Laplacien discret

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Soit une fonction réelle f de deux variables réelles {x, y}; on appelle, en analyse numérique, laplacien discret de f la dérivée seconde discrète selon x + celle selon y, soit :

\Delta_{discret}f = \frac{[f(x+h,y)+f(x-h,y)-2f(x,y)]+[f(x,y+h)+f(x,y-h)-2f(x,y)]}{h^2}

  • Cela est souvent utilisé pour résoudre des problèmes de conduction de la chaleur sur des domaines de frontières assez compliquées, pour lesquels il n'y a pas de solution analytique.
  • L'écriture est ici en dimension d= 2 ; c'est-à-dire pour un plan, et elle est écrite en cartésienne. Du coup, on comprend qu'en dimension d = n, il y aura 2n+1 valeurs pour écrire le laplacien discret.

Or ce n'est pas très astucieux : par exemple en dimension d= 2, au lieu d'un carré entourant le point (x, y), on aurait pu prendre un triangle équilatéral, ce qui économise 1 point de calcul. En d=3, on réfléchit que le tétraèdre régulier est mieux que le cube (ou l'icosaèdre).

D'une manière générale, les mathématiciens en analyse numérique optimisent ce qu'on appelle le maillage des points sur lesquels ils doivent opérer les calculs : cela fait gagner énormément de temps. Dans le cas d'un problème météorologique par exemple, il ne serait guère utile de requérir 24 heures pour pouvoir prévoir le temps sur 24 heures.

Voir aussi[modifier | modifier le code]