Nombre narcissique

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Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou — en anglaisPPDI, pour pluperfect digit invariant)[1] est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n :

n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^p\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}\quad\text{et}\quad x_{p-1}\ne 0~.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
  • Les vingt premiers termes de la suite des 88 nombres narcissiques (suite A005188 de l'OEIS) sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834.

  • 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
  • 548 834 = 5^6 + 4^6 + 8^6 + 8^6 + 3^6 + 4^6

Variantes des nombres d'Armstrong[modifier | modifier le code]

  • Un nombre d'Armstrong[2] de quatrième espèce, ou perfect digit invariant (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) :
n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}, pour un certain q > 0.

Intuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.

  • Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :
n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^{k+1}\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}.
  • On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que 10.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Narcissistic Number », MathWorld
  2. (en) Les quatre définitions d'Armstrong