Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction $f$ par l'aire d'un rectangle de base le segment $[a,b]$ et de hauteur $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, ce qui donne :

$R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Cette aire est aussi celle du trapèze de base $[a,b]$ et dont le côté opposé est tangent au graphe de $f$ en $c={\frac {a+b}{2}}$, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment $[a,b]$, l'erreur commise est de la forme

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$

pour un certain $\xi \in [a,b]$. L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré $0$. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à $1$.