Dérivation logarithmique

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction f dérivable ne s'annulant pas est la fonction {\mathcal L}(f)=\displaystyle\frac{f'}{f}, où f' est la dérivée de f.

Aux points où f ne s'annule pas, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de la fonction |f| par la fonction logarithme, c'est-à-dire de \ln \circ |f|, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Formules[modifier | modifier le code]

Les relations qui suivent découlent de la définition (mais on peut également les obtenir en utilisant les propriétés du logarithme) : partant de la formule classique de Leibniz : (uv)'=u'v+uv', il vient

{\mathcal L}(uv)=\frac{(uv)'}{uv}= \frac{u'v+uv'}{uv}=\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}={\mathcal L}(u)+{\mathcal L}(v),

qui exprime que la « dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

De même , partant de la formule de dérivée d'un quotient : \displaystyle\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}, on obtient :

{\mathcal L}(u/v)=\frac{v(u'v-uv')}{uv^2}= \frac{u'v-uv'}{uv}=\frac{u'}{u}-\frac{v'}{v}={\mathcal L}(u)-{\mathcal L}(v),

et partant de (u^\alpha)'=\alpha u'u^{\alpha-1}, on obtient

{\mathcal L}(u^\alpha)=\alpha{\mathcal L}(u).

Facteurs intégrants[modifier | modifier le code]

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur écrivons

D=\frac{\rm d}{{\rm d}x}

et soit M l'opérateur de multiplication par une fonction G donnée. Alors

M^{-1}DM

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

D+M^*

M^* désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de G, c'est-à-dire par

\frac{G\,'}{G}

Souvent, nous nous donnons un opérateur tel que

D+F=L

et nous désirons résoudre l'équation

L(h)=f

d'inconnue h, f étant donnée. Cela nous amène à résoudre

\frac{G\,'}G = F

qui a pour solution

\exp\circ \int F

\int F est une primitive quelconque de F.

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si f est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres complexes qui ne sont ni des zéros de f, ni des pôles de f. De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique se comporte d'une manière qui puisse être rapprochée du cas particulier de z\mapsto z^nn est un entier non nul. La dérivée logarithmique est alors égale à z\mapsto \frac nz.

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe f, toutes les singularités de la dérivée logarithmique de f sont toutes des pôles simples, de résidu n d'un zéro d'ordre n, de résidu -n d'un pôle d'ordre n. Ce fait est souvent exploité dans les calculs d'intégrales de contour (en).

Le groupe multiplicatif[modifier | modifier le code]

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant Gl_1, le groupe multiplicatif des nombres réels ou sur un corps commutatif quelconque. L'opérateur différentiel \displaystyle X^{-1}\frac{\rm d}{\mathrm dX} est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace X par aX, a étant une constante). Et la forme différentielle \displaystyle \frac{\mathrm dX}X est de même invariante. Pour des fonctions F de Gl_1, la fonction \displaystyle\frac{\mathrm dF}F est ainsi une réciproque d'une forme invariante.

De même, la dérivée logarithmique peut être définie dans tout corps différentiel ; c'est le point de départ d'une partie de la théorie de Galois différentielle.