Nombre de Münchhausen

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On appelle en anglais « perfect digit-to-digit invariant » (PDDI)[1], relativement à une base de numération donnée b, un entier naturel qui est égal à la somme de ses chiffres dans cette base b, chacun élevé à la puissance de ce même chiffre (en convenant ici que 00 = 0).

n = d_kb^k+d_{k-1}b^{k-1}+\ldots+d_1b+d_0 = d_k^{d_k} + d_{k-1}^{d_{k-1}} + \dots + d_1^{d_1} + d_0^{d_0}~.

Un calcul élémentaire[2] prouve que n est majoré par 2bb ; dans une base donnée, il n'existe donc qu'un nombre fini de perfect digit-to-digit invariants, dont on peut programmer le calcul.

Zéro et un sont des perfect digit-to-digit invariants dans toutes les bases.

En base dix, les deux seuls autres perfect digit-to-digit invariants[3] sont 3 435 et 438 579 088 :

  • 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435
  • 4^4 + 3^3 + 8^8 + 5^5 + 7^7 + 9^9 + 0^0 + 8^8 + 8^8 = 256 + 27 + 16777216 + 3125 + 823543 + 387420489 + 0 + 16777216 + 16777216 = 438579088

Dans une prépublication de style récréatif[4], Daan van Berkel[2] a appelé « nombres de Münchhausen » (Munchausen numbers[5]) des nombres définis comme les perfect digit-to-digit invariants[6], mais avec la convention 00 =1. Avec cette convention, les deux seuls nombres de Münchhausen en base 10 sont 1 et 3435.

La dénomination « nombres de Münchhausen » a été choisie en référence au baron du même nom, leur propriété étant une variante de celle des nombres narcissiques, à l'instar du caractère du baron[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour la terminologie, voir une page du mathématicien amateur Harvey Heinz, qui renvoie à David Wells, Curious and Interesting Numbers, p.190, et à D. Morrow, dans Journal of Recreational Mathematics 27:1, 1995, p. 9 et 27:3, 1995, pp. 205-207. Ces nombres sont décrits, mais non nommés, sur The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, avec références à J. S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, Dover N.Y., pp. 163-175 ; C. A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley 1995, ch. 22, pp. 169-171; David Wells, Curious and Interesting Numbers, Penguin, 1988, pp. 169, 190
  2. a, b et c Daan van Berkel, « On a curious property of 3435 », 2009, Texte en accès libre sur arXiv : 0911.3038.
  3. suite A046253 de l'OEIS
  4. D. van Berkel s'intéresse au nombre 3435 en invoquant le paradoxe des nombres intéressants.
  5. La déformation orthographique de « Münchhausen » en « Munchausen » avec un seul « h » et sans Umlaut est calquée sur celle du film de Terry Gilliam, The Adventures of Baron Munchausen (1988).
  6. suite A166623 de l'OEIS