Graphe symétrique

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Le Graphe de Petersen est un graphe cubique symétrique.

En théorie des graphes un graphe G est symétrique (ou arc-transitif) si, étant données deux paires quelconques de sommets reliés par une arête u1v1 et u2v2 de G, il existe un automorphisme de graphe :

f : V(G) \rightarrow V(G)

tel que

f(u_1) = u_2 et f(v_1) = v_2[1].

En d'autres termes, un graphe est symétrique si son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses paires ordonnées de sommets reliés[2]. Un tel graphe est parfois appelé 1-arc-transif[2].

Par définition, un graphe symétrique sans sommet isolé est sommet-transitif [1] et arête-transitif. Le terme symétrique est d'ailleurs parfois employé pour designer un graphe qui soit simplement arête-transitif et sommet-transitif, cette utilisation du terme est ambiguë, car il existe des graphes qui sont arête-transitifs et sommet-transitifs sans être arc-transitifs[3]. Dans les cas des graphes d'ordre impair, un graphe arête-transitif et sommet-transitif est cependant nécessairement arc-transitif[4].

Les graphes cubiques symétriques[modifier | modifier le code]

Un graphe cubique est un graphe régulier dont tous les sommets sont de degré 3. Les graphes cubiques symétriques sont les premiers graphes réguliers symétriques intéressants, le cas régulier de degré 2 étant trivial et se résumant aux graphes cycles.

Les graphes cubiques symétriques sont catalogués par Ronald M. Foster à partir de 1934[5]. En 1988 un livre écrit par Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson et Z. Star est publié contenant une liste, alors jugée exhaustive de tous les graphes cubiques symétriques jusqu'à l'ordre 512[6]. Quelques spécimens d'ordre inférieur ou égal à 512 manquent en fait à la liste (les graphes F480B, F432E, F448C, F480C, F480D, F486D, F512D, F512E, F512F, F512G). En 2002, Marston Conder complète la liste et l'étend jusqu'à l'ordre 768[7], puis jusqu'à l'ordre 2048 en 2006 et jusqu'à l'ordre 10000 en 2011[8],[9].

Les premiers graphes cubiques symétriques (en nombres de sommets) sont regroupés dans la table suivante :

Ordre Graphe
4 Le graphe tétraédrique (le graphe complet K4)
6 Le graphe biparti complet K3,3
8 Le graphe hexaédrique
10 Le graphe de Petersen
14 Le graphe de Heawood
16 Le graphe de Möbius-Kantor
18 Le graphe de Pappus
20 Le graphe de Desargues
20 Le graphe dodécaédrique

En 2008, une version étendue aux graphes réguliers de degrés 4 et 5 mais non exhaustive du Foster Census est établie par Alain Bretto et Luc Gillibert[10].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Biggs, Norman, Algebraic Graph Theory, Cambridge, Cambridge University Press,‎ 1993, 2e éd., poche (ISBN 978-0-521-45897-9, lien LCCN?), p. 118
  2. a et b (en) Godsil, Chris, and Royle, Gordon, Algebraic Graph Theory, New York, Springer,‎ 2001, poche (ISBN 978-0-387-95220-8, lien LCCN?), p. 59
  3. (en) Bouwer, Z. "Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs." Canad. Math. Bull. 13, 231-237, 1970.
  4. (en) L Babai, Handbook of Combinatorics, Elsevier,‎ 1996
  5. (en) Gordon Royle, Marston Conder, Brendan McKay and Peter Dobscanyi, Cubic symmetric graphs (The Foster Census)
  6. (en) The Foster Census: R.M. Foster's Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs, by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0919611192
  7. (en) Marston Conder, Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices, J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41-63
  8. (en) Marston Conder, Trivalent (cubic) symmetric graphs on up to 2048 vertices
  9. (en) Marston Conder, Trivalent (cubic) symmetric graphs on up to 10000 vertices
  10. (en) Alain Bretto and Luc Gillibert."G-Graphs: an Efficient Tool for Constructing Symmetric and Semi-Symmetric Graphs". Discrete Applied Mathematics 156 (14) : 2719-2739 (2008).