Discussion:Théorème de la progression arithmétique

Preuves « euclidiennes »

Il existe une preuve « euclidienne » du théorème de la progression arithmétique pour la classe de $m{\bmod {n}}$ si et seulement si $m^{2}\equiv 1{\bmod {n}}$.

• Conrad,
• Martin,
• (en) Paul Pollack, Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theory, AMS, 2009 (lire en ligne), p. 25-26 (lemmes 1.17 et 1.19),
• (en) Johan Jönsson, « On Special Cases of Dirichlet’s Theorem on Arithmetic Progressions », 2015 (lemme 1.7).

Le « si » est dû à Issai Schur (1912) et le « seulement si » à M. Ram MurtyM. Ram Murty (1988),cf. Murty et Thain.

« Existence d'une preuve euclidienne » signifie : existence d'un polynôme non constant $P\in \mathbb {Z} [X]$ dont presque tous (c.-à-d. tous sauf un ensemble fini) les diviseurs premiers (c.-à-d. les premiers divisant $P(n)$ pour au moins un $n\in \mathbb {Z}$) sont congrus à $1$ ou à $m{\bmod {n}}$. Pour l'utilisation d'un tel $P$ pour montrer que $m{\bmod {n}}$ contient une infinité de nombres premiers, cf. Martin p. 8-9. À creuser pour enrichir cet article-ci et/ou Théorème de Schur.

Anne, 25/2/17

« Une infinité » n'est pas plus fort que « au moins 1 »

C'est facile (cf. ces 3 liens vers math.stackexchange [1], [2], [3] et ces refs : Apostol p. 156 exo 5, Erickson, Vazzana, Garth p. 351 exo 17.23, Suranyi, Erdös p. 178 § 19) mais je ne sais pas dans quelle section il vaut mieux le mentionner. Anne, 26/04/2018

Le cas des primorielles dans les prolongements du théorème

Même si je la comprends et la trouve pleinement justifiée, je regrette, Anne, la disparition de l'info concernant les primorielles suite à la modification du 11/08/2019. Considérons par exemple le cas n=6. On peut proposer le tableau:

0...6..12..18..24

1...7..13..19..25<<<<<<

2...8..14..20..26

3...9..15..21..27

4..10..16..22..28

5..11..17..23..29<<<<<<

où, en outre (1,7,13,19) et (11,17,23,29) sont des suites de Tao de raison 6, ce qui peut s'éclairer en travaillant dans Z/30. Bref, l'article est encore améliorable et à suivre...

Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 12 août 2019 à 11:15 (CEST)

PS: Si on part du rectangle ci-dessus comme base et qu'on forme un parallélépipède rectangle en ajoutant 30 à chaque fois, on obtient les 48 unités de Z/210. Cela n'illustrerait-il pas à merveille la phrase du paragraphe :"les premiers apparaissent remarquablement ordonnés"?--Stefan jaouen (discuter) 12 août 2019 à 11:23 (CEST)

PS2: en utilisant des représentations plus conformes à Z30, on peut même se représenter Z30 suivant

5...11..17..23..29<<<<<<<

10..16..22..28...4

15..21..27...3...9

20..26...2...8..14

25...1...7..13..19<<<<<<<

0....6..12..18..24

--Stefan jaouen (discuter) 13 août 2019 à 09:55 (CEST)

PS3: je peux formaliser tout cela. Même si cela déborde largement du cadre de wp, je serais heureux d'échanger à ce sujet avec tout contributeur qui voudrait bien trouver quelque intérêt aux remarques ci-dessus. Grâce au travail des contributeurs, on peut par exemple faire référence à l'article : idéal d'un anneau et passage au quotient et anneau quotient...--Stefan jaouen (discuter) 14 août 2019 à 12:11 (CEST)

 Stefan jaouen :Mmm... C'est vrai, mais c'est assez évident (peut-être à relier avec l'indicatrice d'Euler ?) La partie anneau quotient (à part des remarques certes utiles, mais banales, sur les diviseurs de zéro dans Z/nZ) ne me semble guère apporter de choses ici. Quand tout est dit, c'est extrêmement difficile de trouver des démonstrations élémentaires des propriétés "analytiques" des cribles (voir le travail d'Erdös et Selberg, en particulier (en) A. Selberg, « An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression », Ann. Math., vol. 50, n^o 2,‎ 1949, p. 297-304 (JSTOR 1969454, zbMATH 0036.30603)), et on a longtemps cru qu'il serait impossible de complètement se passer de l'analyse complexe.--Dfeldmann (discuter) 16 août 2019 à 15:09 (CEST)

merci pour ta réponse Dfeldmann. On a quand même la projection p:Z/nZ -> [0; n-1] qui permet d'appliquer des propriétés des Z/nZ aux n premiers entiers. En outre, quand n désigne une primorielle pk#, on peut proposer des illustrations comme celle qui débute l'article revêtement (mathématiques). Quant à l'indicatrice d'Euler, c'est une bonne idée : il y a par exemple dans le dessin ci-dessus deux "branches" et 2 est le nombre d'unités de Z/6Z. Cela dans Z/30=Z/p3# et cela se généralise dans n'importe quel Z/pk#.Il y a par exemple 8 branches dans Z/210 et 8=phi(210). C'est très joli à dessiner. Je peux développer si ça t'intéresse et que je n'ai pas dit trop d'anneries. --Stefan jaouen (discuter) 17 août 2019 à 14:51 (CEST)

Heu, c'est pas une projection au sens usuel ; c'est une bijection identifiant les classes de Z/nZ à leur plus petit élément positif. Sinon, oui, c'est assez naturel, et si tu veux, c'est aussi lié aux tests de primalité (on commence par travailler dans Z/pk#Z, avec k assez grand, ce qui fait gagner un facteur assez proche du ln (n) habituel (on ne teste, mettons qu'un nombre sur 30, là où un sur 300 est premier, par exemple)). Mais tout cela, je le répète, c'est du bricolage, et bien qu'on ait tout à fait le droit de s'amuser avec ça, faut pas rêver : ce sont des sujets sur lesquels certains des meilleurs cerveaux de l'humanité se penchent depuis pas mal de siècles, et même en utilisant des outils surpuissants, et pour la plupart incompréhensibles à quiconque n'est pas au moins thésard, on n'avance pas vite. --Dfeldmann (discuter) 17 août 2019 à 15:24 (CEST)

Si l'on regarde le 2ème tableau proposé, on "voit" que l' " écart " 6 apparaît 6 fois tandis que l'écart 2 n'apparaît que 3 fois dans Z/30. On peut généraliser ce type de remarque et calculer que l'écart 210 apparaît 432 fois dans Z/2310 pour bien moins d'occurences de 30 par exemple et encore moins de 2( 2 y apparaît 135 fois seulement). Cette remarque semble liée à un problème évoqué par jean-paul delahaye à la fin de son article de 1999 par exemple. On peut formaliser avec des expressions telles que Card ( $\{(u,v)\in AI_{n+1}^{\times }\times AI_{n+1}^{\times }tels\ que\ u-v=p_{n}\sharp \}$) où AI n+1 x désigne l'ensemble des unités de Z/pn+1# et pn# la classe de pn# dans Z/pn+1# évidemment(tout cela sous réserve d'erreurs,d'où la présente discussion, Dfeldmann). L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de p_n.--Stefan jaouen (discuter) 17 août 2019 à 22:43 (CEST)

Oui, tu as pas mal d'autres références dans Écart entre nombres premiers et dans les conjectures associées, mais je suppose que tu ne l'ignorais pas. L'exposé de Terence Tao en 2015 ne manque pas d'intérêt non plus.--Dfeldmann (discuter) 18 août 2019 à 02:32 (CEST)