Graphe biparti complet

	Graphe biparti complet
	;
Notation
Nombre de sommets
Nombre d'arêtes
Distribution des degrés	m sommets de degré n; n sommet de degré m
Diamètre	2
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En théorie des graphes, un graphe est dit biparti complet (ou encore est appelé une biclique) s'il est biparti et chaque sommet du premier ensemble est relié à tous les sommets du second ensemble. Plus précisément, il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous-ensembles $U$ et $V$ telle que chaque sommet de $U$ est relié à chaque sommet de $V$ ^{[réf. nécessaire]}.

Si le premier ensemble $U$ est de cardinal m et le second ensemble $V$ est de cardinal n, le graphe biparti complet est noté $K_{m,n}$ .

Exemples[modifier | modifier le code]

Étoiles[modifier | modifier le code]

Si m = 1, le graphe complet biparti K_1,n est une étoile et est noté $S_{n}$ ^{[réf. nécessaire]}.

En particulier, les étoiles sont des arbres. D'ailleurs, tous les graphes bipartis complets qui sont des arbres sont des étoiles^{[réf. nécessaire]}.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

Voici des exemples pour m = 3.

K_3,1
K_3,2
K_3,3

Le graphe K_3,3 est le plus petit graphe cubique non planaire^{[réf. nécessaire]}. Il sert dans les caractérisation des graphes planaires de Kazimierz Kuratowski et de Klaus Wagner^{[réf. nécessaire]}. C'est lui qui réside derrière l'énigme des trois maisons.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Inclusions de famille de graphe[modifier | modifier le code]

Le graphe biparti complet $K_{n,n}$ est un graphe de Moore et une $(n,4)$ -cage^{[réf. nécessaire]}.
Les graphes bipartis complets $K_{n,n}$ et $K_{n,n+1}$ sont des graphes de Turán^{[réf. nécessaire]}.
Le graphe biparti complet $K_{n,n}$ est un graphe symétrique : il est arête-transitif, sommet-transitif et arc-transitif^{[réf. nécessaire]}.
Le nombre d'arbres couvrants du graphe biparti complet $K_{m,n}$ est $m^{n-1}n^{m-1}$ ^[1].

Invariants[modifier | modifier le code]

Le polynôme caractéristique du graphe biparti complet $K_{m,n}$ est : $x^{m+n-2}(x^{2}-mn)$ ^{[réf. nécessaire]}. Ce polynôme caractéristique n'admet que des racines entières si, et seulement si, mn est un carré parfait. Le graphe biparti complet n'est donc un graphe intégral que dans ce cas.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de Kuratowski qui caractérise les graphes planaires utilise le graphe $K_{3,3}$ ^[2]^,^[3].

Conjecture[modifier | modifier le code]

On note $\mathrm {cr} (G)$ le nombre de croisements du graphe $G$ , le nombre minimal de croisements parmi les tracés possibles de $G$ . Kazimierz Zarankiewicz^[4], voulant résoudre le problème de l'usine de briques de Pál Turán, a établi la majoration suivante :

{\textrm {cr}}(K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor

Cette inégalité est conjecturée être une égalité^[5].

Aspects algorithmiques et applications[modifier | modifier le code]

Étant donné un graphe G, trouver le sous-graphe induit biparti complet $K_{m,n}$ de G avec le plus possible d'arêtes (donc avec $mn$ maximal) est un problème NP-complet^{[réf. nécessaire]}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Steven Klee et Matthew T. Stamps, « Linear algebraic techniques for spanning tree enumeration », Amer. Math. Monthly, vol. 127, n^o 4,‎ 2020, p. 297-307 (DOI 10.1080/00029890.2020.1708171).
↑ Pour plus de détails voir l'article graphe planaire.
↑ Article original : Kazimierz Kuratowski, « Sur le problème des courbes gauches en topologie », Fund. Math., vol. 15,‎ 1930, p. 271-283 (lire en ligne). Voir aussi : (en) Carsten Thomassen, « Kuratowski's theorem », Journal of Graph Theory, vol. 5,, n^o 3,‎ 1981, p. 225-241 (DOI 10.1002/jgt.3190050304, MR 625064).
↑ (en) K. Zarankiewicz, « On a problem of P. Turán concerning graphs », Fund. Math., vol. 41,‎ 1954, p. 137–145.
↑ Richard K. Guy, Proof Techniques in Graph Theory (Proc. Second Ann Arbor Graph Theory Conf., Ann Arbor, Mich., 1968), Academic Press, New York, 1969 (MR 0253931), p. 63-69.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Graham-Pollak

Portail des mathématiques

[1] (en) Steven Klee et Matthew T. Stamps, « Linear algebraic techniques for spanning tree enumeration », Amer. Math. Monthly, vol. 127, n^o 4,‎ 2020, p. 297-307 (DOI 10.1080/00029890.2020.1708171).

[2] Pour plus de détails voir l'article graphe planaire.

[3] Article original : Kazimierz Kuratowski, « Sur le problème des courbes gauches en topologie », Fund. Math., vol. 15,‎ 1930, p. 271-283 (lire en ligne). Voir aussi : (en) Carsten Thomassen, « Kuratowski's theorem », Journal of Graph Theory, vol. 5,, n^o 3,‎ 1981, p. 225-241 (DOI 10.1002/jgt.3190050304, MR 625064).

[4] (en) K. Zarankiewicz, « On a problem of P. Turán concerning graphs », Fund. Math., vol. 41,‎ 1954, p. 137–145.

[5] Richard K. Guy, Proof Techniques in Graph Theory (Proc. Second Ann Arbor Graph Theory Conf., Ann Arbor, Mich., 1968), Academic Press, New York, 1969 (MR 0253931), p. 63-69.

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