Archimédien

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À l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. »

On appelle archimédien des structures dont les éléments vérifient une propriété comparable.

Groupe[modifier | modifier le code]

Soit (G, +, ≤) un groupe commutatif totalement ordonné.

On dit que (G, +, ≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si :

quels que soient les éléments a et b de G tels que 0 < a < b, il existe un entier naturel n tel que n × a > b.

Formellement, cela s'écrit :

\forall (a,b) \in G^2, (0 < a < b) \Rightarrow
\exists n \in \N\text{ tel que } \underbrace{a+a+\ldots+a}_{\text{n fois}} > b.

L'hypothèse a > 0 est primordiale mais la restriction aux b > a est accessoire : si a > 0 alors pour tous les ba, l'entier n = 2 convient.

Anneau[modifier | modifier le code]

Soit (A, +, ×, ≤) un anneau totalement ordonné.

On dit que (A, +, ×, ≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si le groupe ordonné (A, +, ≤) est archimédien.

Corps[modifier | modifier le code]

Soit (K, +, ×, ≤) un corps totalement ordonné (cas particulier d'anneau totalement ordonné). Une division par a > 0 montre qu'il est archimédien si et seulement si

\forall x \in K, \exists n \in \N \text{ tel que } n > x

autrement dit si ℕ n'est pas majoré. Un tel corps est isomorphe (en tant que corps ordonné) à un sous-corps de celui des réels[1].

Plus précisément, on peut montrer[2] que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. K est archimédien.
  2. Le corps ℚ des rationnels est dense dans K.
  3. La suite (1/n) converge vers 0 (pour la topologie de l'ordre).
  4. La suite (1/n) converge.
  5. K se plonge dans le corps ℝ des réels, c'est-à-dire est isomorphe (en tant que corps ordonné) à un sous-corps de ℝ.
  6. Si (A, B) est une coupure de K, alors pour tout ε > 0, il existe a élément de A, et b élément de B, tel que b – a < ε.
  7. Toute suite croissante et majorée est de Cauchy.

Remarques[modifier | modifier le code]

Cet axiome intervient également comme l'axiome IV,1 du « groupe IV de continuité » dans l'axiomatique de la géométrie euclidienne proposée par Hilbert en 1899. Hilbert montre par exemple que la preuve de l'égalité des aires entre deux parallélogrammes de même base et de même hauteur utilise nécessairement l'axiome d'Archimède.

Hilbert montre également que, dans un corps, si on ne suppose pas la multiplication commutative, alors nécessairement, cette commutativité du produit découle du caractère archimédien du corps. Pour montrer que ab = ba, l'idée est de prendre un élément d arbitrairement petit, et d'utiliser le caractère archimédien du corps pour encadrer a entre nd et (n+1)d et encadrer b entre md et (m+1)d, pour deux entiers m et n. On utilise cet encadrement pour en déduire un encadrement arbitrairement petit de ab–ba et conclure que cette différence est nulle.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple 1[modifier | modifier le code]

(ℚ,+,×,≤) et (ℝ,+,×,≤) sont des corps archimédiens. Pour ℚ c'est immédiat ; pour ℝ, cela fait partie des axiomes ou s'en déduit, selon l'axiomatique choisie : cf Construction des nombres réels.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Voici un exemple d'anneau non archimédien. Considérons l'anneau ℝ[X] des polynômes sur ℝ. Un polynôme P = ∑n anXn est caractérisé par la suite de ses coefficients (a0, … , an, … ), nulle à partir d'un certain rang.

Si le polynôme Q admet pour coefficients (b0, … , bn, …), nous dirons que :

P < Q si et seulement s’il existe k ≥ 0 tel que, pour tout p < k, ap = bp et ak < bk ;
P ≤ Q si et seulement si P < Q ou P = Q

(il s'agit de l'ordre lexicographique sur les coefficients des polynômes).

Alors (ℝ[X],+,×,≤) est un anneau totalement ordonné, mais qui n'est pas archimédien. En effet, pour tout n entier, on a 0 < nX < 1.

Pour l'ordre indiqué, X est un « infiniment petit ».

Exemple 3[modifier | modifier le code]

Il existe un ordre sur le corps ℝ(X) des fractions rationnelles à coefficients réels, qui en fait un corps totalement ordonné non archimédien dans lequel 1/X est un infiniment petit.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple N. Bourbaki, Éléments de mathématique - Algèbre VI - 7. Corps et groupes ordonnés - §2- ex. 26 ou Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , T1 - V - 5 Le corps des réels - ex. 12. Une remarque dans l'article Construction des nombres réels l'explique aussi.
  2. (en) Holger Teismann, « Toward a More Complete List of Completeness Axioms », Amer. Math. Monthly, vol. 120, no 2,‎ février 2012 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.120.02.099).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

David Hilbert, Les Fondements de la géométrie, Dunod, Paris 1971 ou Gabay, 1997

Articles connexes[modifier | modifier le code]