Longue droite

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La longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ».

Définition[modifier | modifier le code]

En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, L, est le produit lexicographique du premier ordinal non dénombrable ω₁ par l'ensemble des réels positifs ou nuls.

En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble (totalement) ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable. Mieux, on peut la munir d'une structure de variété différentiable lisse (i.e. de classe C^\infty), et même analytique réelle (ω).

Des variantes de la définition consistent à retirer l'origine, ou à prolonger la droite indéfiniment vers la gauche de la même façon que vers la droite. Le terme de « longue droite » peut, selon les auteurs, désigner un quelconque de ces trois espaces. Nous adoptons ici la convention qu'il y a un bord à gauche.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour tout x dans L (la longue droite en question), l'intervalle fermé [0, x] est homéomorphe à l'intervalle réel [0, 1]. Pourtant, L a des propriétés exceptionnelles. Par exemple :

  • Toute suite croissante à valeurs dans L a une limite (cela découle presque immédiatement de la propriété correspondante pour ω₁, puisque la réunion d'une famille dénombrable d'ordinaux dénombrables est encore dénombrable). En particulier, toute suite à valeurs dans L admet une valeur d'adhérence (et, si elle n'en admet qu'une, converge vers cette valeur) ; car toute suite à valeurs dans L est bornée ; L est donc séquentiellement compact. Il s'ensuit que toute fonction continue de ℝ vers L est bornée.
  • De façon peut-être plus surprenante, toute fonction continue de L vers ℝ est bornée. En effet, si f:L \to\R était continue non bornée, on trouverait x_0 dans L tel que f(x_0)>0, puis x_1 dans L tel que f(x_1)>1 et x_1>x_0, puis x_2>x_1 tel que f(x_2)>2, et ainsi de suite. Soit x la limite de la suite x_0,x_1,x_2, \dots ; en appliquant la continuité de f en x, on arriverait à une contradiction. En raffinant ce raisonnement, on obtient en fait bien mieux : toute fonction continue de L vers ℝ est constante à partir d'un certain point.
  • Le résultat précédent montre en particulier que L n'est pas métrisable.
  • Le compactifié de Stone-Čech de L s'obtient en rajoutant un seul point à L, à l'infini à droite. C'est donc aussi son compactifié d'Alexandroff. Il est connexe mais pas par arcs.
  • Toute application continue injective (donc strictement croissante) de L dans L est non bornée. De plus, une telle application a des points fixes arbitrairement grands (donc une infinité non dénombrable de points fixes).

De même que ω₁, la longue droite est un exemple d'espace monotonement normal (comme toute topologie d'un ordre total) mais non paracompact.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Counterexamples in Topology