Discussion:Équations de Navier-Stokes

Erreur dans l'équation de bilan de la quantité de mouvement ?

L'équation indiquée :

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(p)+\operatorname {div} ({\overline {\overline {\tau }}})+\rho {\vec {f}}$

ne doit pas contenir la masse volumique $\rho$ dans les dérivées partielles.

L'équation devrait être :

$\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}}.{\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\left({\vec {v}}\right)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(p)+\operatorname {div} ({\overline {\overline {\tau }}})+\rho {\vec {f}}$

Ainsi tout ce qui en découle dans l'article ne serait pas correct.

Références :

http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_d%27Euler

Yves65 (d) 11 novembre 2011 à 23:05 (CET)

Réponse: vous devriez revoir vos cours de mathématiques avant d'intervenir sur Wikipedia: les deux versions sont strictement équivalentes. On passe de l'une à l'autre via l'équation de conservation de la masse

Réponse: C'est vrai si et seulement si $\rho$ est constant. Pourquoi être si virulent ? Nous sommes tous ici pour rendre claires et surtout accessibles à tous des équations d'une importance capitale aujourd'hui.

Contexte et informations historiques

Quand je lis tout ce qui est écrit, je me dis "Oulah, ça pédale dans la choucroute chez les mécaniciens des fluides !". Ces équations de Navier Stokes sont, m'a-t-on dit, importantes.

La première chose à faire serait déjà d'essayer de faire sentir en quoi elles sont importantes, en illustrant, à l'aide d'expériences (des vraies, pas des expériences de pensée), quels phénomènes relatifs aux fluides elles décrivent. Poser le contexte, donc, pour mieux expliquer, dire comment ces équations ont été découvertes me semble une très bonne introduction.

Il faudrait poser le problème avec des "Soit...", "Supposons...", "Notons...", histoire de faire les choses dans l'ordre. A la façon dont sont présentées les équations ici, j'ai l'impression que c'est un peu "Je connais mes équations par coeur je les écris et après seulement j'explique tous les trucs compliqués qui font peur et qu'on comprend pas." Le mieux, c'est quand même d'expliquer, de la façon la plus simple et la plus claire possible, ce que sont ces "trucs compliqués qui font peur et qu'on comprend pas", et de le faire avant de balancer les équations.

BST 90.42.168.31 (d) 21 décembre 2010 à 20:10 (CET)

Bibliographie

Est-ce qu'il conviendrait d'ajouter le traité de Comolet dans la biblio? DanielB 6 juillet 2007 à 21:53 (CEST)

Bonjour.

Est-ce de ça :

http://www.decitre.fr/livres/Mecanique-experimentale-des-fluides.aspx/9782100506941

que tu parles ? Si oui, je pense que c'est certainement un bon ouvrage mais d'autres ont certainement dérivé les équations de NS avant lui, non ? Dans ce cas, ne cite que les contributions que tu as apportées à l'article en utilisant cette source.

Tinou62 (d) 10 janvier 2010 à 09:05 (CET)

Comolet + Padet --2A01:E35:39B0:40C0:21F:5BFF:FE30:CB85 (discuter) 11 octobre 2013 à 12:34 (CEST)

Notation des vecteurs

Je viens de remplacer les nabla avec flèche par des "div" et "gradient". Je ne connais rien au LaTeX, mais en tripatouillant précautionneusement tous ces symboles LaTeX j'ai réussi à un peu améliorer la formule. Un problème demeure : "gradient" est écrit sans flèche, et n'est pas en gras. Je n'ai tout simplement pas réussi à mettre une flèche sur le symbole "grad", du coup j'ai écrit le mot en entier pour faire tilter le lecteur averti et ça donne "gradient".

Pour ma part, je préfère la notation en gras à celle en flèches pour les vecteurs, parce que la plupart des vecteurs, au sens mathématique, et non pas au sens foireux que peuvent en avoir un certain nombre (que j'ignore) de physiciens, ne peuvent être représentés aisément dans notre espace 3D par des flèches. La notation en gras a l'avantage de renvoyer à la définition mathématique de ce qu'est un vecteur, que trop peu parmi ceux qui se servent de la notation en flèche connaissent, hélas...

Les vitesses eulériennes sont notées avec des flèches, il faut que ce soit soit tout en gras soit tout avec des flèches, et pas avec le "gradient" que j'ai laissé comme un malheureux.

BST 90.41.181.11 (d) 21 décembre 2010 à 20:47 (CET)

ERREUR en cylindrique ?

J'ai sous les yeux le Landau et Lifchitz (et ce n'est pas la seule référence), ils ont des équations en cylindrique et sphérique qui diffèrent beaucoup. Par exemple : ${\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\nabla \right)v_{r}-{\frac {v_{\varphi }^{2}}{r}}=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{r}P+...$ où $\nabla$ prend le sens habituel du gradient en cylindrique $\partial _{r};{\frac {1}{r}}\partial _{\varphi };\partial _{z}$ je ne modifie pas l'article pour l'instant, mais j'aimerai bien un avis là dessus. (autre référence : http://www.locean-ipsl.upmc.fr/~pba/exam_juin_2004_DMC.rtf ) --Char Snipeur (d) 28 janvier 2010 à 16:17 (CET)--

Réponse: faites d'abord les calculs sur une feuille de papier pour voir si les deux versions ne sont pas équivalentes avant d'affirmer qu'il y a une erreur dans la page de Wikipedia.

1/3

J'ai modifié l'équation après avoir regardé mes cours d'hydrodynamique et de mécanique des fluides. Je ne retrouve ni ne comprends le 1/3. NicoRay 13 jun 2004 à 14:14 (CEST)

Finalement j'ai retrouvé le 1/3, je laisse donc l'écquation et j'essaye de compléter l'article. NicoRay 13 jun 2004 à 14:27 (CEST)

• J'ai une formule plus complète de l'equation, et plus générale qui je pense serait plus adéquat

$\rho ({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}}{\vec {v}}.{\vec {v}})=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}p+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}({\overrightarrow {\overrightarrow {\Sigma _{v}}}})+\rho {\vec {f}}$

où ${\overrightarrow {\overrightarrow {\Sigma _{v}}}}=\lambda div({\vec {v}}){\overrightarrow {\overrightarrow {I}}}+\mu ({\overrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}}{\vec {v}}+{\overrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}}^{\mathit {t}}{\vec {v}})$ représente le tenseur des contraintes visqueuses fluides

Cette formulation de l'équation de quantité de mouvement permet notamment de s'affranchir de l hypothèse de Stokes qui je crois est l'origine du terme 1/3

De plus il manque les autres equations de Navier-Stokes de continuité et d'energie.

Je n'ai la force que d'écrire l'equation de continuité ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho {\vec {v}})=0$

Makiwara - OSU 17 décembre 2005 à 16:33 (CET)

Réponse: Si vous ne comprenez pas ces équations, évitez de les modifier à tout bout de champ. Laissez faire les professeurs qui les connaissent sûrement mieux que vous. Wikipedia n'est pas un défouloir pour étudiants. C'est une encyclopédie.

Difficultés des equations de Navier Stokes

Il manque aussi la principale difficulté de ces equations c'est la non unicité des quelques solutions analytiques qu'il peut exister

Réponse: Remarque très juste: j'ajoute un lien vers les problèmes du millénaire.

Utilisation de Nabla

Il me semble un peu douteux d'écrire les équations de Navier-Stokes en utilisant l'opérateur Nabla : Il sert à simplifier l'écriture de divers opérateurs vectoriels, et ne comporte pas le sens physique d'une divergence ou d'un gradient.

Ne serait-il pas plus judicieux de les écrire en utilisant les bons vieux gradients, divergences et laplaciens ? Marc Navatier (d) 21 juin 2008 à 19:20 (CEST)

J'y serais également favorable. — Florian, le 26 juillet 2008 à 18:51 (CEST)

Aux USA, les formules sont toutes exprimées avec nabla. --Mihawk (d) 16 juin 2009 à 21:35 (CEST)

Je trouve nabla hautement préférable à div, grad etc ... Ce n'est pas seulement aux US que l'on l'utilise mais dans la littérature internationale. L'opérateur nabla a une connotation internationale et moderne, et grad, div etc... particulariste et vieillotte . De plus, nabla n'est pas différent du "bon vieux" gradient c'est juste un notation différente, et qui a autant de sens physique que l'autre pour celui qui la connait. -- Zaleski (d) 5 juillet 2009 à 13:45 (CEST)

Bonjour. Certes, nabla est plus "généraliste", mais il a moins de sens. "Divergence", "rotationnel", "gradient" ou "laplacien" sont beaucoup plus explicites qu'un produit scalaire, vectoriel, etc. C'est sans doute la raison pour laquelle l'école française de mathématiques enseigne toujours ces termes. Dans un article à vocation encyclopédique donc pédagogique, d'une part, et en français d'autre part, il conviendrait peut-être d'utiliser ceux-ci. --Vega (d) 6 juillet 2009 à 00:07 (CEST)

Bonjour, je tiens à préciser que les américains utilisent peut-être le nabla mais que sérieusement je doute que quiconque étant un temps soit peux rigoureux puisse user de cette notation.

D'un point de vue mathématique le nabla est un mix entre un vecteur et une application, il na pas vraiment de sens, c'est juste un opérateur facilitant la mémorisation des formules d'analyse vectoriel (et encore au prix de quelques règles a retenir dans les doubles produit vectoriel) bref un truk de physicien quoi héhé, c'est pour ça qu'il trouve quand même une place dans les articles du portail de la physique. Mais si vous lisez de la littérature rigoureuse vous ne tomberez pas sur nabla (il y a aussi des gens rigoureux parmi les physiciens, s'il vous plait !).

Et il me semble que wikipedia peut se permettre d'être pointilleux.--Zaborowzki (d) 24 février 2010 à 22:46 (CET)

Bonjour, la rigueur de l'exposé et l'usage de la notation nabla me semblent décorrélés (à moins que vous insinuiez que Sébastien Candel a écrit un manuel de mécanique des fluides en faisant preuve de manque de rigueur ?). L'usage de nabla et de la notation tensorielle se font au quotidien chez les mécaniciens des fluides et les thermiciens, notamment parce qu'ils permettent une manipulation claire des équations (cf. les calculs de prise de moyenne volumique de Whitaker, dont les équations peuvent d'étaler sur une page entière en utilisant les notations condensées susmentionnées, par exemple). Les utiliser dans l'article Wikipédia ne me semble en aucun cas déplacé, et c'est même peut-être plus représentatif des usages en vigueur dans le domaine. M4urice (d) 21 janvier 2011 à 10:44 (CET)

Réponse: Si vous ne connaissez pas l'opérateur nabla, c'est que vous n'êtes pas un mécanicien des fluides. Contentez-vous d'appliquer les formules toutes faites et ne venez pas perturber cette page.

Vous ne voyez plus l'essentiel

Bonjours, je ne connais rien en hydrodynamique et c'est pour cela que je ne puis changer moi même les équation mais regardez bien la deuxième équation... vous ne voyez rien qui cloche?

Dans l'opérateur divergence (second terme) il y a (rho)*v VECTORIEL v

Et d'après ce que je sais rho*v étant toujours colinéaire à v ce produit est NUL...

Je ne sais pas si c'est un produit scalaire (qui ferait intervenir le double de l'énergie cinétique massique) ou qui sais quoi mais bon, bonjour la bourde!!!

C'est un produit tensoriel ! — Florian, le 26 juillet 2008 à 18:51 (CEST)

je ponse d'aprés se ke je voit kand peut bien changé l'equation car elle semble pas fiable et non aduequat en plus je ponse kand peut bien la facilité et la rendre clairs si en essay de simplifié le terme nabla puisske kil ne satisfait pas les loi de la fisike je ponse kand peut bien chongés de terme de façon kand rend l'equation plus simple et comme ellle osit simple elle peut resoudre plus le problemme la simplicité et la base du sionce toute en respectant les loi du fisike bien sur ainsi l'equation sera plus laisible et plus clair ( marouane ismail tunis)

Réponse: revoyez vos cours de mathématiques et apprenez à faire la différence entre produit vectoriel et produit tensoriel. Si vous ne connaissez pas le produit tensoriel, ouvrez un bon livre de mathématiques.

clarté?

Bonjour, cette formulation des équations de N.S. ne correspond pas à celle vue en cours et semble peu adéquate. Il vaut mieux utiliser grad, div, rot etc. De plus, une équation se doit d'être homogène (vecteur à gauche=vecteur à droite). Le produit vectoriel est enseigné avec ce symbole: ^

Bonjour,

• je reviens de la page produit vectoriel, effectivement, on le note à la française, il y a même une discussion à ce sujet.
• Pour ce qui est des opérateurs que j'utilise aussi sous la forme${\overrightarrow {\nabla }}$, il y a aussi une discussion un poil plus étoffée plus haut
• Pour ce qui est de l'inhomogénéité, je ne pense pas prendre trop de risques en disant que tu as tort… Vérifie les définitions des produits tensoriels, cross product…

Bon courage pour ce dernier point !

Tinou62 (d) 10 janvier 2010 à 09:26 (CET)

Homogénéité

Bonjour, l'équation de mouvement au début me semble bizarre car on ajoute une série de vecteur avec une divergent, qui est pas definition un scalaire. (dwhunter)— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Dwhunter (discuter), le 26 mars 2009 à 16:17

La divergence d'un vecteur est un scalaire. La divergence d'un tenseur (d'ordre 2) est un vecteur ! — Florian, le 12 juillet 2009 à 01:18 (CEST)

Réponse: continue tes cours de mathématiques et apprend le produit tensoriel. Sinon, contente-toi de l'expression de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles.

Équation de bilan de la quantité de mouvement

bonjour g remarqué que vous avez sommé un vecteur avec un un scalaire c-à-d une divergence plus un rotationnel Dimitrov08 (d) 19 janvier 2011 à 17:07 (CET)

Non, cf. la section juste au-dessus. Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 19 janvier 2011 à 17:12 (CET)

Section INTERPRETATION

Cette section est parfois un peu simpliste. En particulier, dire que l'on simplifie la résolution de NS en augmentant le nombre de Reynolds, c'est quand même faire injure aux milliers de chercheurs de tous horizons qui ont étudié le phénomène de turbulence. Je modifie et complète cette section.

--GRömK (d) 24 mars 2011 à 17:48 (CET) gromk

Vérification de l'équation du bilan de quantité de mouvement

• Discutez dans les chapitres prévus.
• Liens utiles : À recycler - À traduire - À fusionner - Orthographe à vérifier - Soupçons de copyright - Articles non neutres

Proposé par : Yves65 (d) 12 novembre 2011 à 11:16 (CET)

Raisons de la demande de vérification

À remplir par le proposant

Selon plusieurs sources l'équation de bilan de la quantité de mouvement est différente de celle indiquée dans l'article.

L'équation indiquée :

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(p)+\operatorname {div} ({\overline {\overline {\tau }}})+\rho {\vec {f}}$

ne devrait pas contenir la masse volumique $\rho$ dans les dérivées partielles.

L'équation devrait être :

$\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}}.{\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\left({\vec {v}}\right)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(p)+\operatorname {div} ({\overline {\overline {\tau }}})+\rho {\vec {f}}$

Ainsi tout ce qui en découle dans l'article ne serait pas correct.

Références :

http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_d%27Euler

http://perso.ensc-rennes.fr/jimmy.roussel/apprendre/mecaflu.pdf

Réponse: Voir plus haut.

Reponse (constructive?): Bonjour, ce point semblant porter a confusion, peut-etre que ceci peut aider. Un petit calcul vectoriel donne:

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\vec {v}}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho {\vec {v}}\right)\right]+\rho \left[{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\left({\vec {v}}\right)\right]$

Le premier terme du membre de droite s'annule en invoquant l'equation de la conservation de la masse. Les deux formulations sont donc identiques si et seulement si la masse est conservee, ce qui est normalement le cas. Cependant, la formulation avec la masse volumique incluse dans la derivee materielle est preferable car c'est la forme originelle du principe de conservation de la quantite de mouvement, et reste donc plus generale. Cette formulation est par ailleurs avantageuse quand on traite des ecoulements compressibles (cf "formulation conservative") et permet en particulier d'obtenir les conditions de sauts aux chocs tres facilement. C'est aussi la forme preferee des numericiens.

Références

Bonjour,
(Il règne une ambiance sur cette page ! J'espère que je ne vais pas me faire cartonner comme un pigeon. Bon, enfin, je me lance !)
Il n'y a qu'une référence pour la totalité de l'article. C'est normal ?
Cordialement, et Hop ! Kikuyu3 ^{Sous l'Arbre à palabres} 21 mai 2015 à 22:06 (CEST) ... qui rentre chez lui en courant et sans se retourner.

Erreur dans le bilan de quantité de mouvement

Bonjour,
Comme plusieurs avant moi, je crois voir une erreur dans l'équation de conservation de la quantité de mouvement.

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\overline {\overline {\tau }}}+\rho {\vec {f}}$

.

Comme cela a été dit auparavant, l'équation devrait être :

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\left(\rho {\vec {v}}\right)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(p)+\operatorname {div} ({\overline {\overline {\tau }}})+\rho {\vec {f}}$

D'abord, les div ont été remplacé par des Nabla alors que cette notation ne me semble pas très pertinente pour la divergence d'une tenseur (dont la définition n'est actuellement donnée nulle part). Ensuite la relation de la dérivée particulaire n'est pas respectée.
Je modifierai s'il n'y a pas d'objection.
— Ellande (Disc.) 12 juillet 2016 à 18:09 (CEST)

Ahem... Les deux équations sont égales. On passe de l'une à l'autre avec l'équation bilan de quantité de masse. Kelam (discuter) 12 juillet 2016 à 19:30 (CEST)

Ok, je veux bien vérifier, mais je n'arrive pas à utiliser l'opérateur Nabla ici en l'état, je ne comprend à quelle opération correspond le \cdot. Je vais chercher un peu mais si vous avez une piste.— Ellande (Disc.) 12 juillet 2016 à 20:40 (CEST)

J'ai copié collé comme une âne sans regarder, ce n'est pas ce que je voulais écrire je modifie l'équation qui me semble correcte au-dessus. Je ne sais pas pourquoi les \rho avaient été sortis. Je réfléchis toujours et en développant, je trouve une différence entre les deux expressions du premier membre.— Ellande (Disc.) 12 juillet 2016 à 21:02 (CEST)

Euh non, je ne crois pas : on a bien, avec la conservation de la masse,

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\text{div}}\left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\left(\rho {\vec {v}}\right)\right]+\rho \left({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {grad}}\right){\vec {v}}=\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho \left({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {grad}}\right){\vec {v}}.$

Ensuite, l'utilisation de nabla ou non relève de la préférence personnelle (ce n’est qu'une notation, après tout). Kelam (discuter) 12 juillet 2016 à 21:59 (CEST)

OK, après vérification, c'est en effet exactement équivalent . Merci pour votre réactivité.

Concernant nabla, je comprends son utilité notamment au niveau mnémotechnique pour tous les opérateurs vectoriels (divergence = produit ; gradient = produit scalaire ; rotationnel = produit vectoriel ; gradient d'un vecteur = produit dyadique que je découvre ; laplacien = simple produit) mais pas pour la divergence. Du coup la notation \cdot me perturbe ː ce ne serait qu'un notation que pour la divergence ? Si vous voulez bien m'éclairer à nouveau...

— Ellande (Disc.) 12 juillet 2016 à 23:10 (CEST)

Je crois qu'il y a une petite erreur : en fait, ce serait plutôt gradient = produit $({\vec {\nabla }})$ et divergence = produit scalaire $({\vec {\nabla }}\cdot )$. Rien de grave, on retient avec la pratique Kelam (discuter) 12 juillet 2016 à 23:27 (CEST)

Oui, évidemment. Mais pour la divergence d'une matrice 3 par 3 ̈comme ici ? Y a-t-il une signification et, si non, peut-on tout de même utiliser cette notation ? — Ellande (Disc.) 13 juillet 2016 à 10:33 (CEST)

L'opérateur divergence "fait perdre" une dimension, donc la divergence d'un tenseur (matrice 3x3) donne un vecteur, dont les coordonnées seront ici les divergences des vecteurs colonnes du tenseur ${\bar {\bar {\tau }}}$. Je peux comprendre que ça surprenne quand on commence en analyse vectorielle, mais formellement, il n'y a pas d'erreur de notation. Kelam (discuter) 13 juillet 2016 à 10:48 (CEST)

 Kelam :OK s'il n'y a pas d'explication, ainsi soit-il. L'utilisation de nabla n'est lié qu'à des habitudes.

Ne faudrait-il pas, selon vous, indiquer cette définition de la divergence (matrice 3x3) dans Divergence (analyse vectorielle) ou dans Nabla ? Actuellement, sauf erreur de ma part, aucun article ne présente cette définition.

— Ellande (Disc.) 13 juillet 2016 à 10:59 (CEST)

 Kelam : Je reviens à la charge car je viens d'observer une erreur dans mes calculs de vérification.

D'abord la forme la plus évidente :

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\left(\rho {\vec {v}}\right)={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\left(\rho {\vec {v}}\right)$

Démonstration

$\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}{\mathrm {d} t}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial x}}{\mathrm {d} x}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial y}}{\mathrm {d} y}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial z}}{\mathrm {d} z}$

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}$

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial z}}$

Ensuite une forme si on développe :

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}}\right)+\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\rho \cdot {\vec {v}}\right){\vec {v}}$

Démonstration

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}=\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\vec {v}}+\rho \,v_{x}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}v_{x}{\vec {v}}+\rho \,v_{y}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}v_{y}{\vec {v}}+\rho \,v_{z}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}v_{z}{\vec {v}}$

${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}v_{z}\right){\vec {v}}$

Par contre, si j'utilise l'expression donnée ici, cela ne correspond pas ː

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=\rho \,{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho \,({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\vec {v}}=\rho \,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Démonstration

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\vec {\nabla }}\cdot \left({\begin{pmatrix}\rho v_{x}\\\rho v_{y}\\\rho v_{z}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\right)={\vec {\nabla }}\cdot {\begin{pmatrix}\rho v_{x}v_{x}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}v_{x}&\rho v_{y}v_{y}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}v_{x}&\rho v_{z}v_{y}&\rho v_{z}v_{z}\end{pmatrix}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{z})}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}v_{x}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}v_{x}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}v_{x}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}v_{x}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}v_{x}\\{\frac {\partial \rho }{\partial x}}v_{y}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{y}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}v_{y}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}v_{y}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial v_{z}}}v_{y}\\{\frac {\partial \rho }{\partial x}}v_{z}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}v_{x}+\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{z}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}v_{z}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}v_{y}+\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}v_{z}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}v_{z}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}v_{z}+\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}v_{z}\end{pmatrix}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\begin{pmatrix}(\rho \,\mathrm {div} \,{\vec {v}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\rho \cdot {\vec {v}})v_{x}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{x}\cdot {\vec {v}}\\(\rho \,\mathrm {div} \,{\vec {v}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\rho \cdot {\vec {v}})v_{y}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{y}\cdot {\vec {v}}\\(\rho \,\mathrm {div} \,{\vec {v}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\rho \cdot {\vec {v}})v_{z}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{z}\cdot {\vec {v}}\end{pmatrix}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)={\begin{pmatrix}\mathrm {div} \,(\rho {\vec {v}})\,v_{x}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{x}\cdot {\vec {v}}\\\mathrm {div} \,(\rho {\vec {v}})\,v_{y}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{y}\cdot {\vec {v}}\\\mathrm {div} \,(\rho {\vec {v}})\,v_{z}+\rho \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,v_{z}\cdot {\vec {v}}\end{pmatrix}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=\mathrm {div} \,(\rho {\vec {v}})\,{\vec {v}}+\rho ({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\vec {v}}$

${\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,{\vec {v}}+\rho ({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\vec {v}}$

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}{\vec {v}}-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,{\vec {v}}+\rho ({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\vec {v}}$

${\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=\rho \,{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho \,({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\vec {v}}$

Il manque, selon moi, la variation de quantité de mouvement par variation de la masse volumique ${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\,{\vec {v}}$ à l'heure actuelle.

— Ellande (Disc.) 21 juillet 2016 à 14:22 (CEST)

Les calculs sont justes, il n'y a pas d'erreur. Je crois voir où vous voyez un problème alors qu'il n'y en a pas : l'absence d'un terme en ${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}$serait problématique s'il n'y avait qu'une seule équation, or ici, comme vous l'utilisez, on considère un système d'équations, et le calcul ne fait que montrer l'équivalence entre les deux systèmes

${\begin{cases}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=0\\&{\frac {\partial (\rho {\vec {v}})}{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}})=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,p+\rho {\vec {f}}+\operatorname {div} ({\bar {\bar {\tau }}})\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=0\\&\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,p+\rho {\vec {f}}+\operatorname {div} ({\bar {\bar {\tau }}})\end{cases}}$

Kelam (discuter) 21 juillet 2016 à 14:49 (CEST)

 Kelam : Peut-être mais l'équation actuelle n'est pas le bilan de la quantité de mouvement : elle ne prend en compte que la variation de quantité de mouvement par variation de vitesse. Ce n'est pas le cas général car elle sous-entend que la masse volumique est constante ce qui nous place face à l'étude d'un fluide incompressible.

En plus simple, on devrait lire ${\frac {\mathrm {d} (\rho {\vec {v}})}{\mathrm {d} t}}=\sum {\vec {f}}$ et on lit $\rho {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\sum {\vec {f}}$ : cela reste un problème ou j'ai raté quelque chose. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Ellande (discuter)

Je vois bien en quoi cela peut être source d'erreur, mais je répète : tant qu'il est bien clair que cette équivalence n'est vraie que pour les systèmes d'équation et pas pour l'équation de conservation de quantité de mouvement seule, ça reste un simple choix de forme. Kelam (discuter) 21 juillet 2016 à 16:10 (CEST)

 Kelam :Et bien ce n'est pas clair. Dans la forme actuelle il a été choisi d'écrire l'équation bilan de la quantité de mouvement pour un fluide incompressible sans le dire : ce n'est pas clair pour moi... et manifestement pour plusieurs contributeurs qui ont fait des remarques avant moi. Je ne vois pas pourquoi il faudrait se restreindre à ce cas car l'expression générale n'est pas plus compliquée (et plus élégante à mon goût, mais ça on s'en moque)

Pourquoi s'opposer à ce qu'apparaissent la forme la plus générale possible ? ${\frac {\mathrm {d} \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}=-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\overline {\overline {\tau }}}+\rho {\vec {f}}$. En outre, le développement ne serait pas le même si la description était lagrangienne.

— Ellande (Disc.) 21 juillet 2016 à 16:29 (CEST)

Et quand ai-je dit que je m'y opposais ? J'ai simplement constaté que ce que certains prenaient pour une erreur se trompaient. D'autre part, en faisant quelques recherches rapides, il m'a semblé que la forme non conservative semble plus utilisée, donc le fait qu'elle apparaisse ici est un simple choix de rédaction répondant au principe de moindre surprise. Maintenant, si vous voulez corriger, allez-y... Kelam (discuter) 21 juillet 2016 à 16:55 (CEST)

Je comprends, c'est un mauvais copier/collé de ma part au départ qui généré un quiproquo. J'ai corrigé ensuite les deux équations que je voulais comparer (voir au tout début de cette discussion). Je vais essayer de rendre les choses un peu plus claires sur mon brouillon puis je reviendrai. — Ellande (Disc.) 21 juillet 2016 à 18:25 (CEST)

J'ai écrit pas mal d'âneries au dessus. Je reviens après quelques révisions et je constate que l'article a beaucoup changé. Je vais essayer de relire petit à petit.— Ellande (Disc.) 28 août 2016 à 02:35 (CEST)

Article recycléː quelques questions

 Jojo V : une première question pour commencer. Vous n'avez pas défini l'opération représentée par un point entre les deux matrices dans l'expression : $\alpha ={\mathsf {T}}_{1}:{\mathsf {T}}_{2}={\textrm {Tr}}({\mathsf {T}}_{1}\cdot {\mathsf {T}}_{2}^{T})$. S'agit-t-il d'un simple produit matriciel ? — Ellande (Disc.) 6 septembre 2016 à 18:09 (CEST)

Bonjour,

Il s'agit de la contraction tensorielle (voir aussi Tenseur#Opérations sur les tenseurs#Contraction). L'expression donnée peut être comprise comme une définition de celle-ci dans le cadre qui nous intéresse. Il s'agit de la trace du produit scalaire [1] du tenseur T_1 avec le transposé de T_2.

--Jojo V (discuter) 6 septembre 2016 à 18:33 (CEST)

 Jojo V : selon cet article (Matrice (mathématiques)#Structure d'espace vectoriel euclidien) ou selon ce que je crois comprendre de votre source [2], le produit scalaire donne un scalaire.

${\mathsf {T}}_{1}\cdot {\mathsf {T}}_{2}=\mathrm {tr} ({\mathsf {T}}_{1}^{\mathsf {T}}\times {\mathsf {T}}_{2})=\sum _{\scriptstyle 1\leq i\leq m \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}t_{1ij}t_{2ij}=t_{1xx}t_{2xx}+t_{1yx}t_{2yx}+t_{1zx}t_{2zx}+t_{1xy}t_{2xy}+t_{1yy}t_{2yy}+t_{1zy}t_{2zy}+t_{1xz}t_{2xz}+t_{1yz}t_{2yz}+t_{1zz}t_{2zz}$.

Je ne vois donc pas comment on peut lui appliquer une trace comme s'il s'agissait d'une matrice. — Ellande (Disc.) 6 septembre 2016 à 23:15 (CEST)

Bonjour,

Je change la notation pour alléger :

$\mathrm {A} :\mathrm {B} =\sum _{i}\sum _{j}a_{ij}b_{ij}=\sum _{k}a_{1k}b_{1k}+\sum _{k}a_{2k}b_{2k}+\sum _{k}a_{3k}b_{3k}$

$\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} ^{T}=(a_{ik}b_{jk})_{i,j=1,3}={\begin{pmatrix}\sum _{k}a_{1k}b_{1k}&\sum _{k}a_{1k}b_{2k}&\sum _{k}a_{1k}b_{3k}\\\sum _{k}a_{2k}b_{1k}&\sum _{k}a_{2k}b_{2k}&\sum _{k}a_{2k}b_{3k}\\\sum _{k}a_{3k}b_{1k}&\sum _{k}a_{3k}b_{2k}&\sum _{k}a_{3k}b_{3k}\\\end{pmatrix}}$

donc

$\mathrm {A} :\mathrm {B} =Tr\left(\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} ^{T}\right)$

Cette relation est censée être utilisée pour l'établissement de la dernière équation de "Quelques variations...". Je n'ai pas vérifié cette équation, pas plus que la précédente. Peut-être faudrait-il introduire ces démonstrations (abrégées ?) sous forme de texte dépliant.

--Jojo V (discuter) 7 septembre 2016 à 17:15 (CEST)

 Jojo V : ça ne répond pas à ma question portant sur le nom donné aux opérations.

Il me semble que le point ($\cdot$ \cdot) que vous avez placé entre les deux matrices est tout simplement le produit matriciel. Et que ce que vous notez $:$ n'est autre que le produit scalaire. Je n'ai pas encore tout décortiqué et je n'ai pas vérifié la partie qui utilise cette notation (il serait peut être plus simple de l'introduire à ce moment là). Je ne crois pas me tromper quand je dis que le produit scalaire doit donner un scalaire, une opération bien nommée.

Je regrette de devoir à nouveau vous signaler qu'il est indispensable de citer vos sources pour que la rédaction puisse être vérifiée. Il ne s'agit pas nécessairement de tout démontrer ici mais de rassembler ce qui a pu être attesté ailleurs en indiquant où cela a été publié : Wikipédia:Citez vos sources.

— Ellande (Disc.) 7 septembre 2016 à 21:20 (CEST)

Bonjour,

Dans $\mathrm {C} =\mathrm {A} \cdot \mathrm {B}$, C est le produit contracté de A et B que l'on note de manière standard avec un point par analogie avec le produit scalaire. La matrice associée à C est le produit matriciel des matrices associées à A et B dans un certain repère.

L'équation dont il est question était citée précédemment dans le paragraphe "Écoulements à faible nombre de Mach" où elle n'avait pas sa place, étant générale. La référence qui était donnée est donc sans intérêt et je vais en chercher une autre.

--Jojo V (discuter) 8 septembre 2016 à 17:16 (CEST)

Fluides incompressibles - Équation de bilan de la quantité de mouvement

La relation indiquée à fin avril 2022 était la suivante : ${\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {V}}{\vec {V}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \,{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {V}}+{\vec {g}}$

Le problème est lié à l’interprétation accordée au terme ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {V}}$ qui peut prêter à confusion :

• Si ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {V}}=({\vec {\nabla }}^{2})\,{\vec {V}}$, on a bien $({\vec {\nabla }}^{2})\,{\vec {V}}=\Delta {\vec {V}}$ et c’est correct. Mais il faut alors noter $\nabla ^{2}{\vec {V}}$.
• Si ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {V}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})$, ce n’est pas la même chose.

La dernière équation de la page traitant de l’emploi moderne de nabla au sujet du laplacien vectoriel est écrite $\Delta {\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {\nabla }}^{2}{\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {\nabla }}\wedge ({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {A}})={\overrightarrow {\nabla }}({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {A}})-{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}({\overrightarrow {\operatorname {rot} }}{\overrightarrow {A}})$ et elle indique clairement que c’est la seconde interprétation qui est admise ici.

Dans l’équation de bilan de quantité de mouvement, la première interprétation est correcte. En effet, pour un fluide newtonien en général, le tenseur des contraintes ${\mathsf {\Sigma }}=\mu \left[\,{\vec {\nabla }}{\vec {V}}+({\vec {\nabla }}{\vec {V}}\,)^{T}\right]+\mu '({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}\,)\;{\mathsf {I}}$ permet de déduire ${\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {\Sigma }}=\mu \left[\,{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}{\vec {V}})+{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}{\vec {V}}\,)^{T}\right]+\mu '\,{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}\,)\;{\mathsf {I}}=\mu \,\nabla ^{2}{\vec {V}}+(\mu +\mu ')\,{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}\,)$

Le second terme étant nul dans le cas incompressible, le bilan de la quantité de mouvement devient alors ${\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {V}}{\vec {V}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \,\nabla ^{2}{\vec {V}}+{\vec {g}}$

ce qui est conforme à la première interprétation.

D’autre part, puisque ${\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {V}}{\vec {V}}\right)=({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {V}}$ dans le cas incompressible, la formulation suivante me semble préférable (le membre de gauche reflétant l’accélération des particules du fluide) :

${\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \,\nabla ^{2}{\vec {V}}+{\vec {g}}$

Elle correspond d’ailleurs précisément aux expressions en coordonnées cartésiennes détaillées dans le menu déroulant. --Jaccard (discuter) 6 mai 2022 à 17:58 (CEST)

Écoulements irrotationnels : une erreur

Depuis sa création le 17.12.2017 à 13h52, la première équation de ce chapitre, soit

$\rho \left({\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}{\vec {V}}\,{\vec {V}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+\rho \,{\vec {g}}+\mu \left({\frac {4}{3}}\,{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}-{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Omega }}\right)$

est incorrecte : on vérifie en effet que les deux termes entre () du membre de droite n’ont pas la même unité.

Il suffit de remplacer ${\frac {4}{3}}\,{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}$ par ${\frac {4}{3}}\,{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})$

Justifications :

• On retombe sur l'équation de bilan de la quantité de mouvement indiquée dans la page de l’équation de Helmholtz.
• On obtient la nouvelle forme en repartant de l'équation de bilan de la quantité de mouvement d’un fluide newtonien (cf plus haut) et en appliquant les deux identités vectorielles.

--Jaccard (discuter) 6 mai 2022 à 18:13 (CEST)