Nombre narcissique

Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou - en anglais - PPDI, pour pluperfect digit invariant) est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^p\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}\quad\text{et}\quad x_{p-1}\ne 0~.$

Exemples

• Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
• Les vingt premiers termes de la suite des 88 nombres narcissiques (suite A005188 de l'OEIS) sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834.

• $153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$
• $548 834 = 5^6 + 4^6 + 8^6 + 8^6 + 3^6 + 4^6$

Variantes des nombres d'Armstrong

• Un nombre d'Armstrong de quatrième espèce, ou perfect digit invariant (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\},$ pour un certain q > 0.

Intuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.

Démonstration

Comme $x_{p-1}\neq 0$, $n\ge 10^{p-1}$. D'autre part, $n=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\leq 9^qp$. D'où $9^qp\ge 10^{p-1}$.

Par théorème de croissance comparée, il vient que pour un p donné, q est nécessairement au-dessus d'un rang donné, qui croît avec p.

Remarque : cela ne prouve pas pour autant l'existence de q !

• Pour les nombres d'Armstrong de troisième espèce (PDDI), voir l'article Nombre de Münchhausen.

• Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^{k+1}\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}.$

• On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que 10.