John N. Mather

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John Mather
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John Norman Mather ( - ) est un mathématicien de l'Université de Princeton connu pour ses travaux sur la théorie de la singularité et la dynamique hamiltonienne.

Biographie[modifier | modifier le code]

Il descend d'Atherton Mather (1663-1734), un cousin de Cotton Mather. Ses premiers travaux portent sur la stabilité des applications lisses entre des variétés lisses de dimensions n (pour la variété source N ) et p (pour la variété cible P ). Il détermine les dimensions précises (n,p) pour lesquelles les applications lisses sont stables par rapport à l'équivalence lisse par des difféomorphismes de la source et de la cible (c'est-à-dire des changements de coordonnées infiniment différentiables)[1].

Mather prouve également la conjecture du topologue français René Thom selon laquelle, sous l'équivalence topologique, les applications lisses sont génériquement stables : le sous-ensemble de l'espace des applications lisses entre deux variétés lisses constituées des applications topologiquement stables est un sous-ensemble dense dans la topologie de Whitney lisse. Ses notes sur le thème de la stabilité topologique sont toujours une référence standard sur le thème des espaces topologiquement stratifiés[2].

Dans les années 1970, Mather est passé au domaine des systèmes dynamiques. Il apporte des contributions aux systèmes dynamiques qui influencent le domaine. Il introduit le concept de spectre de Mather et donne une caractérisation des difféomorphismes d'Anosov[3]. Conjointement avec Richard McGehee (en), il donne un exemple de problème colinéaire à quatre corps qui a des conditions initiales conduisant à des solutions qui explosent en temps fini. C'est le premier résultat qui rend plausible la conjecture de Painlevé[4].

Il développe une théorie variationnelle pour l'action globale minimisant les orbites pour les cartes de torsion (systèmes hamiltoniens convexes à deux degrés de liberté), dans la lignée des travaux de George David Birkhoff, Marston Morse, Gustav Arnold Hedlund. Cette théorie est maintenant connue sous le nom de théorie d'Aubry-Mather[5],[6]. Il développe la théorie d'Aubry-Mather dans des dimensions supérieures, une théorie qui s'appelle maintenant la théorie de Mather[7],[8],[9]. Cette théorie s'avère profondément liée à la théorie de la solution de viscosité de Michael G. Crandall, Pierre-Louis Lions pour l'équation de Hamilton-Jacobi. Le lien est révélé dans la théorie KAM faible d'Albert Fathi[10].

Il annonce une preuve de la diffusion d'Arnold pour les systèmes hamiltoniens presque intégrables à trois degrés de liberté[11]. Dans une série d'articles[12],[13], il prouve que pour une certaine régularité r, dépendant de la dimension de la variété lisse M, le groupe Diff( M, r ) est parfait, c'est-à-dire égal à son propre sous-groupe de commutateurs, où Diff(M, r) est le groupe des difféomorphismes C^r d'une variété lisse M qui sont isotopes à l'identité par une isotopie C^r à support compact. Il construit également des contre-exemples où la condition de dimension de régularité est violée[14].

Mather est l'un des trois rédacteurs en chef de la série Annals of Mathematics Studies publiée par Princeton University Press.

Il est membre de l'Académie nationale des sciences à partir de 1988. Il reçoit le prix John J. Carty de l'Académie nationale des sciences en 1978 (pour les mathématiques pures)[15] et le Prix George-David-Birkhoff en mathématiques appliquées en 2003. Il reçoit également l'Ordre brésilien du mérite scientifique en 2000 et la médaille Brouwer de la Société royale mathématique des Pays-Bas en 2014.

Références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Mather, J. N. "Stability of C∞ mappings. VI: The nice dimensions". ``Proceedings of Liverpool Singularities-Symposium, I (1969/70), Lecture Notes in Math., Vol. 192, Springer, Berlin (1971), 207–253.
  2. ↑ Mather, John "Notes on topological stability." ``Bulletin of the American Math. Soc. (N. S.) 49 (2012), no. 4, 475-506.
  3. ↑ Mather, John N. "Characterization of Anosov diffeomorphisms." Indagationes Mathematicae (Proceedings). Vol. 71. North-Holland, 1968.
  4. ↑ Mather, John N., and Richard McGehee. "Solutions of the collinear four body problem which become unbounded in finite time." Dynamical systems, theory and applications. Springer Berlin Heidelberg, 1975. 573–597.
  5. ↑ Mather, John, and Giovanni Forni. "Action minimizing orbits in hamiltomian systems." Transition to chaos in classical and quantum mechanics (1994): 92–186.
  6. ↑ Bangert, Victor. "Mather sets for twist maps and geodesics on tori." Dynamics reported. Vieweg+ Teubner Verlag, 1988. 1–56.
  7. ↑ Mather, John N. "Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems", Mathematische Zeitschrift 207.1 (1991): 169–207.
  8. ↑ Mather, John N. "Variational construction of connecting orbits." Annales de l'Institut Fourier, Vol. 43. No. 5. 1993.
  9. ↑ Sorrentino, Alfonso "Action-minimizing methods in Hamiltonian dynamics: an introduction to Aubry–Mather theory", Mathematical Notes Series Vol. 50 (Princeton University Press), 128 pp., (ISBN 9780691164502), 2015.
  10. ↑ Fathi, Albert. "Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics preliminary version number 10", Cambridge University Press (2008).
  11. ↑ J.N. Mather, Arnold diffusion. I: Announcement of results, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 124, No. 5, 2004
  12. ↑ Mather, John N. "Commutators of diffeomorphisms." Commentarii Mathematici Helvetici 49.1 (1974): 512-528.
  13. ↑ Mather, John N. "Commutators of diffeomorphisms: II." Commentarii Mathematici Helvetici 50.1 (1975): 33-40.
  14. ↑ Mather, John N. "Commutators of diffeomorphisms, III: a group which is not perfect." Commentarii Mathematici Helvetici 60.1 (1985): 122-124.
  15. ↑ « John J. Carty Award for the Advancement of Science » [archive du ]

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