Indice (analyse complexe)

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Un point z0 et une courbe C

Indice d'un point par rapport à un lacet[modifier | modifier le code]

L'indice d'un point par rapport à un lacet, ou plus généralement par rapport à cycle, est une quantité qui mesure le « nombre de tours algébrique » réalisé par un lacet autour d'un point. Cette notion joue un rôle central en analyse complexe, car l'indice intervient dans la théorie de Cauchy globale, et, en particulier, dans la formule intégrale de Cauchy. L'indice apparaît également dans le théorème des résidus. L'indice fournit le lien entre les aspects purement analytiques en analyse complexe et les propriétés topologiques du plan complexe. C'est un cas particulier de la théorie du degré.

La définition la plus générale de l'indice (qui permet de définir l'indice d'un lacet dans le cas « continu » et pas seulement dans le cas « différentiable par morceaux ») utilise la propriété de relèvement des chemins dans le revêtement universel réalisé par l'exponentielle complexe.

Si \gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{C}^{*} est un lacet (chemin continu tel que \gamma (a) = \gamma (b)) dans le plan complexe privé de l'origine, il existe un relèvement (non unique) {\tilde{\gamma}}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} de \gamma à travers l'exponentielle complexe, c'est-à-dire un chemin \tilde{\gamma}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} tel que \gamma = e^{\tilde{\gamma}}. La quantité


\frac{1}{2\mathrm{i}\pi} (\tilde{\gamma}(b) -  \tilde{\gamma}(a))

ne dépend pas du relèvement \tilde{\gamma} choisi et s'appelle l'indice de \gamma par rapport à 0 ; elle correspond au « nombre de tours » comptés algébriquement (c'est-à-dire en tenant compte du sens de parcours) que fait le lacet autour de l'origine. En effet, \tilde{\gamma}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} apparaît comme un « logarithme » du lacet \gamma et donc (\tilde{\gamma}(b) -  \tilde{\gamma}(a)) correspond à la différence des valeurs de la partie imaginaire du logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction argument.

Si maintenant \gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} est un lacet quelconque et z un nombre complexe n'appartenant pas à l'image \gamma([a,b]) \subset \mathbb{C} de \gamma , l'indice de z par rapport à \gamma, noté \operatorname{Ind}_{\gamma} (z), est l'indice par rapport à 0 du lacet \gamma - z. Cette définition de l'indice fait clairement apparaître cette quantité comme un cas particulier du degré de l'application de Gauss en topologie.

Lorsque le lacet \gamma est différentiable par morceaux, l'indice s'exprime sous forme d'une intégrale :

\operatorname{Ind}_{\gamma} (z) =\frac{1}{2 \mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} \frac{\mathrm d \zeta}{\zeta - z} \; .

Propriétés[modifier | modifier le code]

En notant  \Omega = \mathbb{C} \smallsetminus \gamma([a,b])), on a z \rightarrow \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) une fonction à valeurs entières sur \Omega, constante sur les composantes connexes de \Omega, et nulle sur la composante non bornée de \Omega. Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point z.