Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace ℓ^p est un certain espace de suites à valeurs réelles ou complexes qui possède une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel ℝⁿ, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ est donnée par :

$\|x\|=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}$.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝⁿ, appelée la p-norme, en posant :

$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

pour tout vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$.

Pour tout p ≥ 1, ℝⁿ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, c'est même un espace de Banach.

Espace ℓ^p

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓ^p (noté aussi ℓ^p(ℕ) car on peut définir de même ℓ^p(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, ℓ^p sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

$(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )+(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n},y_{n+1},\dots )=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dots )$

et la multiplication par un scalaire par :

$\lambda (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )=(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dots ).$

On définit la p-norme d'une suite $x=(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )$ :

$\|x\|_{p}=\left(|x_{0}|^{p}+|x_{1}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dots \right)^{1/p}\in [0,+\infty ].$

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel p.

L'espace ℓ^p est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la « norme ∞ » comme :

$\|x\|_{\infty }=\sup(|x_{0}|,|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dots )$

et l'espace vectoriel correspondant ℓ^∞ est l'espace des suites bornées.

Propriétés

• Pour 1 < p < ∞, l'espace de suites ℓ^p est réflexif. Son dual est l'espace ℓ^q, avec ¹⁄_p+¹⁄_q = 1 ;
• Dans ℓ^∞, le sous-espace c₀ des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ¹ et le dual de ℓ¹ est ℓ^∞. Par conséquent, ℓ¹ et ℓ^∞ ne sont pas non plus réflexifs.
• Pour tout q < ∞ et tout x ∈ ℓ^q, l'application décroissante p ↦ ║x║_p est continue sur [q, +∞]. En particulier :$\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|x\|_{p}.$

Articles connexes

• Base de Schauder
• Espace L^p
• Espace de suites (de)
• Famille sommable