Pfaffien

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En mathématiques, le pfaffien, ou le déterminant pfaffien, qui tire son nom du mathématicien allemand Johann Pfaff, est un scalaire qui intervient dans l'étude des matrices antisymétriques. Il s'exprime de façon polynomiale à l'aide des coefficients de la matrice. Ce polynôme est nul si la matrice est de taille impaire ; il ne présente d'intérêt que dans le cas des matrices antisymétriques de taille 2n × 2n, son degré est alors n. Le pfaffien d'une matrice A est noté \mathrm{Pf} \left( A \right).

Le pfaffien est relié au déterminant. En effet, le déterminant d'une telle matrice peut toujours être exprimé comme un carré parfait, et en fait le carré du pfaffien. Explicitement, pour une matrice antisymétrique A de taille 2n × 2n, on a

\text{Pf}(A)^2 = \text{det}(A)

Histoire[modifier | modifier le code]

Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.

C'est en 1882 que Thomas Muir prouve le lien entre pfaffien et déterminant d'une matrice antisymétrique. Il publie ce résultat dans son traité sur les déterminants[1].

Applications[modifier | modifier le code]

  • Le pfaffien est un polynôme invariant d'une matrice antisymétrique (il n'est pas invariant par changement de base, mais par une transformation orthogonale). Il apparaît dans la théorie des classes caractéristiques et peut être utilisé pour définir la classe d'Euler d'une variété riemannienne, utilisée dans le théorème généralisé de Gauss-Bonnet.
  • On utilise le pfaffien en physique pour calculer la fonction de partition des modèles d'Ising (Schraudolph et Kamenetsky 2009). On l'utilise depuis peu pour établir des algorithmes plus efficaces pour résoudre certains problèmes en physique quantique[réf. nécessaire].

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit A = {ai,j} une matrice antisymétrique 2n×2n. Le pfaffien de A est défini par :

\mathrm{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}

S2n est le groupe symétrique et sgn(σ) est la signature de σ.

Simplification[modifier | modifier le code]

Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.

Soit Π l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, …, 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1)!!. Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme :

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

avec ik < jk et i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Soit

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

la permutation correspondante. Elle ne dépend que de α, indépendamment du choix de π. Étant donnée une partition α,

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Le pfaffien de A est alors :

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Le pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.

Définition alternative[modifier | modifier le code]

On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2n×2n A ={aij}, un bivecteur :

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e^i\wedge e^j.

où {e1, e2, …, e2n} est la base canonique de R2n. Le Pfaffien est alors défini par la relation :

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e^1\wedge e^2\wedge\cdots\wedge e^{2n},

Ici, ωn dénote le produit extérieur de n copies de ω avec lui-même. Le pfaffien apparaît donc comme le coefficient de colinéarité entre ωn et la forme volume de R2n.

Exemples[modifier | modifier le code]

\mbox{Pf}\begin{pmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{pmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{pmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{pmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{pmatrix}\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\\vdots &  & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ \lambda_n & 0\end{matrix}\end{pmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Identités générales[modifier | modifier le code]

Pour une matrice A antisymétrique 2n × 2n et une matrice arbitraire 2n × 2n, notée B,

  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)

Matrices diagonales par blocs[modifier | modifier le code]

Le pfaffien d'une matrice antisymétrique diagonale par blocs de la forme

A_1\oplus A_2=\begin{pmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}

est le produit des pfaffiens des blocs

\text{Pf}(A_1 \oplus A_2) = \text{Pf}(A_1) \, \text{Pf}(A_2)

Cela se généralise par itération à plus de deux blocs.

Matrice n × n quelconque M[modifier | modifier le code]

\mbox{Pf}\begin{pmatrix}  0 & M \\ -M^T & 0  \end{pmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, qui sera réédité et augmenté en 1930
  • Nicol Schraudolph et Dmitry Kamenetsky, « Efficient exact inference in planar Ising models », Advances in Neural Information Processing Systems 21, MIT Press,‎ 2009 (lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]