Théorème de Rouché

En analyse complexe, le théorème de Rouché^[1] est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit $U\subset \mathbb {C}$ un ouvert simplement connexe, soient $f$ et $g$ deux fonctions méromorphes sur $U$ avec un ensemble fini $F$ de zéros et de pôles. Soit $γ$ un lacet simple à image dans $U-F$ formant le bord $\partial K$ d'un compact $K$ . Si

|f(z)-g(z)|<|g(z)|

pour tout point

z

de

γ

alors

Z_{f}-P_{f}=Z_{g}-P_{g}

où $Z_{f}$ et $P_{f}$ sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de $f$ (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans $K$ .

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons les deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ définies par :

f(z)=z^{8}-5z^{3}+z-2,\quad g(z)=-5z^{3}

et considérons pour lacet le cercle $C(0,1):=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ . On vérifie que sur ce lacet :

|f(z)-g(z)|=|z^{8}+z-2|\leq |z|^{8}+|z|+2=4

et

|g(z)|=|-5z^{3}|=5

.

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

Z_{f}=Z_{g}

puisque $f$ et $g$ n'ont pas de pôle. Par ailleurs, $g$ a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction $f$ admet trois zéros dans le disque ouvert $D(0,1)$ .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Si $|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ pour tout $z\in \gamma$ , alors $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur $\gamma$ (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit $h$ la fonction méromorphe sur $U$ , holomorphe et ne s'annulant pas sur $\gamma$ définie par :

h={\frac {f}{g}}

.

Pour tout point $z$ de $γ$ ,

|h(z)-1|={\frac {|f(z)-g(z)|}{|g(z)|}}<1

.

L'image de $\gamma$ par $h$ est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 $D(1,1)$ et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}\mathrm {d} z=0

.

D'autre part,

{\frac {h'(z)}{h(z)}}={\frac {f'(z)}{f(z)}}-{\frac {g'(z)}{g(z)}}

.

Par conséquent,

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {g'(z)}{g(z)}}\mathrm {d} z=0

.

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

Z_{f}-P_{f}=Z_{g}-P_{g}

.

Applications[modifier | modifier le code]

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Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre[modifier | modifier le code]

Soit un polynôme $P$ à valeurs dans $\mathbb {C}$ et défini par :

P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}

en supposant $a_{n}\neq 0$ . Soit $R>0$ suffisamment grand pour que pour tout $z\in C(0,R)$ (cercle de rayon R) on ait :

|P(z)-a_{n}z^{n}|=|a_{0}+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|<|a_{n}z^{n}|

(par exemple $R=1+{\frac {\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)}{|a_{n}|}}$ convient).

Étant donné que $a_{n}z^{n}$ admet un zéro d'ordre $n$ à l'origine, $P$ doit admettre $n$ zéros dans le disque ouvert $D(0,R)$ par application du théorème de Rouché.

Généralisations[modifier | modifier le code]

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Un siècle plus tard, Theodor Estermann^[2] a affaibli l'hypothèse $|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ de Rouché, obtenant :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions méromorphes à l'intérieur d'un lacet simple rectifiable $γ$ et continues au bord, et telles que

$|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|$ pour tout point $z$ de $γ$ .

Alors, comme ci-dessus,

$Z_{f}-Z_{g}=P_{f}-P_{g}$ ^[3].

Références[modifier | modifier le code]

↑ Journal de l'École polytechnique, 1862, p. 217-218.
↑ (en) T. Estermann, Complex Numbers and Functions, Athlone Press, London, 1962, p. 156.
↑ (en) I-Hsiung Lin, Classical Complex Analysis: A Geometric Approach, vol. 1, World Scientific, 2011 (ISBN 978-9-81426123-4, lire en ligne), p. 558.