Graphe de Moore

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En théorie des graphes, un graphe de Moore est un graphe régulier dont le nombre de sommets, pour un degré et un diamètre donnés, est maximal.

Les graphes de Moore ont été nommés par Alan Hoffman et Robert Singleton en 1960 en hommage à Edward F. Moore, qui avait tenté de décrire et classifier ces graphes.

Définition[modifier | modifier le code]

Un graphe de Moore est un graphe régulier de degré d et de diamètre k qui possède un nombre de sommets égal à la borne supérieure :

1+d\sum_{i=0}^{k-1}(d-1)^i

De façon générale, le nombre de sommets d'un graphe de degré maximal d et de diamètre k est inférieur ou égal à cette valeur. Un graphe de Moore possède donc une valeur maximale de sommets pour un degré et un diamètre donnés.

De façon alternative, un graphe de Moore est un graphe régulier de diamètre k et de maille 2k+1. Cette définition est équivalente à la précédente.

Il est possible de généraliser la définition pour permettre à un graphe de Moore d'être de maille paire. Dans ce cas, un graphe de Moore est un graphe régulier de degré d>2 et de maille m dont le nombre de sommets est égal à :

1+{d-1}^{\frac {m}{2}-1}+m\sum_{i=0}^{\frac{m-4}{2}}(d-1)^i si m est pair, et
1+d\sum_{i=0}^{\frac{m-3}{2}}(d-1)^i si m est impair.

Exemples[modifier | modifier le code]

Le graphe de Petersen est un graphe de Moore.

Les graphes complets (de diamètre 1) sont des graphes de Moore. Parmi ceux-ci, les cycles impairs sont des graphes de Moore de degré 2. Les cliques sont des graphes de Moore de diamètre 1.

Le théorème d'Hoffman-Singleton[1] stipule que tout graphe de Moore de maille 5 (et donc de diamètre 2) ne peut avoir qu'un degré 2, 3, 7 ou 57. Il s'agit du pentagone (degré 2 et 5 sommets), du graphe de Petersen (degré 3 et 10 sommets) et du graphe de Hoffman-Singleton (degré 7 et 50 sommets). L'existence d'un graphe de Moore de maille 5 et de degré 57 n'est pas connue; un tel graphe aurait 3 250 sommets.

Si la définition généralisée des graphes de Moore est prise en considération, ils incluent le graphe biparti complet de Kn,n de maille 4, le graphe de Heawood de degré 3 et de maille 6 et le graphe de Tutte–Coxeter de degré 3 et de maille 8. De façon générale, à part les graphes cités ci-dessus, tous les graphes de Moore sont de maille 5, 6, 8 ou 12[2],[3].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) [PDF] A. J. Hoffman, R. R. Singleton, Moore graphs with diameter 2 and 3, IBM Journal of Research and Development vol. 5, n°4, pp. 497–504, 1960
  2. (en) E. Bannai, T. Ito, [ http://hdl.handle.net/2261/6123 On Moore graphs], Journal of the Faculty of Sciences, Université de Tokyo Sect. 1 A vol. 20, pp. 191-208 (1973)
  3. (en) R. M. Damerell, On Moore Graphs, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 74, pp. 227-236 (1973)