Discussion:Variance (mathématiques)

Ajout Probabilité

En accord avec les remarques déja formulées, je pense que cet article mérite une révision.

Définir la variance comme le carré de l'écart-type me semble un peu mettre la charrue avant les boeufs dans la mesure où dans la pratique (et aussi par définition) on calcul l'écart type comme étant la racine carré de la variance.

Il est de plus bien nécessaire de ne pas confondre probabilité et statistique.

Je propose donc de définir d'une part la variance en probabilité:

En probabilité la variance d'une variable aléatoire X se définit comme $V(X)=\mathbb {E} ((X-\mathbb {E} (X))^{2})\,$ (+éventuellement des explications).

Puis de définir la notion de statistique:

La variance V(x) d'un échantillon statistique représente la moyenne des carrés des écarts à la moyenne: $V(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$

On pourra alors faire le lien entre la notion de probabilité et la notion de statistique:

Lors de la réalisation successive d'une expérience aléatoire de variable aléatoire X, on obtient un échantillon statistique. La variance de cet échantillon fournit une estimation de la variance de la variable aléatoire X. De plus, si on répète un grand nombre de fois l'expérience, la variance de notre échantillon statistique converge vers la variance de X (cf. loi des grands nombres).

Attention a ne pas mettre des X lorsqu'on parle de statistique, car X renvoi à la notion de variable aléatoire qui est une notion de probabilité. Inversement les x_i n'ont pas leur place en probabilité car il correspondent à la réalisation d'une variable aléatoire, on manipule alors un échantillon statistique.

--Bzhboy 13 février 2007 à 18:18 (CET)

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On pourrait également ajouter que: $var(x)=\mathbb {E} ((X-\mathbb {E} (X))^{2})\,$.

On a plus tendance à se servir des formules de Koenigs: $var(x)=\mathbb {E} (X^{2})-\mathbb {E} (X)^{2}\,$

La variance en probabilité mesure la dispersion de X autour de son espérance.

Feeder Fan 8 mai 2006 à 15:28 (CEST)

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Cet avis n'engage que moi, mais ayant contribué à l'ajout sur les formules de Koenig, je trouve que la notation actuelle, à savoir $V(X)=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}x_{i}^{2})-{\overline {x}}^{2}$ et qui est tout à fait juste, n'est pas simple à manipuler surtout pour le néophite. Je suggère donc d'ajouter la forme simplifiée citée plus haut. Si quelqu'un y voit des objections qu'il parles maintenant ou se taise à jamais :p

Feeder Fan 9 août 2006 à 22:19 (CEST)

pas tout-a-fait d'accord : on peut très bien faire des stat sans avoir jamais vu de proba donc ne pas connaitre la notation de E(X) pour l'espérance. Tu me diras, en relisant l'article, je vois que l'on a mis p_i au lieu de f_i donc on mélange déjà allègrement proba et stat (pas bon tout ça...). Ensuite j'ai un autre problème : toutes ces formules figurent déjà dans l'article écart type et cela serait dommage de faire un doublon. La remarque sur le fait que tout figure dans écart type est bien dans l'article mais personne ne semble la voir.

La seule chose qui ne figure pas déjà dans l'artcile écart type est le calcul en temps réel de la variance en stat. Maintenant si tu vois comment arranger cela proprement. HB 9 août 2006 à 23:01 (CEST)

En effet, je n'avais pas vu la quantité de formules (utiles?) de l'article ecart-type ...Ca me vas comme ça (moi je m'en fiche, je la connais la formule :D ). Il est évident qu'il y aura de la redite vu que les deux notions sont liées. Il peut d'ailleurs être intéressant d'avoir des informations sur les formules propre à chaque article sans avoir à lire son « complémentaire » ce qui peut devenir contraignant si on veut juste s'assurer ponctuellement de ses connaissances. J'en conclus que l'article actuel me parrait incomplet. Feeder Fan 9 août 2006 à 23:23 (CEST)

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Cet article est incompréhensible pour un non mathématicien. Un non mathématicien doit à partir de cet article comprendre à quoi sert le calcul d'une variance et comment la calculer. Chaque signe doit être décrit. Un peu de vulgarisation ne fait pas de mal et l'article doit être autoporteur, c'est-à dire compréhensible sans être obligé d'aller voir d'autres significations pour comprendre. L'introduction doit être plus complète. Qui a inventé la variance, depuis quand l'utilisa t-on ?

Démonstration

La démonstration de Var[aX + b] = a²Var(X) est la suivante

Var[aX + b] = E[ (aX + b)² ] - (E [aX + b])² .

= E[ a²X² + 2abX + b²] - (aE(X) + b)² = a²E(X²) + 2abE(X) + b² - a²E²(X) - 2abE(X) - b² = a²E(X²) - a²E²(X) = a²Var(X) Et non pas la triste note qui est donnée en soi-disant référence — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Wikirosia (discuter)

Deux démonstrations justes, pour le même résultat. Je ne vois pas de raison de privilégier celle-ci. Kelam (mmh ? o_ô) 23 octobre 2012 à 22:12 (CEST)

Commentaire du lecteur : variance conditionnelle

128.179.150.132 a publié ce commentaire le 4 octobre 2013 (voir tous les retours).

variance conditionnelle

Avez-vous des remarques à formuler ?

Litlok (m'écrire) 2 mars 2014 à 00:22 (CET)

Oui, cela manque, à mon avis, dans cet article. HB (discuter) 2 mars 2014 à 08:23 (CET)

J'ai donné la définition, brute de fonderie. Maintenant, je me demande si, histoire de développer un peu, il faut introduire le théorème de la variance totale... Kelam (mmh ? o_ô) 2 mars 2014 à 17:54 (CET)

Merci d'avoir réagi celui qui agit en créant a plus de mérite que celui qui agit en critiquant.... On peut peut-être glisser juste un mot sur le sujet , du genre

La variance de Y est liée à la variance et l'espérance conditionnelles par la théorème de la variance totale :$\operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [Y\mid X])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid X]).\,$

Il restera à créer l'article français correspondant de l'article anglais. HB (discuter) 2 mars 2014 à 18:10 (CET)

Proposition mise en place. Les articles théorème de la variance totale et théorème de l'espérance totale sont à créer. HB (discuter) 3 mars 2014 à 10:43 (CET)

Commentaire du lecteur : Quelques petits exem...

78.225.152.163 a publié ce commentaire le 11 décembre 2013 (voir tous les retours).

Quelques petits exemple d'application numériques au tout début serait le bien venu.

Avez-vous des remarques à formuler ?

Litlok (m'écrire) 2 mars 2014 à 00:23 (CET)

Dérive inévitable de cet article qui s'est petit à petit orienté vers le niveau universitaire. L'apparition dès le résumé introductif de la phrase « C'est un des moments caractéristiques d'une distribution qui peut être interprété comme un moment d'inertie. » censé éclairer le lecteur annonce la couleur: «Que nul n'entre dans cet article s'il n'a pas obtenu un bac scientifique !» et la présence, dès le milieu de la section 3, d'une phrase comme:

La covariance est une forme bilinéaire symétrique positive sur l'espace vectoriel $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {B}},\mathbb {P} )$ des variables aléatoires de carré intégrable, et la forme quadratique associée est la variance.

arrête forcément le lecteur moyen avant qu'il ne puisse lire les formules de variance dans le cas discret.

Le parti pris de privilégier le vocabulaire des probabilités (terme d'espérance privilégié à celui de moyenne) reléguant celui des statistiques à un rôle marginal (terme de moyenne jugé impropre), ferme les portes de cet article au lecteur sans formation en probabilité, mais qui voudrait comprendre des termes employés en stats

De même, le fait que tout tableur présente deux variances possibles, et que toute calculatrice présente deux écarts types possible devrait être évoqué clairement, d'entrée de jeu et son lien avec le principe d'estimation clairement expliqué. Ce qui n'est pas le cas actuellement dans notre article où la section estimation présuppose déjà que le lecteur sait ce qu'est une estimation.

Aautre manque, l'absence d'indication pour calculer la variance d'une variable statistique continue rangée par classe.

Bref l'article cible des lecteurs dont le bagage en probabilité est d'ordre bac plus deux. Ces mêmes lecteurs risquent de toute façon de ne pas aller eux aussi plus loin que la section 3 en apprenant qu'ils vont calculer la « variance d'une transformation affine » (sic!)

Cependant, je ne vois pas comment lutter contre cette dérive, sauf éventuellement en présentant un résumé introductif tout public, en orientant le lecteur débutant vers Statistiques élémentaires discrètes, Statistiques élémentaires continues, Variables aléatoires élémentaires et en modifiant le plan pour que les formules (cas discret, cas continu) apparaissent beaucoup plus tôt et au moins avant les propriétés. HB (discuter) 2 mars 2014 à 09:14 (CET)

Proposition mise en place. HB (discuter) 3 mars 2014 à 10:44 (CET)

Définition de la variance

Juste une question: d'où sort le (n-1)? Cette définition de la variance ne marche pas pour une série d'une seule valeur (dans ce cas division par 0...). Bref je ne suis pas convaincu et je mettrais un n à la place. 2beers4duke

merci de l'alerte. Il s'agit d'un correction malencontreuse d'une IP le 30 décembre 2014 qui a confondu variance effective et variance estimée (voir section estimation). Modification annulée. HB (discuter) 13 janvier 2015 à 22:54 (CET)

Pourquoi n/(n-1) ?

"doive être multiplié par le nombre n/(n-1) supérieur à 1 (et donc être moins précis)". Cette phrase me semble tout à fait malencontreuse pour deux raisons. Tout d'abord on corrige ici un biais parce que l'on désire justement un résultat meilleur et donc plus précis. Ensuite j'ai l'impression étrange que multiplier par un nombre inférieur à 1 aurait apporté de la précision: drôle d'idée.

Erreur n/(n-1)

La démonstration du facteur n/(n-1) n’est pas convaincante (ne faisant qu’exprimer ce qu’elle prétend démontrer : le prétendu biais n/[n-1]) et même pas valide. Si on prend la population des nombres 1;2;3 (N=3, M=2) cela fait une variance V de 0,67 (moyenne quadratique des écarts à la moyenne M, n-1 est hors sujet) et si l’on calcule les variances v_i avec des échantillons de 2 nombres (n=2, moyennes m_i diverses), soit [1;2], [1;3], [2;3], on obtient les v_i 0,25;1;0,25 par rapport à leur mi, et la variance moyenne v est 0,5 effectivement sous-estimée (par rapport à 0,67), mais avec la formule d’estimation n-1, cela donne les v_i 0,5;2;0,5 d’où une variance moyenne v = 1, qui est surestimée (par rapport à V=0,67) et pas du tout exacte. Comment la démonstration prétendument universelle (et en rien convaincante) peut-elle ainsi être contredite par le premier exemple venu ? C’est simple : elle est fausse.--Tophe141 (discuter) 26 septembre 2015 à 19:43 (CEST)

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Précision :

Le contre-exemple ci-dessus est valable quelles que soient les valeurs, et cela semble indiquer qu'une solution mathématique générale existe, mais n/(n-1) est faux. En complétant : http://www.kristofmeunier.fr/Var_Idea.JPG --Tophe141 (discuter) 4 octobre 2015 à 05:35 (CEST)

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En clair :

J’imagine que les ouvrages de statistiques futurs auront un Théorème de Meunier (ou Théorème de Malcor-Meunier en incluant le nom de mon arrière-grand-père officieux, mathématicien) : [L’ancienne loi, sans le second multiplicateur, était totalement fausse avec son signe =, il fallait lire « environ égal à (et "quasiment égal à" pour N très grand) », mais la prétendue démonstration qui l’oubliait était totalement erronée. Avec triomphe (pendant des siècles) des réciteurs benêts sur les démonstrateurs logiques, c’est affligeant, c’est presque le contraire des vraies mathématiques.]

  Variance = (Moyenne des écarts²) × n/(n-1) × (N-1)/N, pour un échantillon d’effectif n pris dans une population d’effectif N.

   --Tophe141 (discuter) 6 octobre 2015 à 04:00 (CEST)

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Réserve :

 Non, bien sûr : un théorème est forcément « démontré », de A à Z, en partant des axiomes pris en compte, et je n’ai pas réussi à faire cela. Ce serait plutôt une Conjecture de Meunier (à la Fermat : ça marche mais ce n’est pas prouvé universel), j’ai démontré que dans 6 types de situation, avec 3 exemples chacune, donc 18 fois sur 18 : la formule du cours était totalement fausse, alors que prétendument « démontrée », et 18 fois sur 18, ma formule corrigée donnait le vrai résultat (moyenne des échantillons = valeur de la population).
 Tiens, pour étoffer un peu ça, sans y passer des années, je peux ajouter les 5 genres de N= 6 à 10, en me limitant cette fois au cas n=N-1 donc k=N possibilités, sans continuer à pointer toutes les combinaisons. Et oui, ça vérifie encore mon v(n parmi N)=(moyenne des écarts²)×n/(n-1)×(N-1)/N, avec les ratios correcteurs (à la formule du cours) : 6/5, 7/6, 8/7, 9/8 et 10/9.
 La bombe est lancée. Ça mériterait « étude d’impact » : comment une erreur grossière a-t-elle pu être tenue pour vraie mondialement pendant des siècles, et enseignée en université, publiée en ouvrages savants, etc. ? Cela ne ruine-t-il pas l’édifice mathématique prétendu pur (« sciences exactes ») ?
 En tout cas, reste pour les vrais mathématiciens (s’il y en a) un vrai challenge : comment démontrer vraie la conjecture de Meunier ? (remplaçant la faute classique, à chasser des cours et ne plus jamais déclarer « démontrée » puisqu’erronée).--Tophe141 (discuter) 8 octobre 2015 à 06:19 (CEST)

Bonjour. Deux choses :

1. Il me semble que vous faites une confusion entre la variance d'un échantillon de n variables (ce qui est donné dans l'article et démontré de longue date) et la variance d'un échantillon de n variables tirées au hasard parmi N variables (ce que vous recherchez).
2. Wikipédia n'est pas un espace de recherche, et les pages de discussion des articles ne sont pas des forums libres mais sont dédiées à l'amélioration des articles. Espérer trouver ici quelqu'un qui vous épaulera dans vos travaux est donc vain.

Kelam (discuter) 8 octobre 2015 à 10:11 (CEST)

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Réponse, merci :

Merci pour votre avis, quoique il me semble non convaincant lui aussi, désolé : 1/ A) Il manque à l’article la « démonstration » que vous invoquez (peu importe qu’elle soit « de longue date » si elle est fausse), celle marquée dans l’article est invalide, ne prouvant rien et se confirmant fausse 42 fois sur mes 42 essais (quand la formule corrigée que je donne est juste 42 fois sur 42). B) Qu’est-ce qu’un « échantillon » de n variables s’il n’est pas extrait d’une population de N variables ? Quand je mesure habituellement 12 pièces en contrôle d’un lot de 1000, j’applique n/(n-1) et j’oublie N=1000, mais en quoi rappeler que « ce N=1000 (ou N=30 une autre fois) n’est pas du tout sans conséquence » est-il une confusion ? Où dans la démonstration (manquante) intervient cette dissociation « avec N » ou « sans N » ? L’article est à revoir. C) En prenant n comme extrait de N, je parvenais à confirmer que la variance brute sans correction (se référant à moyenne d’échantillon en ignorant la moyenne de population) est sous-estimée, facteur clé invoqué pour corriger par le multiplicateur n/(n-1)>1, je ne m’égarais donc pas dans des faux-problèmes hyper-particuliers ; simplement, je trouve une autre conséquence imprévue (requérant un contre-multiplicateur <1 en plus pour ne plus surestimer la variance estimée), démentant le cours de fac/l’article Wikipedia. 2/ Je ne suis nullement un chercheur mais un quidam (ayant travaillé en Contrôle Qualité), mathématicien amateur, formé à l’université et constatant qu’on lui a menti. Cet article Wikipedia affirme « vrai démontré » ce que je prouve erroné. J’appelle donc à une réécriture. Si c’est une révolution appelant d’abord jugement d’experts internationaux en congrès, c’est à désespérer du monde mathématique, ne vérifiant rien à rien, et éduquant à réciter ce qui en fait est erroné, non prouvé juste. Cela dépasse la variance seule, certes, c’est énorme. Ne faut-il alors rien dire, laisser clamer l’erreur prétendue Vérité ? Je ne crois pas.--Tophe141 (discuter) 9 octobre 2015 à 08:24 (CEST)

En 2 secondes sur Google, je crois avoir compris le problème : vous mélangez les estimateurs et les cas d'étude. L'estimateur sans biais de la variance à partir de n tirages quand on connait l'espérance (qui n'a pas de correction n/(n-1)) et celui sans biais de la variance n tirages quand l'espérance est inconnue et donc elle aussi à estimer (qui nécessite la correction n/(n-1)). Pour cela, les calculs sont donnés dans l'article. Sauf que vous étudiez le problème d'une variance moyenne estimée à partir d'estimations de variances sur des sous-échantillons. Vous voyez bien que le souci est que vous n'étudiez pas du tout le même cas d'étude. Kelam (discuter) 9 octobre 2015 à 10:34 (CEST)

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Re-merci, ça se clarifie

Je vous remercie d’expliquer votre incompréhension. Il y a effectivement 2 cas pour le calcul de variance : 1- population (d’effectif N) V= (moyenne des écarts²). 2- échantillon (d’effectif n tiré d’une population N) v estimé = (moyenne des écarts²)× n/(n-1). C’est ce que dit l’article, et j’ai prouvé que la seconde formule est fausse, sur 14 cas, chacun avec 3 séries de valeurs. Sur ces 42 essais la formule juste est : v estimé = (moyenne des écarts²) × n/(n-1) × (N-1)/N. Je parle bien du second cas, et je signale bien une erreur de l’article (et des cours universitaires), le comprenez-vous ? Si la formule de l’article était véritablement « démontrée », comme elle le prétend, ce serait impossible, mais c’est une pseudo-démonstration fausse (prouvée fausse par 14 cas sur 14), à corriger. (Ou il faudrait remplacer le « égal » par « environ égal », et le « démontré » par « parait-il démontré si l’on croit les professeurs sans faire preuve d’intelligence critique ni de doute scientifique »).

Bonjour. Les quelques remarques qui suivent ne vous convaincront sans doute pas ; elles sont destinées au lecteur cultivé (mais non mathématicien) qui découvrirait cette discussion. Comme vous le verrez en consultant les pages pertinentes (WP:TI), etc.), si vraiment vous avez découvert une erreur grossière ayant échappé à tout le monde (depuis près de deux siècles dans le cas dont nous parlons), vous devez , pour pouvoir l'exposer sur Wikipédia, la faire d'abord publier dans une revue à comité de lecture (ou autre support "officiel")  : vous devez bien vous douter que si elle a échappé à tout le monde, nous ne sommes pas compétents pour en juger. Cela dit, je vous recommande également la lecture des articles hybris et effet Dunning-Kruger, ainsi que celles de livres sur l'histoire des mathématiques, la façon dont les erreurs y sont diagnostiquées et corrigées (voir par exemple espace suslinien (en) ou théorème des quatre couleurs), et enfin de livres sur les quadrateurs de cercle et autres démonstrateurs du grand théorème de Fermat. Que cela ne vous décourage pas trop tout de même bien qu'il soit probable que vous ne vous fassiez guère d'amis en expliquant aux gens qui tentent gentiment de vous montrer votre erreur qu'ils font preuve d'incompréhension et de manque d'esprit critique.--Dfeldmann (discuter) 10 octobre 2015 à 16:46 (CEST)

Tirage avec ou sans remise

Je ne m'étendrai pas sur la forme du message précédent, mais venir annoncer que tous les profs de mathématiques sont des imbéciles et que la formule mise est fausse, allant jusqu'à avoir la présomption de penser que l'on vient de découvrir le Graal ne favorise pas le dialogue. Concernant le Graal, je crains qu'il ne faille repasser : si j'ouvre au hasard un petit manuel sur les sondages (Manuel de sondages, Applications aux pays en développement, Rémy Clairin, Philippe Brion, Documents et manuels du CEDEP, février 97, ISBN: 2-877762-082-4), je lis page 17 : la valeur $s^{2}={\frac {1}{n-1}}\Sigma _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$ est un estimateur sans biais de V(Y) dans le cas d'un tirage avec remise et de ${\frac {N}{N-1}}V(Y)$ dans le cas d'un tirage sans remise. Cette seconde formule est plus lourde à démontrer que la première mais peut se faire en quelques lignes (une quinzaine pour moi). L'article de Wikipedia se place d'emblée dans le cas de tirage avec remise. C'est un choix normal et explicité (cf; estimation-propriété-biais "l'estimateur $s_{n-1}^{2}$ est sans biais dans le cas d'un tirage avec remise"). La question pourrait se poser de savoir pourquoi privilégier le tirage avec remise par rapport au tirage sans remise. Mon avis perso est que c'est plus simple et que cela correspond à la réalité de ce qu'on fait en général : lorsqu'on lance plusieurs fois un dé pour évaluer s'il est équilibré ou non (espérance attendue, variance attendue) ou quand on prélève plusieurs échantillons en sortie d'usine pour savoir si la chaine de fabrication vérifie bien les normes (espérance attendue, variance attendue), on renouvelle plusieurs fois de manière indépendante une même expérience (ce qui correspond à l'idée de tirage avec remise). Quand on extrait des poissons d'un lac, on ne connait pas forcément la valeur de N et en général, on fait des prélèvement avec remise (faudrait pas vider le lac!). Enfin, en théorie des sondages, il est fréquent que la première phrase soit du type : la valeur de N est assez grande pour qu'on estime que les tirages sont des expériences indépendantes de même loi de probabilité (c-à-d avec remise). La question que je laisse à votre sagacité est donc de savoir si la formule sans remise doit être ou non mise dans l'article. 78.250.108.159 (discuter) 12 octobre 2015 à 09:33 (CEST)

Disons que, puisqu'il y a une source, il est raisonnable d'enrichir l'encyclopédie en mentionnant ce cas certes moins fréquent ; maintenant, est-ce dans l'article variance ou dans un article plus spécialisé sur les estimateurs, je ne sais...--Dfeldmann (discuter) 12 octobre 2015 à 15:16 (CEST)

Et puisqu'on en est là, quelqu'un peut-il expliquer autrement que par un calcul en force (et si possible, généraliser) la curieuse observation suivante : si on prend quatre nombres (a,b, c, d) de variance v, la moyenne des variances des tirages (avec remise) d'un couple (x,y) est exactement v/2 (autrement dit, la correction n/(n-1) est exacte dans ce cas, et non seulement asymptotiquement sans biais...) --Dfeldmann (discuter) 12 octobre 2015 à 18:33 (CEST)

Bon, j'espère que personne n'a lu ce qui précède : comme il s'agit d'un calcul d'espérance, il suffisait de lire la démonstration donnée dans les encadrés. Comme quoi répondre aux cranks est presque aussi nuisible que de répondre aux trolls...--Dfeldmann (discuter) 12 octobre 2015 à 19:12 (CEST)

Pourquoi préférer le tirage sans remise ? Simple : dans mon métier, les contrôles sont destructifs, il s’agit de vérifier la performance d’un produit à usage unique (l’échantillon de contrôle est prélevé avant début des mesures, pas complété après chaque mesure avec remise en stock du produit reconstitué/re-fabriqué) ; par ailleurs des publications techniques sur un sujet voisin mesurent les concentrations dans des prises de sang successives (qu’on ne va jamais réinjecter aux patients). Donc le tirage avec remise est entièrement hors sujet pour nous, mais la formule dite « sans remise » est tellement méconnue que tout le monde emploie la formule standard (du tirage avec remise, dites-vous), même les « biomathématiciens professionnels ». C’est une erreur lourde (merci d’avoir trouvé la source officielle confirmant mon diagnostic). Toutefois, avoir durement donné tort celui qui signalait cette erreur est incompréhensible (mathématiquement). J’ai par ailleurs prouvé fausse votre loi dans un tirage avec remise, mais puisque la discussion n’est pas mathématique, continuez à vous tromper en étalant votre Culture, les Mathématiques sont ailleurs.Tophe141 (discuter) 13 octobre 2015 à 05:38 (CEST)

Intervalle de confiance et khi-deux

--Felix323 (discuter) 26 octobre 2019 à 11:23 (CEST)

Sous "Intervalle de confiance", on lit : "...le quotient de la variance empirique sans biais par la variance réelle suit une loi de khi-deux avec n – 1 degrés de liberté..."

Ca me semble erroné car pour une loi de khi-deux avec n-1 degrés de liberté, l'espérance est (n-1), ce qui voudrait dire que le quotient de la variance empirique par la variance réelle est proche de (n-1), donc que la variance empirique est très éloignée de la variance réelle (pour n>2) ! A mon avis il manque un facteur (n-1) au numérateur du quotient, comme on le voit dans l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cochran sous "Estimateur non biaisé de la variance".

N'ayant jamais édité une page Wikipedia (et n'étant pas mathématicien, j'ai un peu peur de raconter des sottises), je laisse quelqu'un de plus expérimenté faire cette correction. Par ailleurs, ce paragraphe sur l'intervalle de confiance de la variance estimée mériterait d'être un peu développé, par exemple sur la base de la page internet http://www.smart-metrology.com/blog/2014/01/quelques-considerations-importantes-concernant-lestimation-des-ecarts-types/ qui va jusqu'à donner explicitement l'intervalle de confiance sur l'estimation de la variance.

Qu'en pensez-vous ?

Felix

Il manque en effet un facteur (n-1) je le rajoute. D'accord sur le fait que le paragraphe devrait être développé. Bonne journée.--Huguespotter (discuter) 27 octobre 2019 à 10:45 (CET)

Merci beaucoup !

--Felix323 (discuter) 27 octobre 2019 à 20:03 (CET)