Discussion:Nombre cardinal

Divers

Cet article devrait être fusionné avec l'article cardinalité qui fait doublon, plutôt sous le titre du présent article, mais plutôt avec le contenu de l'article cardinalité qui est plus complet, même s'il est encore imparfait. Theon 15 février 2006 à 19:25 (CET)

Fusion avec l'article Cardinalité effectuée. Theon 28 février 2006 à 09:58 (CET)

Je ne suis pas très familier avec la théorie des ensembles, mais y a-t-il une différence entre $\varnothing$ et $\emptyset$ ? Si ce n'est pas le cas, je serais tenté de recommander l'usage du second plutôt que le premier.

83.112.205.254 8 janvier 2007 à 22:33 (CET)

Ai modifié la 1ère phrase du 1er exemple : où l'on note $2^{\aleph _{0}}$ le cardinal de l'ensemble des fonctions de $\aleph _{0}$ dans $\{0,1\}$, équipotent à ${\mathfrak {P}}(\aleph _{0})$. ... est devenu : où l'on note $2^{\aleph _{0}}$ le cardinal de l'ensemble des fonctions de $\aleph _{0}$ dans $\{0,1\}$, équipotent à ${\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )$.

Dans ce même exemple, l'égalité $\mathrm {card} (\mathbb {R} )=2^{\aleph _{0}}$ ne me semble pas aller d'elle même. Je peux en écrire une démonstration, qui complèterait l'exemple. 83.112.205.254 8 janvier 2007 à 22:33 (CET)

Fission d'article

« Fission » ? On ne rigole plus, dites donc... Salle 8 septembre 2007 à 01:28 (CEST)

Si, justement. Je ne savais pas comment se disait ici le contraire d'une fusion. Je me suis dit qu'un peu d'humour dans ce monde de wikibrutes ne pouvait pas faire de mal.--Ambigraphe, le 8 septembre 2007 à 16:52 (CEST)

À la lumière de la discussion à propos des cardinaux et de l'hypothèse du continu, je me dis que cette page aurait peut-être intérêt à être scindée entre Nombre cardinal et Cardinalité, cette dernière notion pouvant regrouper les calculs de cardinaux finis et capter les liens qui la concernent (d'où mes modifications de liens courant juin).--Ambigraphe, le 7 septembre 2007 à 14:11 (CEST)

Je suis parfaitement d'accord avec cette distinction ; elle me semble indispensable. Mais il faut attendre d'avoir d'autres avis. Ekto - Plastor 7 septembre 2007 à 14:33 (CEST)

D'accord pour deux articles et pour distinguer cardinalité finie (plus de la combinatoire que de la théorie des ensembles) mais pourquoi "cardinalité" renverrait plus à "cardinalité finie" ? Proz 7 septembre 2007 à 15:41 (CEST)

Dans mon esprit, la cardinalité ne renvoie pas seulement au cas fini mais se départit des questions d'axiome du choix et des alephs pour n'utiliser que l'équipotence. Cela suffit donc pour dire la droite réel a même cardinalité que l'ensemble des parties du dénombrable, mais c'est moins pratique pour discuter de l'hypothèse du continu.--Ambigraphe, le 7 septembre 2007 à 15:56 (CEST)

Je suis d'accord : la cardinalité n'a rien à voir avec l'axiome du choix, et même se définit indépendamment de l'existence ou l'inexistence d'ensembles infinis. L'article "cardinalité" contiendrait une importante partie Histoire et devrait à mon avis comporter un lien visible vers Nombre cardinal. Ekto - Plastor 7 septembre 2007 à 16:19 (CEST)

J'avais mal compris. La séparation en deux articles me semble alors assez artificielle, et disons que les titres ne sont pas très éclairants sur la distinction. Par contre l'article devrait commencer par se restreindre à ce que vous appelez cardinalité, qui si je comprends bien est l'approche la plus élémentaire (classes d'équipotence), et se concentrer d'abord sur les ensembles familiers N, R, R^n ...). On arrive vite à des résultats qui dépendent de AC : un ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, totalité de la subpotence. La définition des cardinaux à partir des ordinaux et tout ce qui en dépend (notation aleph) ne devrait venir qu'ensuite. Par contre je trouve que la combinatoire (section "opérations ensemblistes" actuelle) n'est pas vraiment à sa place. Proz 7 septembre 2007 à 18:02 (CEST)

Non, la séparation en deux articles ne me semble pas superficielle, loin de là. Les nombres cardinaux nécessitent d'être définis, et pour qui n'a jamais entendu parler de théorie des ensembles, la définition n'est pas immédiatement compréhensible ; pour autant, l'article est nécessaire, utile, et doit commencer par une définition claire ; au contraire, la cardinalité est une notion dont les gens auront plus facilement entendu parler. Evidemment, les notions de cardinalité ne peuvent être comprises sérieusement qu'à travers la définition et l'étude des nombres cardinaux. Enfin, la cardinalité regroupe les notions élémentaires de cardinalité vues en premier cycle universitaire (cardinalité d'un ensemble fini).

Je pense qu'une séparation est réellement souhaitable mais ne pourra être perçue comme réellement intéressante et enrichissante que si est proposée un premier aperçu du nouvel article Cardinalité. Kelemvor 7 septembre 2007 à 18:15 (CEST)

Effectivement. Pour répondre à Proz, l'article sur la cardinalité n'a pas vocation (selon moi) à être une théorie des cardinaux en dehors des ordinaux, mais à aborder la notion du point de vue du dénombrement et de l'équipotence sur des exemples particuliers. Il n'est point besoin des ordinaux pour montrer que la droite réelle est en bijection avec l'ensemble de ses parties finies, ou que l'ensemble des germes de fonctions réelles est en bijection avec l'ensemble des parties de R. Pour tous les raisonnements sur les ensembles en général, et en particulier pour montrer qu'un ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, on peut sans problème renvoyer à l'article sur les nombres cardinaux.--Ambigraphe, le 7 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

Articles liés à la cardinalité

Je liste ici les articles ayant un rapport étroit avec la notion de cardinalité : difficile de savoir dans quel sens modifier celui-ci sans regarder les autres, il devrait proablement donner une présentation générale et rediriger pour les détails sur ceux-ci). A terme, je me demande s'il ne faudrait pas les regrouper dans une même catégorie (il y a la catégorie:nombre cardinal mais probablement "cardinalité" sous-catégorie de catégorie:théorie des ensembles serait mieux, la catégorie:infini est hétéroclite). Ils sont plus ou moins développés, en général il y a fort à faire (voir aussi l'encyclopédie anglaise, souvent plus complète).

• équipotence (pourrait être développé dans le sens cardinalité "élémentaire" ?)
• ensemble fini, ensemble infini (il devrait y avoir des discussions sur la définition de fini/infini);
• dénombrement (pourrait être développé, il y a aussi combinatoire)
• ensemble dénombrable et ensemble indénombrable ("indénombrable" ne me semble pas correct, ce dernier article ne semble pas indispensable) ;
• puissance du continu ;
• aleph-0, aleph-1, aleph (nombre) (à fusionner à mon avis, et reprendre) ;
• Théorème de Cantor-Bernstein, Théorème de Cantor (éventuellement Argument de la diagonale de Cantor, mais qui ne doit pas parler que de cardinalité)
• nombre transfini (parle aussi d'ordinal) ;
• hôtel de Hilbert:
• théorèmes de König (théorie des ensembles) ;
• hypothèse du continu ;
• paradoxe de Cantor ;

et j'en oublie probablement ... Proz 7 novembre 2007 à 23:47 (CET)

Classe d'ensembles

Ce premier paragraphe de l'article est très fregéo - fregéen. Rien de mal à ça mais ça mérite d'être précisé, je veux dire le lecteur ne sait pas pourquoi on change de définition d'un paragraphe à l'autre et pourquoi l'article exploite une définition autre que celle qu'il donne au début. --Michel421 (d) 19 septembre 2008 à 11:43 (CEST)

C'était peut-être fregéo - fregéen, mais maintenant c'est inaccessible même à un élève de maths sup. Je trouve ça bien dommage. Il est possible d'aborder les nombres cardinaux par l'équipotence, puis d'exhiber un représentant de chaque cardinalité et de l'appeler nombre cardinal. L'approche par ZF fait perdre de vue tout l'intérêt de la chose. Cordialement, Ambigraphe, le 24 septembre 2008 à 14:14 (CEST)

Bonjour. j'avais aussi mis un message chez toi ; comme tu n'avais pas semblé faire d'objection j'ai attendu quelques jours puis fait la modification. Rien ne t'empêche de reverter maintenant, cependant exhiber un représentant dans chaque classe c'est juste l'axiome du choix, sauf qu'ici ce sera beaucoup plus problématique. Non, je ne pense pas que "ZF fait perdre de vue tout l'intérêt de la chose" et est "inaccessible". En tout cas, si tu as des références pour quelque chose de plus accessible, ne te gêne pas... Cordialement --Michel421 (d) 24 septembre 2008 à 15:26 (CEST)

Tu as écrit qu'il fallait « faire le lien », ce que je trouvais très bien. Tu n'as pas fait de lien et tu fais commencer l'article par Zermelo-Fraenkel, l'axiome du choix et la notion d'ordinal, trois choses qui ne sont connues que des mathématiciens, car absentes des programmes scolaires (y compris classes prépa) comme des programmes de concours d'enseignement. J'exagère à peine en ce qui concerne l'axiome du choix, car il est cité en prépa mais admis comme boîte noire. Je ne connais personnellement ces notions que pour avoir épluché l'Universalis.

ZF est un formalisme très important qu'il faut effectivement détailler dans l'article. Mais commencer par là est absurde : les vrais mathématiciens n'ont pas besoin de l'article Nombre cardinal de Wikipédia pour savoir ce que c'est, tandis que les non-mathématiciens fuiront dès la première ligne. Ambigraphe, le 24 septembre 2008 à 17:13 (CEST)

Bon, la matière de l'article, avant comme maintenant, est l'exposition des propriétés des nombres cardinaux, et elle utilisait les mêmes concepts de ZF, axiome du choix et ordinal. Rien n'a changé sauf l'ordre dans lequel les définitions apparaissent et un commentaire rajouté (et aussi quelques changements de type cosmétique pour éviter l'histoire des deux cardinaux dont "chacun est plus petit que l'autre"). L'article exploite la même définition que celle qu'il exploitait avant. Je l'ai mise au début puisque c'est celle-ci qui avait servi. Voilà c'est tout.

Quant aux théories naïves, celle de Halmos utilise à fond les ordinaux et l'axiome du choix. Celle de Bourbaki (dans le fascicule bien sûr pas dans le traité des éléments) spécifie un ensemble avant de le subdiviser en classes d'équipotence, ces classes sont des puissances donc ça se rapproche de ce que tu veux mais la relation est définie sur un ensemble particulier pas sur la classe des ensembles. --Michel421 (d) 24 septembre 2008 à 18:34 (CEST)

La « définition » que j'avais proposée il y a quelque temps n'était pas la meilleure façon d'aborder le sujet, je le reconnais. L'approche bourbakyste, pour une fois, me semble plus adaptée pédagogiquement d'après ce que tu dis. On pourrait alors imaginer une première partie « Construction naïve » (équipotence, construction de Bourbaky, premières propriétés n'utilisant pas le choix) suivie d'une partie « Définition formelle » (rappel ZFC, ordinaux, cardinaux) puis d'une partie « Calcul » explicitant systématiquement l'utilisation ou non de l'axiome du choix, voire du choix dénombrable. Enfin, les cardinaux inaccessibles et le lien avec l'hypothèse du continu restent développés en fin d'article. Cela permet-il de faire le tour de la question ? Toute la partie sur les calcul de certains cardinaux finis devrait à mon sens rejoindre un article Cardinalité. Ambigraphe, le 24 septembre 2008 à 20:05 (CEST)

A qui s'adresse cet article ?

Pour l'instant, j'ai un peu de mal à comprendre la finalité de cet article.

Quand je regarde dans WP les articles qui pointent vers Nombre cardinal, je trouve les articles à forte audience comme pi, nombre d'or, Entier naturel. Si ce public, qui dépasse les 100.000 visites mois dans leur ensemble, a le malheur de pointer vers l'article, il tombera sur : "Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'adjonction de l'axiome du choix (donnant la théorie ZFC) permet de définir le cardinal d'un ensemble comme le plus petit nombre ordinal qui lui est équipotent." Voilà déjà la très grosse majorité de nos lecteurs perdus. Ne serait-il pas judicieux de commencer par une définition comme celle que l'on proposait aux enfants du primaire dans les années 60 ? Le nombre cardinal d'un ensemble est le nombre de ces éléments, c'est simple et aiderait beaucoup de lecteurs.

Ensuite, je pense à ceux, curieux qui ont entendu dire que le fondement des mathématiques est la théorie des ensembles. Les entiers naturels ont été admis dans leur cursus, préparatoire ou universitaire, avec quelques explications assez vaseuses dans lequel les mots ZF ou axiomes du choix étaient utilisées, essentiellement comme des formules incantatoires et totalement vide de sens. Certains curieux peuvent souhaiter savoir comment ces diables d'entiers ont été construit. On leur a dit avec ZF et le lemme de Zorn, mais c'est tout. Je subodore que ce public n'est pas visé non plus. L'article suppose déjà construit l'ensemble des entiers naturels. Le public qui souhaite comprendre le chainon manquant entre la théorie des ensembles et les entiers naturels, n'est pas plus concerné que les précédents par l'article.

Enfin, je pense aux nostalgiques qui, comme au début du siècle dernier, ont un faible pour les suites transfinies. Ils savent que certains détails logiques épineux parsèment la route. Avec ce genre d'animal, on construit des ensembles non mesurables de [0,1], alors qu'il est aussi possible d'admettre l'axiome garantissant que toute partie de R est mesurable. Le premier paragraphe les rassure, l'article n'est pas non plus fait pour eux. On annonce, bille en tête l'existence d'une relation d'ordre dans quelque chose qui n'est pas trop défini, l'ensemble de tous les ensembles peut-être ? Non, surement pas, une relation d'ordre est défini dans un ensemble. En tout cas, la lecture du premier paragraphe indique clairement qu'il ne faut pas compter sur cet article pour apprendre à contourner les pièges des suites transfinies ou tout ceux liés à l'usage d'un cardinal non fini.

Je me demande donc à qui s'adresse l'article et à quelle question est-il supposé répondre ? Jean-Luc W (d) 24 septembre 2008 à 20:00 (CEST)

Je partage complètement cette analyse, d'où le plan que je propose ci-dessus. Ambigraphe, le 24 septembre 2008 à 20:05 (CEST)

Pour répondre à Jean-Luc W :

1) l'article, comme tous ceux de WP, d'Universalis, de Larousse etc..., s'adresse à tous celles et ceux qui sont intéressés par le sujet. D'où la difficulté.

2) qu'est-ce que c'est qu'un cardinal, informellement ? C'est dit dans l'introduction :

« En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Les nombres cardinaux permettent donc de mesurer l'ampleur de tout ensemble, même infini, là où les entiers naturels ne comptent le nombre d'éléments que d'ensembles finis. »

Donc, non, l' article ne commence pas par "Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'adjonction de l'axiome du choix" etc... par contre l'intro est peu visible. Ça peut-être c'est la faute à la présentation de WP (le sommaire après l'intro).

Pour le reste, je crois qu'il faut attendre Proz et Epsilon0 qui auront sûrement des choses à dire. --Michel421 (d) 24 septembre 2008 à 20:51 (CEST)

IL n'y a aucun problème à développer une première théorie de la cardinalité fondée sur l'équipotence, tant qu'il s'agit de comparer les cardinaux. Il me semble aussi que c'est ainsi que devrait commencer un article introductif. On peut admettre des phrases du genre "A a un plus grand cardinal que B" comme des façons de parler (il existe une injection de B dans A). Définir formellement les cardinaux comme des classes d'équivalence, je ne vois pas trop l'intérêt, vu que ça ne marche pas trop bien, même si on peut un peu faire comme si. Par contre on peut poser le problème informellement, dire comment on peut se débrouiller (un peu dans le style de équipotence qui peut être amélioré) ... De façon générale, sur les notions de base de théorie des ensembles comme celle-ci, il me semble qu'il vaut mieux une approche au début non axiomatique, ne serait-ce que pour dire clairement ensuite les problèmes que l'axiomatisation résout.

Pour le plan général : je ne suis pas forcément contre un article cardinalité plus généraliste, qui parle de cardinalité finie, et de cardinalité infinie, pose les problèmes, et qui renvoie sur d'autres articles pour des choses comme les cardinaux comme ordinaux. Mais sur le contenu de ce article, ou de la première partie de l'article présent, je ne suis pas sûr d'être d'accord. Je ne vois pas où est le problème avec l'axiome du choix. On n'échappe pas à l'axiome du choix pour des questions très naturelles qui ne parlent pas d'ordinaux (la totalité de la subpotence par ex., l'équipotence d'un ensemble avec son carré cartésien). On peut en parler (pas tout de suite) en restant accessible (au moins mentionner qu'il est utile), et là aussi ça vient avant la définition par les ordinaux. En tout cas construire un article cardinalité sur le critère : on fait ce qui est accessible aux taupins et pas plus, ça ne me semble pas le bon point de vue. On peut aussi d'ailleurs parler de l'hypothèse du continu sans parler d'ordinaux. Par contre je ne vois pas de raison de développer le dénombrement (pour moi le nombre d'injections, de surjections, etc. c'est hors sujet, à renvoyer ailleurs). Pour le reste, ll me semble que le problème est plus sur la façon d'aborder les choses, que vraiment sur le contenu (pour les inaccessibles, on peut se dire quand même que ça devrait aussi être abordé ailleurs). Il y a aussi d'autres articles à développer, et sur lesquels renvoyer. Proz (d) 24 septembre 2008 à 22:40 (CEST) Et je ne vois pas pourquoi pi et nombre d'or renvoient sur nombre cardinal ! (entier naturel d'accord). Proz (d) 24 septembre 2008 à 22:43 (CEST)

Nous sommes tout à fait d'accord. Je n'ai pas dit que l'article devait se contenter du niveau taupin ni qu'il devait faire l'impasse sur ZFC. Simplement, il ne doit pas commencer par la référence à de telles notions. Une fois passée la notion de cardinal fini et l'équipotence, on peut partir dans le formalisme. Ambigraphe, le 25 septembre 2008 à 08:19 (CEST)

Précision

Tout d'abord merci pour ces réponses.

La rédaction d'un article de maths dans une encyclopédie est souvent très difficile. J'y vois deux graves écueils, l'article est souvent considéré comme trivial par un expert et en même temps incompréhensible par le néophyte. Je pense qu'un bon article, ou un bon jeu d'articles doit être capable de satisfaire néophytes et experts. Mon modèle est l'article théorème d'incomplétude de Gödel. Après l'avoir lu, je suis plus intelligent qu'avant et j'ai appris des choses. Je suis aussi capable d'en parler à des néophytes, qui ont aussi l'impression d'être plus malin après qu'avant. Je rêve d'un article de cette nature sur la délicate question des cardinaux.

Pour y arriver, il faut beaucoup de rigueur sur les acquis présupposés du lecteur et les informations qu'on lui divulgue. Il est à mon avis possible d'apprendre des choses à quelqu'un sur la notion de nombre cardinal sans supposer qu'il domine le concept d'axiome du choix, de nombre ordinal et qu'il connaisse le théorème de Cantor Bernstein. Pour ceux qui savent donner un sens à ces mots, ce n'est pas la peine de leur expliquer que l'ensemble {1,...,n} contient n éléments, ils s'en doutaient. Cela ne veut pas dire que ce public d'experts ne se pose pas de questions. Sait-il démontrer que N est un ensemble bien ordonné, ou encore pourquoi l'axiome du choix est nécessaire ?

Proz apporte des les éléments de réponses qui font consensus. Expliquer la problématique, vulgariser la première partie de l'article, faire usage d'un découpage judicieux des thèmes traités dans différents articles pour une meilleure cohérence ou encore éviter des hors sujet comme des questions de dénombrements. Enfin, tout le monde semble d'accord pour estimer que l'indépassable horizon mathématiques de WP n'est pas le savoir prodigué jusqu'à la taupe.

Dans un premier temps, si on pouvait disposer d'un paragraphe simple et de bon gout qui explique au néophyte ce qu'est un cardinal, ce serait surement une bonne idée. Dans un deuxième temps, si on pouvais vraiment comprendre comment on définit le cardinal d'un ensemble fini et montrer l'existence d'un ensemble de nombres entiers, je serais heureux. J'ai l'impression que pour répondre à cette question, Cantor Bernstein, le dénombrement d'ensemble fini, l'hypothèse du continu sont hors sujet. Dans un troisième temps, comprendre quelque chose à un nombre cardinal infini serait la cerise sur le gateau. Jean-Luc W (d) 25 septembre 2008 à 10:28 (CEST)

Pour ce qui est fini, il y a déjà entier naturel, construction des entiers naturels et ensemble fini. L'ensemble {1,2, .... , n} a n éléments ça c'est pas trop compliqué, par contre la distinction entre construire les entiers naturels (ce qui ne requiert pas l'axiome de l'infini) et construire l'ensemble des entiers naturels (ce qui requiert l'axiome de l'infini), c'est plus subtil et mérite quelques explications. Faut-il les développer ici ou dans construction des entiers naturels ? Je pencherais pour la dernière solution étant donné que l'article en question aborde le problème (de façon très sommaire). Mais d'un autre côté cet ensemble est lui-même (dans la notation de Von Neumann) un cardinal, et très intéressant, celui de tous les ensembles infinis dénombrables, et cette matière est traitée dans ensemble dénombrable. Bref, il faudra trouver un équilibre pour ne pas doublonner avec une quantité d'articles.--Michel421 (d) 25 septembre 2008 à 19:52 (CEST)

Et quant au dénombrement, avant de l'enlever il faudra s'assurer qu'il existe déjà ailleurs (dans Combinatoire je suppose ?) - Car il n'est pas question de le recopier (GFDL oblige) - ça va être le même pb que pour "algèbre des parties d'un ensemble" et "opération ensembliste" on ne déplace pas des rubriques d'un article à l'autre --Michel421 (d) 25 septembre 2008 à 23:08 (CEST)

Personnellement et suite à des réflexions menées avec des membres actifs de WP mathématiques comme HB, Ambigraphe ou encore le regretté Salle, j'ai beaucoup joué au lego avec différents paragraphes d'un article. WP évolue et la cohérence entre les différents articles est un enjeu majeur. Le déplacement des rubriques d'un article à l'autre ne semble ne jamais nous avoir posé le moindre problème. Sinon, l'affaire deviendrait vraiment injouable.

Avant d'avoir les idées claires sur ce qui doit aller dans quel article, la première question me semble être celle du contenu. Ai-je raison de diviser la question en trois : Le cardinal pour les néophytes, le cardinal comme chainon essentiel à la construction logique des objets mathématiques (je pense à N) puis le cardinal des ensembles infinis ? Comme je ne suis de loin pas le plus compétent en logique, il faudrait obtenir un consensus sur cette approche. L'opinion de Proz, par exemple me semble essentiel, je lui fais beaucoup plus confiance qu'à moi.

Ensuite, la question est celle du public. J'imagine pour cet article une approche très didactique, quitte à être beaucoup plus rigoureux pour construction des entiers naturels ou ensemble dénombrable.

Enfin, on peut traiter convenablement l'aspect du découpage, pour moi sans trop se soucier des contraintes (GDFL).

Cette démarche te semble-t-elle faire sens ? Jean-Luc W (d) 26 septembre 2008 à 11:48 (CEST)

Vu comme ça, ça me paraît sensé, ça serait une introduction à ces articles mais ça suppose que ces derniers soient assez développés or ce n'est pas forcément le cas. En ce qui concerne la GFDL le pb ne se pose pas trop puisque le dénombrement a l'air d'être implanté dans Combinatoire (sur le fond de la question c'est vrai que je n'ai pas non plus bien compris cette histoire puisque les auteurs n'ont plus de droits, sont anonymes et ne sont pas censés faire de travail original donc je ne vois pas trop ce qu'on entend par "créditer")--Michel421 (d) 26 septembre 2008 à 19:45 (CEST)

Les choses sont plus claires maintenant pour moi, en particulier sur la cardinalité finie (ou j'avais mal compris les propositions d'ambigraphe, désolé), si je comprends bien il s'agit de la traiter pour pouvoir faire le lien l'intuition qui est plus solide dans le cas fini. Pour ce qui est de la représentation des entiers naturels en théorie des ensembles : j'avais mis des choses dans axiome de l'infini (l'aspect formel), mais il me semble quand même que dans une première approche, on peut s'appuyer surtout sur l'intuition des entiers. On peut aborder le problème ensuite. Sinon je n'aime pas trop l'intitulé construction des entiers naturels, l'intitulé de l'anglais en: Set-theoretic definition of natural numbers me semble plus correct.

Il me semble qu'il faut introduire la cardinalité par l'équipotence, en expliquant l'intérêt de la généralisation au cas infini, mais en embrayant sur le cas fini pour appuyer l'intuition. Disons pour fixer les choses que pour moi l'histoire de la cardinalité remonte à Cantor, même si bien-sûr on a dénombré bien avant. Je cite de mémoire, mais il me semble que l'on peut se référer à Halmos (naive set theory et sa traduction française), qui démarre par l'équipotence, et ne traite la définition par les ordinaux que dans le dernier tiers du livre. A terme l'article équipotence devrait être un article court redirigeant vers cardinalité. Je propose aussi que cardinalité redevienne un article sur ce sujet (avec une mention en début d'article pour l'homonymie dans les bases de données). Comme il y a aleph (nombre) (je l'avais oublié l'autre jour), je propose que nombre cardinal continue d'être le même article (avec plutôt le titre cardinalité), au moins pour le moment. Pendant qu'on y est, à l'occasion et si je commprends comment faire, je renommerai aussi volontiers la catégorie nombre cardinal en cardinalité.

Que les articles connexes soient insuffisants, c'est comme d'habitude, on suppose qu'ils seront développés.

Les découpages : il suffit de dire d'où ça vient en résumé quand on déplace.

La partie combinatoire : ça m'a préoccupé aussi, où la mettre ? Dans l'article combinatoire il y a eu un collage de l'ex article dénombrement (mathématiques) pas très heureux (section dénombrement). A moins bien-sûr que quelqu'un n'essaye de faire quelque chose de sérieux, je propose de revenir à la situation antérieure (en corrigeant à minima dénombrement), et de déplacer le contenu qui est ici dans dénombrement (mathématiques). Ca n'est pas terrible, mais on ne peut pas tout faire. Dans mon esprit ça ne préjuge pas de l'existence à terme de deux articles combinatoire et dénombrement, ni du contenu s'ils restent différents. Proz (d) 27 septembre 2008 à 02:05 (CEST)

Quelque chose ne va pas dans la partie dénombrement qui est ici : le cardinal de l'ensemble des applications de E dans F est n^k et le cardinal de l'ensemble des fonctions de E dans F est (n+1)^k. Et ça me fait penser que le langage en ce qui concerne les relations, les fonctions et les applications est varié (ça fait un peu tour de Babel). J'ai bien lu la discussion au "thé" mais je n'ai pas bien saisi s'il y avait eu une conclusion ou pas. Habituellement une fonction et une application c'est la même chose, l'ensemble de définition est identique à l'ensemble de départ, non ? La définition qui me plait le plus est celle de la fonction vue comme ensemble de couples (Gödel, Krivine, Halmos, Schwartz, Fraïssé), par contre ça a l'inconvénient (si c'en est un) que comme ça une fonction ne peut pas être surjective ou non par essence, elle est surjective relativement à un ensemble donné.--Michel421 (d) 27 septembre 2008 à 10:37 (CEST)

Il suffit de dire fonctions partielles (ou ne rien dire), pas un problème. Pour les définitions de fonction et application voir application (mathématiques) qui me semble correct. Pour la définition en tant qu'ensemble de couples elle est mentionnée dans l'article au paragraphe théorie des ensembles, comme c'est hors sujet ici je continue sur ta page. Proz (d) 27 septembre 2008 à 11:55 (CEST)

J'acquiesce à tout ce que Proz a dit sur cette page. Ambigraphe, le 27 septembre 2008 à 12:02 (CEST)

Bonjour, j'ai vu tardivement cette discussion qui se prolonge sur les pages de Michel421. Puisque vous m'interlocutez je vais tenter de piger le tout (vous avez longuement parlés) et d'exprimer une opinion prochainement (j'espère avant la fin de ce week-end; mais j'ai des bandeaux à actualiser sur wp avant) . Bien à vous tous, --Epsilon0 ε₀ 3 octobre 2008 à 10:05 (CEST)

Renommages

Je suis d'accord pour renommer la catégorie en "cardinalité". Mais l'article, je ne vois pas trop l'utilité, d'autant que d'après le début de cette page il y avait déjà eu un article "cardinalité" qui avait été fusionné avec celui-ci sous le titre "nombre cardinal".--Michel421 (d) 27 septembre 2008 à 17:39 (CEST)

Recyclage

J'ai enlevé la partie dénombrement, que j'ai recasé dans Combinatoire ; l'intro elle-même, je pense qu'elle est bien comme elle est ; le corps de l'article sera à réorganiser en fonction du plan adopté. J'ai commencé un brouillon. Les critiques sont les bienvenues. --Michel421 (d) 27 septembre 2008 à 22:13 (CEST)

"Combinatoire" faisait dejà les mêmes choses en partie sous un autre nom (permutation / bijection, arrangement /injection ...), bon tant pis pour "combinatoire", comptons que ça alerte quelqu'un un jour ou l'autre. Pour cardinalité plutôt que cardinal : c'est parce que je pense qu'il faut parler de cardinalité (équipotence, subpotence) avant de parler de nombre cardinal. Proz (d) 3 octobre 2008 à 20:07 (CEST)

Un ou deux articles ?

Bonjour, en gros j'agrée à tout ce qui a été dit sur cette page récemment, mais j'émettrai un avis un peu divergeant car je crois que l'article doit être scindé en deux : 1. tant le sujet est vaste. 2. par simple soucis (disons bureaucratique, auquel j'agrée itou) de la règle wikipédienne que le contenu d'un article est déterminé par son titre.

Me semble que l'article vu son nom doit plutôt parler des ordinaux initiaux et non de la cardinalité en générale comme classe d'équipotence (à la Frege ou avec un représentant), si il n'y a pas il faudrait un article cardinalité (qui est une page d'homonymie ou parler de cela.

Donc forcément l'article doit se centrer sur cette classe de nombre et via avoir rapidement un aspect technique dépassant la notion « naïve » (mais pas forcément plus simple ;-) , je ne crois vraiment pas ) à développer dans cardinalité. Néanmoins je suis d'accord qu'il faut introduire en douceur, par exemple en insistant sur la cardinalité finie (mais en ce qui concerne la combinatoire, A(n, p), C(n, p) etc, je crois que nous avons d'autres articles dédiés),

Maintenant me semble qu'il y a une confusion dans l'article, ou plutôt qqch qui n'est pas dit explicitement :

On n'a pas besoin de l'axiome du choix pour définir les nombres cardinaux, avec AC on a seulement en plus que tout ensemble est bijectable avec un tel nombre, et via que ces nombres cardinaux cernent exactement la notion d'équipotence. C'est pourquoi me semble judicieux de commencer par la définition et de ne parler de AC qu'ultérieurement.

Sur le reste je trouve l'article plutôt bien, même s'il lui manque p.-e. Une intro plus accessible. Sinon à terme, si quelqu'un s'y connait (pas moi) il devrait être développé 1. sur les cardinaux inaccessibles et les axiomes de grands cardinaux (articles dédié) et 2. sur l'arithmétique cardinale, avec ou sans HC (J'ai vu des choses chez Jech, Set theory mais je n'ai pas accès à cet ouvrage) car actuellement nous n'avons que des éléments de cette arithmétique exprimés sous une liste d'exemples (très bien par ailleurs). P.-e. songer à traduire de l'anglais si quelqu'un peut vérifier que ce qui est dit est correct.

Pour conclure je verrais bien 2 articles :

• Cardinalité car le sujet est vaste (vos interventions en sont la preuve) et que tout ce qui a été mentionné sur cette pdd est pertinent de figurer qqpart, mais pas forcément dans cet article.
• Celui-ci centré sur ce que le titre de l'article mentionne (c'est un peu la règle sur wp, non?) et
  • une intro soft, ce qu'élabore Michel421, mais qui peut éventuellement servir pour cardinalité : on garde tout, mais on ne met pas forcément tout au même endroit.
  • se basant rapidement sur nombre ordinal dont il ne sont que des cas particuliers. Plus éventuellement une « pointe » sur la distinction ordinal fini - cardinal fini en terme d'intention : l'intention est différente mais les représentants choisis sont les mêmes (ce qui n'est qu'un choix arbitraire : on pourrait définir le cardinal n comme l'ordinal n – {0} + {n+1} sans que cela ne change grand chose en théorie mais pas forcément en calculs à effectuer <pov> Le calcul c 'est, me semble-t-il, le noeud des maths, ce qui légitime en opérabilité les notions arbitraires introduites par définition (parmis l'infini des autres définitions possibles) ce qui fait que l'on peut jouer bêtement en calcul solide avec une notion sans devoir sans cesse faire appel à une intuition peu fiable qui a initieée la définition introduite</pov> Et oui, j'ai des idées tordues, je sais )
  • ne parlant de AC que lorsque cela devient nécessaire, mais en précisant bien que AC n'est pas nécessaire pour la définition, et sert à ce que cette définition formelle cerne exactement la notion intuitive visée ... si on fait le choix (usuel), c'est le cas de le dire, de ne pas avoir par exemple d'autres nombres cardinaux (comme Beth (nombre). )

Bon voilà mon avis un peu divergeant (2 articles) mais comme je vois que vos avis sont marqués sous le sceau général du bon sens en ce qui concerne la notion (mais j'ai un doute concernant les règles de wp) j'accepte a priori toute règle (comme 1! article) que vous adopterez. Il sera bien tant si nous-nous mettons ultérieurement à développer la notion de cardinalité (je dis cela mais Michel est lancé et on ne sait encore où il s'arrêtera ;-) ) de songer à scinder les articles.

Ah un point de détail à désambiguïser mais qui peut perturber un lecteur de bonne fois lisant ces articles : Lorsque que l'on parle de 2^Aleph0 il est important de dire que l'on parle pas de la fonction puissance définie sur les ordinaux mais de celle différente définie sur les cardinaux. Ce peut nous sembler évident, mais songeons à un lecteur attentif de nos articles, il apprend :

• 2< oméga (sur les ordinaux)
• oméga = Aleph0 (par def)
• oméga^oméga < 2^Aleph0 ce qui ne peut que perturber car par ailleurs la fonction puissance est bien croissante,

Nous, nous pigerons immédiatement :

• oméga^oméga (puisque l'on parle de oméga c'est la puissance ordinale donc c'est dénombrable )< 2^Aleph0 (puisque l'on parle de Aleph0 c'est la puissance cardinale qu'il faut considérer, donc ce n'est pas dénombrable)
• mais je suis pas sûr qu'à un néophyte de bonne fois cela saute aux yeux.

Donc p.-e. faut-il mentionner quelque part «  Si l'on parle de oméga c'est de la puissance ordinale dont on parle » et «  si l'on parle de Aleph0 c'est de la puissance cardinale dont on parle » (d'où l'intérêt d'avoir des articles indépendants sur l'arithmétique ordinale et cardinale pour mettre des lien précis vers ces 2 fonctions puissance très distinctes. --Epsilon0 ε₀ 5 octobre 2008 à 20:09 (CEST)

La discussion a continué dans la pdd du brouillon de Michel. Pour les deux articles : il ne faut pas oublier aleph (nombre) pour les choses plus techniques. Même si l'article est à développer, la plupart des points sur lesquels tu souhaites insister sont dedans. Qu'il faille plusieurs articles (c'est déjà le cas), pas de doute. Que "nombre cardinal" sois traité comme tu le souhaites, j'ai des doutes, car il me semble que les cardinaux sont abordés avant les ordinaux, mieux connus que ceux-ci, d'une intuition plus imédiate. Le souci est bien d'aller vers le sujet déterminé par le titre. Proz (d) 6 octobre 2008 à 00:11 (CEST)

Je suis bien d'accord que la notion de cardinalité est bien plus connues et intuitive que celle de d'ordinal et c'est pour cette raison que je songe à un article dédié cardinalité (le lien bleu est une page d'homonymie). cela ne change rien en ce qui concerne cet article dont le nom évoque plutôt (à moins que tu ais un nom plus explicite) les ordinaux initiaux (qui quelque soit la terminologie utilisée, mais nombre cardinal, me semble une terminologie explicite méritent un article qui leur est dédié (et je crois que ce qu'il y a actuellement dans l'article traite bien de la notion d'ordinal initial). Enfin foin de terminologie sur les noms des articles, l'important est que la notion "naïve" (mais très complexe), qui n'est pas encore vraiment abordée en généralité, et la notion technique, abordée dans ce présent article, soient traitées. Et je ne crois pas que Aleph (nombre) qui me semble plus subalterne ( : on ne parle pas axiome de grands aleph comme on parle d'axiome de grands cardinaux), soit par exemple le lieu pour initier à l'arithmétique sur les nombres cardinaux (vu que l'on perd le fini) et via propre à remplacer ce présent article.

Donc je maintiens que me semble plus judicieux de dissocier en 2 articles 1. ce qu'il y a déjà dans ce présent article 2. ce qui est chez michel (que je lirai attentivement prochainement) et ce qui a été évoqué tout le long de ce fil de discussion. Mais si on arrive à tout mettre dans un article, je serai et suppris et ravis si celà mêle propos informels tout azimut et propos formels. Ma crainte, si on n'a qu'un article est que soit avalisé via le développement technique nécessaire sur les ordinaux initiaux ; cette seule manière d'envisager la cardinalité, lors que chacun comprends ici qu'elle est subtile. Pour dire les choses différemment, la notion de cardinalité ne se ravale pas sur la notion d'ordinal initial, d'où l'intérêt de 2 articles sur ces sujets distincts. Mais vous pouvez me montrer que ma manière de voir les choses est erronée, je suis flexible. Avis des autres (Ambigraphe, Jean_Luc, Michel)? --Epsilon0 ε₀ 6 octobre 2008 à 14:53 (CEST)

Justement pour l'arithmétique cardinale on a intérêt à commencer sans ordinaux, l'équipotence suffit pour les énoncés et pour les premiers résultats. Pour des résultats plus avancés qui dépendent de AC, ça se discute (Zorn, ou récurrence ordinale + AC), les deux approches devraient être présentées. Et il ne s'agit pas de faire disparaître la définition par les ordinaux. Proz (d) 6 octobre 2008 à 21:56 (CEST)

Ok, et puisque se dessine un plan assez complet cernant la notion ici, un unique article (en plus de ceux que nous avons déjà) peut être bon, quitte ultérieurement à décrocher sur de nouveaux articles. Sinon le lieu d'intervention se fait où, sur Nombre cardinal sur Utilisateur:Michel421/Nombre cardinal ou sur un autre brouillon (vu que l'on a 2 articles + 1 plan)? Et quid de la fusion? --Epsilon0 ε₀ 7 octobre 2008 à 22:08 (CEST)

Je réponds un peu tardivement, car à dire vrai j'attendais que quelqu'un fasse d'autres commentaires. En ce qui concerne la discussion sur l'article : elle doit avoir lieu ici puisque l'autre est une annexe de bac à sable. Peut-être aurais-je dû faire ce que j'avais fait un temps pour l'article Vérité : faire un bac à sable annexe à la PDD de l'article mais je ne suis pas sûr que ce soit wikiment correct.

En ce qui concerne la fusion, la fission, la refusion et la refission : il faut une seule page ; en ce qui concerne les titres : visiblement cardinalité fait la majorité ; elle a l'avantage d'être plus générale que nombre cardinal mais à mon avis c'est limité ; la distinction fait sens seulement dans le sens où un nombre cardinal est un ensemble et cardinalité permet de parler de la cardinalité d'une classe propre de Gödel-Bernays ou Morse-Kelley, laquelle n'est pas un « nombre ». Compte-tenu de pas mal de liens qui risquent de passer du bleu au rouge, peut-être vaut-il mieux laisser le titre actuel qui avait été voulu par Theon et qui fait pendant à nombre ordinal que personne n'a encore proposé de rebaptiser ordinalité.

Mais par contre rebaptiser la catégorie serait bien. Là il faudrait voir un admin, je ne suis pas sûr qu'on puisse renommer directement - il doit falloir créer la catégorie cardinalité et ensuite recatégoriser les articles qui sont dans nombre cardinal - même comme ça c'est plus économique que de renommer l'article et ensuite passer en revue tous les articles du projet math pour conserver les liens et modifier les redirections. --Michel421 (d) 12 octobre 2008 à 10:07 (CEST)

Propositions

Est-ce que déjà un début d'article peut être inséré, concernant les cardinaux finis ? J'ai ici un brouillon - en laissant tomber les paragraphes sur les ordinaux et l'historique. Merci. --Michel421 (d) 8 mars 2009 à 20:43 (CET)

On pourrait peut-être aussi dire que P(E) est de cardinal 2^card(E) quand E est fini.Ca me semble un manque.Claudeh5 (d) 19 mars 2009 à 22:10 (CET)

Ca marche aussi quand E est infini, la question est seulement de savoir ce que vaut 2^card(E) ;-) --Epsilon0 ε₀ 19 mars 2009 à 22:55 (CET)

Merci mais je le savais. Ce que j'ai dis c'est que ce n'est pas dans l'article actuel, il y a juste une allusion.Claudeh5 (d) 19 mars 2009 à 23:19 (CET)

Sans doute ; il s'agit d'un article en réorganisation (voir la discussion au dessus). Ce que je propose est un début. Mais on pourrait effectivement parler de 2^card(E) et ceci sans faire appel au thm de Cantor et en faisant appel à la combinatoire. D'un côté comme de l'autre il faudra quelque peu marcher sur les plate-bandes d'autres articles.

Mais ce que je voulais savoir surtout était si la pédagogie était bonne, si le style et les exemples conviennent, etc.... car c'est sur ces points que les versions précédentes et l'actuelle avaient été contestées et que la discussion s'était ouverte. --Michel421 (d) 20 mars 2009 à 11:02 (CET)

Disons que vu l'existant ... il faut bien avancer. Mais il me semble que tu mêles deux choses : la notion intuitive de cardinal, le choix "canonique" d'un représentant de la classe d'équipotence en th. des ensembles. La seconde devrait venir plus tard. Par ailleurs l'état d'esprit n'est pas d'expliquer pourquoi où comment compter les éléments d'un ensemble fini d'objets (ce que tout le monde ou à peu près à compris vers 4 ou 5 ans), mais en quoi la formalisation mathématique (bijection etc.) est adéquate à l'intuition. La définition des entiers de von Neumann peut aussi attendre (on peut considérer comme acquis les entiers naturels).

Enfin la propriété essentielle pour la cardinalité finie, c'est le lemme des tiroirs, ses variantes et conséquences. Proz (d) 20 mars 2009 à 23:18 (CET)

?

"Or l'ensemble vide n'est équipotent qu'à lui-même ; donc dans une théorie où les objets du discours sont tous des ensembles, on a nécessairement $0=\varnothing$": ???Claude le pénible (d) 13 novembre 2009 à 11:13 (CET)

Oui, bien entendu (voir Halmos, Krivine, Gödel). Dans un contexte où tout objet est un ensemble, le cardinal de tout ensemble est aussi un ensemble. Et pour tout X, le cardinal de X doit être équipotent à X. "0" doit dénoter le cardinal de l'ensemble vide ; donc 0 doit être équipotent à l'ensemble vide (Ø) ; or il n'existe qu'un seul ensemble auquel Ø est équipotent, et c'est Ø. On n'a donc pas le choix, O=Ø. --Michel421 (d) 13 novembre 2009 à 21:13 (CET)

Ce propos reste sans aucun sens pour moi. La seule conclusion qu'on peut tirer est qu'il n'y a pas de cas où "tout objet est un ensemble". D'ailleurs que peut bien valoir 1 union 2 dans ce cas ? Claude le pénible (d) 13 novembre 2009 à 22:43 (CET)

Dit comme ça, 1 union 2, ça fait 2 ; en théorie des ensembles la somme de deux cardinaux c'est l'union disjointe. 1(union disjointe) 2 ça fait bien 3. Pour le reste, un ensemble est un objet de Z ou ZF comme un point est un objet de la géométrie d'Euclide. C'est vrai que dans ce dernier cas il n'y a pas que des points, il y a aussi des droites et des plans. Hilbert je crois avait sorti une boutade sur le remplacement de "points" et "droites" par "verres" et "tables" ou quelque chose du genre. Il y a aussi des théories ensemblistes qui ont plusieurs sortes d'objets (Morse Kelley version Rubin utilise à la fois des classes propres, des ensembles et des ur-éléments). Maintenant si tu penses définir les cardinaux de meilleure façon, libre à toi de modifier l'article (qui est assez décousu présentement mais c'est un autre sujet). --Michel421 (d) 13 novembre 2009 à 23:32 (CET)

Cette phrase suppose implicitement qu'un ensemble devrait être équipotent à son cardinal (en temps qu'ensemble). C'est un choix qui est fait pour les cardinaux définis comme ordinaux : un représentant par classe d'équipotence choisi de façon uniforme. Mais le même paragraphe cite justement au dessus une définition de Scott, qui utilise le rang. Si je comprends bien cette définition, le cardinal de l'ensemble vide n'est pas l'ensemble vide mais {Ø}. Je ne crois donc pas que cette phrase telle quelle soit correcte (et si on donne la condition, ce n'est peut-être pas très notable).

Au passage il faudrait sourcer la définition de Scott et la citer uniquement dans le § sur la définition de Frege, ce n'est pas le genre de truc que l'on voit dans tous les manuels, Rubin ? Lequel ? Dans l'article en: elle est un peu différente, mais les deux semblent fonctionner.

Je m'interroge aussi sur la phrase " On sait que sans l'axiome du choix ni l'axiome de fondation, il est impossible de définir (en général) la notion de nombre cardinal." A quel théorème précis cela fait-il référence ? Pourquoi dire alors dans le paragraphe "Définition de Frege" seulement "il ne semble pas que ..." si l'on sait que c'est impossible ? Proz (d) 14 novembre 2009 à 00:23 (CET)

Pourquoi " On sait que sans l'axiome du choix ni l'axiome de fondation, il est impossible de définir (en général) la notion de nombre cardinal" il faut demander ça à 83.134.213.46 diff1 . La définition de Scott il faut demander ça à Utilisateur : Dfeldmann qui l’a mise le 6 juillet diff2 donc 10 mois après ma phrase incorrecte (tirée de Halmos). Pourquoi tu parles de Rubin ? Il n’est pas plus cité dans l’article anglais que dans celui-ci ; je ne vois pas le rapport avec la définition de Scott. Michel421 (d) 14 novembre 2009 à 11:46 (CET)

(J'avais écrit une bêtise c'est la même définition dans en:). Comme tu citais un livre de Rubin, je croyais que ça pouvait être dedans, désolé. Je propose que l'on efface l'histoire de l'impossibilité : même si c'est juste, c'est trop imprécis pour être utile. Proz (d) 14 novembre 2009 à 12:45 (CET)

J'ai effacé la phrase en question, et un peu nettoyé le paragraphe "définition classique" en fonction de ce qui était dit, mais il y aurait plus à faire. A mon avis il faut traiter d'abord de la cardinalité par l'équipotence, Cantor Bernstein, th. de Cantor, comparabilité cardinale, ... puis dans un pargraphe postérieur de la définition de von Neumann (sans parler dans le même § de celle de Scott qui est bien dans le paragraphe "définition de Frege"). Proz (d) 14 novembre 2009 à 17:12 (CET)

vocabulaire

Quand on utilise des mots particuliers comme équipotent et dans un sens particulier semble-t-il il convient de définir le terme.Claude le pénible (d) 14 novembre 2009 à 08:28 (CET)

La définition d’équipotent , ainsi que la définition de cardinal comme plus petit ordinal équipotent à un ensemble existent dans l’article depuis le 28 février 2006 diff3 et n’ont rien de si particulier. Michel421 (d) 14 novembre 2009 à 12:19 (CET)

Le terme équipotent est utilisé 10 fois exactement dans l'article actuel sans jamais avoir été défini.Claude le pénible (d) 14 novembre 2009 à 14:51 (CET)

Comme c'est basique j'ai mis ça en intro, avec un lien. J'ai essayé en même temps d'y décrire ce qui pourrait être une ébauche de plan. Proz (d) 14 novembre 2009 à 16:44 (CET)

Définition de $\aleph _{1}$

Dans la partie théorème fondamental, on défini $\aleph _{1}$ comme étant le cardinal immédiatement supérieur est $\aleph _{0}$. J'ai un petit problème avec cette définition et je ne prétend à y répondre, mais peut être que vous pouvez m'éclairer.

Cette définition suppose que parmi les cardinaux strictement supérieur à $\aleph _{0}$ il existe un plus petit cardinal, comment on montre ça? Dans un autre contexte (qui peut éclairer le sens de ma question), si l'on cherche le plus petit réel strictement plus grand que 0 on se rend compte que c'est peine perdu car justement $inf\mathbb {R} ^{+*}=0$ . Bongilles (d) 16 avril 2010 à 23:20 (CEST)

Ce résultat (et en fait, la définition même des cardinaux comme "alephs") dépend de l'axiome du choix. Si on l'admet, on identifie le cardinal d'un ensemble au plus petit ordinal équipotent à cet ensemble, et l'existence de $\aleph _{1}$ (et plus généralement de $\aleph _{\alpha }$ pour tout ordinal α) devient presque évidente.--Dfeldmann (d) 17 avril 2010 à 12:03 (CEST)

Merci pour cette réponse rapide, cependant il me manque toujours une étape dans le raisonnement. Je comprend que tu propose d'utiliser le lemme de Zorn (équivalent si je ne me trompe pas à l'axiome du choix) qui dit «Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal». Donc on a besoin de montrer que l'ensemble des cardinaux strictement plus grand que $\aleph _{0}$ est inductif (où l'on choisi la relation d'ordre "opposée", les plus petits sont les plus grands, les perdants sont les gagnants ;) ), ce qui ne me parait pas plus évident que le problème de départ.Bongilles (d) 17 avril 2010 à 12:47 (CEST)

Non, on ne se comprend pas. Comment définis-tu les cardinaux? Si tu utilises une variante de la définition classique de Von Neumann (le cardinal de A est le plus petit ordinal équipotent à A , et il en existe, puisque A, comme tout ensemble, peut être bien ordonné (Zermelo, c'est là qu'intervient l'axiome de choix)), il est clair alors que l'ensemble des cardinaux supérieurs strictement au cardinal de N et inférieurs ou égaux à celui de R (c'est un ensemble, contrairement ua tien) est bien ordonné, puisque c'est un ensemble d'ordinaux, ,non vide d'après Cantor, et son plus petit élément est le cardinal qu'on note $\aleph _{1}$. Pour d'autres définitions des cardinaux, c'est un peu plus compliqué (mais tu peux utiliser les théorèmes plus puissants qui montrent qu'avec l'axiome du choix, toutes ces définitions sont équivalentes) ; enfin, sans l'axiome du choix, comme déjà expliqué, on peut encore définir les alephs, mais il existe d'autres cardinaux,souvent non précisément comparables avec ceux-là. --Dfeldmann (d) 17 avril 2010 à 13:08 (CEST)

Ok, ça y est j'ai compris. Ouf! Je croyais savoir ce qu'était un cardinal, mais non... Merci pour tes explications, après lecture et relecture d'articles sur cardinal, ordinal... ca me parait plus clair maintenant. C'est d'un niveau plus élevé que ce que j'avais supposé.Bongilles (d) 17 avril 2010 à 14:26 (CEST)

Exemples: Cardinal des fonctions continues de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$.

Voici une autre difficulté que j'ai, il est écrit: "Le cardinal de l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ est égal au cardinal de $\mathbb {R}$." La justification donnée est qu'il est égal au cardinal de $\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }$ qui est lui même égal au cardinal de $\mathbb {R}$. Mon problème porte sur cette dernière égalité.

Comment passe t'on de $card(\mathbb {R} ^{k})=card(\mathbb {R} )\,$ pour tout $k\in \mathbb {N} ^{*}$ à $card(\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=card(\mathbb {R} )$.Bongilles (d) 16 avril 2010 à 23:43 (CEST)

Par exemple, de manière un peu rapide, on a ${\text{Card}}(\mathbb {R} )={\text{Card}}\left(\{0,1\}^{\mathbb {N} }\right)\,$ et ${\text{Card}}(\mathbb {N} )={\text{Card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\,$ donc ${\begin{aligned}{\text{Card}}(\mathbb {R} )={\text{Card}}\left(\{0,1\}^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} }\right)&={\text{Card}}\left(\left(\{0,1\}^{\mathbb {N} }\right)^{\mathbb {N} }\right)\\&={\text{Card}}\left(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\right)\\&={\text{Card}}\left(\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }\right).\end{aligned}}$

J'espère n'avoir pas dit trop de bêtises.--Chassaing 17 avril 2010 à 01:57 (CEST)

Merci, ça me parait une bonne méthode. Bongilles (d) 17 avril 2010 à 12:48 (CEST)

Le serpent de mer de la réorganisation est revenu

Suite à une initiative de Camion (d · c · b) un débat assez analogue à celui qui a déjà eu lieu plus haut est ouvert à Discussion:Cardinal d'un ensemble. Viendez-y ! Touriste (d) 13 juin 2010 à 09:09 (CEST)

Il manque l'arithmétique

Pour pouvoir dire, dans nombre transfini, que ce n'est pas la même que celle des ordinaux. Anne Bauval (d) 17 juin 2010 à 16:26 (CEST)

En effet les 2 arithm sont différentes, pour ex : omega +_ord 1 != oméga, mais aleph_0 +_card 1 = aleph_0. (précision : les nombres sont les mêmes, ce sont les fonctions additives qui sont définies autrement)

Il nous faudrait donc en sus de Nombre ordinal#Opérations arithmétiques sur les ordinaux, traduire peut-être en:Cardinal number#Cardinal arithmetic. Voir aussi ce texte (mais qui ne doit pas être librement réutilisable).

Aussi si on aborde l'exponentiation cardinale elle va bien sûr dépendre de ce que l'on fait avec l'hypothèse du continu. J'avoue ne pas connaître mais il y a des choses dans set theory de en:Thomas Jech. --Epsilon0 ε₀ 17 juin 2010 à 16:44 (CEST)

Oui dans mon brouillon (lien permanent vers son état au moment où que je cause) j'envisage à court terme l'ouverture d'un article-loupe sur ce sujet manquant. Je vois qu'Anne Bauval a fait un tour sur le perpexifiant nombre transfini dont le projet logique envisageait un jour à terme la réduction en article court (me semble raisonnable en l'état de son contenu, ce qui ne veut pas dire qu'il ne pourrait pas redémarrer en un article d'histoire plus tard). Au passage puisqu'il y a du monde, je suis embêté de l'articulation entre un article sur la cardinalité (l'état actuel de mon brouillon en gros + des choses à écrire sur le point de vue "classes" mais c'est pas grand chose) et l'article de Proz équipotence, très propre efficace et concis comme tout ce qui est Proz : ils se doublonnent pas mal, l'un dans un style concis l'autre se voulant (un peu plus) détaillé. Je ne vois guère d'autre solution à terme que la fusion, si ce n'est fermer les yeux et faire semblant de ne pas avoir remarqué le doublon. Vos avis ? Touriste (d) 17 juin 2010 à 17:06 (CEST)

Je n'ai pas vraiment d'avis, j'ai plutôt une question ;-) : tu conçois ce brouillon comme un brouillon sur un article qui porterait quel nom ? Car, comme tu le sais, c'est le nom de l'article qui détermine son contenu. Aussi on a déjà pléthore d'articles sur la cardinalité (à dvper ou à passer en articles courts) donc c'est un brouillon de quoi précisément. ? Aussi, vu qu'il y a bcp d'articles justement, si de longues discussions doivent avoir lieu sur la cardinalité en particulier ou sur la théorie des ens en général, il peut être bon de centraliser la discussion, par exemple sur Discussion Projet:Logique (le thé bouge un peu trop vite). Oui j'aime centraliser et les articles et les discussions ;-)) --Epsilon0 ε₀ 17 juin 2010 à 17:55 (CEST)

Je commence à envisager de scinder mon brouillon en deux : ce qui en est déjà écrit s'appellerait Cardinalité (mathématiques) (où pourrait raisonnablement rediriger cardinal d'un ensemble et peut-être équipotence) ; on complèterait par signaler qu'il existe des techniques de définition de "nombres cardinaux" plus avancées, mais en renvoyant à un autre article. Au contraire un article Nombre cardinal ou Cardinal (mathématiques) (l'un redirigeant vers l'autre, à peu près au pif) serait destiné à un public relativement avancé ; il ne ferait que très brièvement rappeler ce qu'on fait avec l'équipotence et embraierait à peu près aussitôt sur la définition des cardinaux de von Neumann (à terme, on y ajouterait celle des cardinaux de Scott) et les trucs plus avancés déjà écrits notamment par DFeldmann (cardinaux inaccessibles, mesurables, etc...). La division se discute, je préfère avoir le contenu sous la main avant de le mettre en boîtes, c'est plus facile de s'y retrouver à mon sens. L'idée dans mon esprit c'est de séparer d'une part un article qui peut être lu presque en entier sans savoir ce qu'est un ordinal, un autre pour les lecteurs qui comprennent « ordinal ». Touriste (d) 17 juin 2010 à 18:01 (CEST)

Sur la dispersion, tu as raison, un nouvel échange a commencé sur ma page utilisateur, il faut absolument recentrer tout ça. Pourquoi pas ici ? Le titre s'y prête bien non ? Je vais le signaler aux différents endroits où on cause un peu pour l'instant, mais pas encore au Bistro des logiciens, non que j'aie peur d'eux mais parce qu'il me semble que les choses ne sont pas assez mures pour faire venir toujours plus de monde : on est déjà quatre ou cinq à causer de tout ça, à plus et sans des propositions précises demandant un arbitrage on risque d'obtenir surtout du bruit. Touriste (d) 17 juin 2010 à 18:53 (CEST)

Introductions pour le partage des tâches

J'appuie la proposition d'Epsilon0 et de quelques autres sur la scission de l'article avec la récupération d'articles proches. Ma méthode de travail pour définir les contours d'un article étant la constitution d'une introduction, je vous en propose deux, qui sont à discuter : l'une pour un article « Cardinalité » qui récupèrerait « Cardinal d'un ensemble » et peut-être « Équipotence », l'autre pour le présent « Nombre cardinal ». La page d'homonymie « Cardinal (mathématiques) » devrait à mon avis fusionner avec la page d'homonymie générale « Cardinal ».

En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.

La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre. Par exemple, un ensemble infini est dit dénombrable s'il est en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. C'est le cas de l'ensemble des entiers relatifs ou de celui des rationnels mais pas de celui des réels, d'après l'argument de la diagonale de Cantor. L'ensemble des réels a un cardinal strictement plus grand, ce qui signifie qu'il existe une injection dans un sens mais pas dans l'autre. Le théorème de Cantor généralise ce résultat en montrant que tout ensemble est de cardinal strictement inférieur à l'ensemble de ses parties.

L'étude de la cardinalité en toute généralité s'appuie sur la définition des nombres cardinaux.

En mathématiques, un nombre cardinal est un concept qui généralise celui d'entier naturel pour la description de la cardinalité des ensembles, autrement dit de leur nombre d'éléments. À la suite des entiers naturels (dénombrant les ensembles finis) peuvent être définis certains transfinis qui caractérisent le nombre d'éléments des ensembles infinis.

Une première méthode de construction repose sur la notion de classe d'ensembles équipotents, cependant cette approche est assez limitative en théorie des ensembles. Cette limitation peut être contournée en exhibant un représentant dans chaque classe, ce qui est possible avec l'axiome du choix. Avec la théorie des ordinaux, un cardinal est un ordinal qui n'est équipotent à aucun ordinal qui le précède.

Cette seconde approche présente l'avantage de définir un ordre total sur les cardinaux, et plus précisément une correspondance entre cardinaux infinis et ordinaux, utilisant la notation aleph (ℵ). Ainsi, le plus petit cardinal infini, ℵ₀, est celui des ensembles dénombrables. Le rang de celui de l'ensemble des nombres réels, appelé puissance du continu, est au moins égal à 1. L'hypothèse du continu postule l'identification de ce cardinal avec ℵ₁.

Enfin, certains axiomes concernent l'existence de grands cardinaux qui ne peuvent être obtenus à partir des ensembles usuels.

Voilà, qu'en pensez-vous ? Ambigraphe, le 18 juin 2010 à 11:56 (CEST)

Ca me parait très bien. --Dfeldmann (d) 18 juin 2010 à 12:11 (CEST)

Je préfère écrire d'abord les articles, et les résumés ensuite, mais joue très volontiers avec ta règle du jeu. Ce me semble aussi essentiellement bien, avec quelques nuances (qui ne mettent notamment pas en jeu la subdivision adoptée, sur laquelle un consensus est en train de se former), et sont peut-être trop techniques pour une discussion générale (et à examiner quand le texte des articles existera vraiment) :

• sur la première l'invocation de la « taille » me semble du langage de vulgarisation trop évasif. Dès qu'il y a relation d'ordre elle peut être interprétée comme le constat d'une « taille » en effet mais le mot peut évoquer d'autres problématiques (la théorie de la mesure notamment) et je ne l'aime du coup pas bien ;
• je trouve qu'il y en a trop sur les ensembles finis. Dans mon esprit, l'installation des détails sur la cardinalité des ensembles finis dans ensemble fini est un bon plan et il convient de ne pas trop insister sur ce cas (hors son utilisation comme introduction très didactique) dans l'article sur la cardinalité ;
• « L'étude de la cardinalité en toute généralité s'appuie sur la définition des nombres cardinaux. » OK si c'est pour dire que le dernier paragraphe de « cardinalité » est une mention rapide des cardinaux, pas OK dans l'énonciation telle qu'elle est qui laisse penser qu'ils sont vitaux : or justement une simple théorie de la cardinalité suffit pour l'essentiel des interactions avec les mathématiques hors théorie des ensembles, et cette idée pourrait même (si j'arrive à la sourer correctement) avoir l'honneur du résumé introductif ;
• Les cardinaux "comme classes" sont peut-être à l'intersection des deux articles, mais ont par ailleurs une place peut-être trop importante dans ton projet de deuxième introduction : comme ils n'apportent strictement rien sinon des facilités de langage par rapport à la cardinalité, ils ne sont tout de même pas très fondamentaux.

Comme tu le vois, aucun reproche du type "faut tout recommencer à zéro", c'est une excellente base de travail. Touriste (d) 18 juin 2010 à 12:33 (CEST)

Merci pour ces réponses.

• Je ne suis pas spécifiquement attaché au mot « taille » mais j'aime bien que la première phrase renseigne le néophyte sans mentir mathématiquement, quitte à être un peu évasif. Oui, la mesure est aussi une notion de taille, qui concerne les parties d'ensemble mesuré (d'ailleurs, le cardinal peut être abordé comme une mesure de comptage). La dimension aussi, sur diverses structures. En revanche, je ne considère pas toute relation d'ordre comme une notion de taille.
• Oui, l'article sur la cardinalité doit à mon avis commencer par une bonne compréhension du cas fini. Mais si l'avis général s'aligne sur le tien, je me résoudrai à renvoyer le développement de cet aspect à l'article « Ensemble fini ».
• En premier jet, j'avais écrit que l'étude de la cardinalité repose sur la définition des cardinaux, ce qui je trouvais effectivement abusif. Si le verbe « s'appuyer » ne te sied pas non plus, il doit être possible de trouver une formulation plus consensuelle.
• Mon introduction des nombres cardinaux reflète ma mauvaise maitrise du sujet. Je te fais confiance pour reproportionner l'évocation de la définition par les classes à son importance relative. Ambigraphe, le 18 juin 2010 à 13:14 (CEST)

Je plussoie que tout doit commencer par le cas fini.

Pour le reste, il n'y a pas que deux cas (le fini d'une part, et l'infini avec AC d'autre part). Il y a l'infini sans AC, là où l'ordre n'est pas total et où donc on ne peut guère parler de "taille" .... Michel421 _{parfaitement agnostique} 19 juin 2010 à 00:41 (CEST)

OK. Parle-t-on réellement de cardinaux sans AC (et donc sans les ordinaux) ? De la réponse à cette question dépend le placement d'un développement autour de ta remarque dans l'un ou l'autre article. Ambigraphe, le 19 juin 2010 à 16:59 (CEST)

Dans Jech il y a un chapitre général sur les cardinaux sans AC (il y définit le cardinal d'un ensemble bien ordonnable), mais il n'y a pas grand chose de simple à dire sans AC. En essayant d'écrire un bout d'article, j'étais plutôt pour reléguer les cardinaux sans AC dans un recoin, mais ce n'est pas un avis autorisé, juste celui d'un dilettante qui a ouvert cinq ou six sources. Touriste (d) 19 juin 2010 à 17:04 (CEST)

Oùlah je vois qu'on est parti pour des grandes manoeuvres sur la cardinalité en général, bien mais il y a déjà bcp d'articles, enfin ok. Les propositions ici faites me conviennent et comme on ne va pas être 5 à rédiger chacun de son côté je laisse faire, surtout que je n'ai pas de bonnes idées. Moi la seule chose qui me tentait éventuellement de faire c'est une fusion oméga_un aleph_un, mais il n'y a pas consensus. --Epsilon0 ε₀ 20 juin 2010 à 21:29 (CEST)

OK. Bon, vu que Proz n'a pas contribué depuis mi-avril, j'attends encore d'éventuelles réactions en début de semaine, peut-être de Camion ou Alexandre. Si personne ne s'y oppose, je demanderai l'inversion de redirection entre « Cardinal d'un ensemble » et « Cardinalité (mathématiques) » en ajoutant l'intro ci-dessus et en récupérant la première partie de « Nombre cardinal » (avec les fils Aymon qui ne m'évoquent toujours rien), à moins que Michel421, qui en est l'auteur semble-t-il, se charge de ce déplacement pour assurer le crédit d'auteur sans avoir à rajouter des bandeaux en page de discussion.

On verra ensuite s'il est raisonnable de fusionner avec « Équipotence ».

Puis, j'essaierai de retoucher l'article « Nombre cardinal » avec l'autre intro proposée ci-dessus. Ambigraphe, le 20 juin 2010 à 22:43 (CEST)

Une (petite) propriété enlevée

Je ne comprends pas pourquoi "Si $B$ est inclus dans $A$ infini avec $\mathrm {card} (B)<\mathrm {card} (A)$, alors $\mathrm {card} (A-B)=\mathrm {card} (A)$" était faux. Si A est infini et si B est de cardinal strictement plus petit que celui de A, je crois que A - B ne peut pas être fini. Anne Bauval (d) 25 septembre 2010 à 15:11 (CEST)

Perso je n'ai pas scruté la modif qui vient d'être faite (trop de latex pour que ce soit lisible à mon neurone), sinon je suis d'accord avec ce que dit Anne ci-dessus Ou alors il y a un contre exemple ou une subtilité qui m'échappent. --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2010 à 21:06 (CEST)

Je concours aussi (mais je n'ai pas de démonstration en tête sur le moment).--Chassaing 25 septembre 2010 à 22:02 (CEST)

C'est pas un peu évident ? A est l'union disjointe de B et A-B, donc $\mathrm {card} (A-B)+\mathrm {card} (B)=\mathrm {card} (A)$, et on conclut en remarquant que (pour des cardinaux dont l'un au moins est infini) $\mathrm {card} (C)+\mathrm {card} (D)=\mathrm {max} (\mathrm {card} (C),\mathrm {card} (D))$--Dfeldmann (d) 26 septembre 2010 à 07:05 (CEST)

Je pensais idem, c'est pourquoi je ne me précipitais pas pour la remettre. Anne Bauval (d) 26 septembre 2010 à 11:42 (CEST)

Corrigé. Je n'avais vu que "inclus" et pas l'inégalité, volià ce que c'est d'aller trop vite. Michel421 _{parfaitement agnostique} 27 septembre 2010 à 13:06 (CEST)

Cardinal au sens de la quantité et non nécessairement celui d'équipotence

Demande d'avis sur un travail inédit concernant une cardinalité alternative tranférée par moi sur la pdd de l'intéressé, Guillaume De Normandie (d · c · b), avec mot d'explication. (je transfère aussi le mot de Dfeldmann avec qui j'ai un conflit de modif) --Epsilon0 ε₀ 10 août 2011 à 11:00 (CEST)

Coefficients binomiaux infinis

Le § en:Binomial coefficient#Generalization to infinite cardinals, qui date du 26/10/7, est très incomplet, non sourcé, et aurait plutôt sa place dans cet article-ci, mais que peut-on dire de beaucoup plus que lui (en sourçant) ? Pour l'instant on a seulement, dans Nombre cardinal#Propriétés, que si un ensemble est infini alors le nombre de ses parties finies est égal à son cardinal. Anne (discuter) 19 juin 2014 à 16:34 (CEST)