuellement dans bon nombre d'ouvrage d'analyse complexe ou d'automatique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Argument principle » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

• Dérivation logarithmique
• Théorème de Rouché