Indice (analyse complexe)

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Un point z0 et un lacet C.

En mathématiques, l'indice d'un point par rapport à un lacet est une quantité qui mesure le « nombre de tours (algébrique) » réalisé par un lacet autour d'un point. Cette notion joue un rôle central en analyse complexe, car l'indice intervient dans la théorie de Cauchy globale et, en particulier, dans la formule intégrale de Cauchy. L'indice apparaît également dans le théorème des résidus. L'indice fournit le lien entre les aspects purement analytiques en analyse complexe et les propriétés topologiques du plan complexe. C'est un cas particulier de la notion de degré d'une application.

Indice d'un point par rapport à un lacet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de relèvement.

D'après le théorème de relèvement des chemins dans le revêtement universel réalisé par l'exponentielle complexe, si \gamma:[0,1]\to\C^* est un lacet (chemin tel que \gamma(1)=\gamma(0)) dans le plan complexe privé de l'origine, il existe un chemin (non unique) \tilde{\gamma}:[0,1]\to\C tel que \gamma=\exp\circ\tilde{\gamma}. La quantité


\frac1{2\mathrm{i}\pi} (\tilde{\gamma}(1)-\tilde{\gamma}(0))

ne dépend pas du relèvement \tilde{\gamma} choisi et s'appelle l'indice de \gamma par rapport à 0 ; elle correspond au « nombre de tours » comptés algébriquement (c'est-à-dire en tenant compte du sens de parcours) que fait le lacet autour de l'origine. En effet, \tilde{\gamma}:[0,1]\to\C apparaît comme un « logarithme » du lacet \gamma et donc \tilde{\gamma}(1)-\tilde{\gamma}(0) correspond à la différence des valeurs de la partie imaginaire du logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction argument.

Si maintenant \gamma:[0,1]\to\C est un lacet quelconque et z un nombre complexe n'appartenant pas à l'image \gamma([0,1])\subset\C de \gamma, l'indice de z par rapport à \gamma — ou de \gamma par rapport à z — noté \operatorname{Ind}_{\gamma} (z), est l'indice par rapport à 0 du lacet \gamma - z. Cette définition de l'indice fait apparaître cette quantité comme un cas particulier du degré de l'application de Gauss en topologie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Lorsque le lacet \gamma est différentiable par morceaux, l'indice s'exprime sous forme d'une intégrale :
    \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) =\frac1{2 \mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} \frac{\mathrm d \zeta}{\zeta - z}.
  • En notant  \Omega=\C\smallsetminus \gamma([0,1]), on a une fonction z\mapsto\operatorname{Ind}_{\gamma} (z) à valeurs entières sur \Omega, constante sur les composantes connexes de \Omega, et nulle sur la composante non bornée de \Omega. Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point z.