Discussion:Conjecture de Poincaré

Lien externe mort

Bonjour,

Pendant plusieurs vérifications automatiques, un lien était indisponible. Merci de vérifier si il est bien indisponible et de le remplacer par une version archivée par Internet Archive si c'est le cas. Vous pouvez avoir plus d'informations sur la manière de faire ceci ici. Les erreurs rapportées sont :

• http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPR/poincare03.pdf
  • Dans Conjecture de Poincaré, le Thu Jan 26 20:46:47 2006, 404 Not Found
  • Dans Conjecture de Poincaré, le Mon Jan 30 22:45:27 2006, 404 Not Found

▪ Eskimbot ☼ 31 janvier 2006 à 00:02 (CET)

Bandeau à désacadémiser

Meuh non pas d'accord avec le bandeau sur la forme "trop académique". L'article est perfectible, évidemment, mais ce reproche n'est pas fondé. Ce n'est pas un sujet facile ! Touriste * (Discuter) 19 août 2006 à 22:42 (CEST)

C'est l'utilisation gratuite du terme « homéomorphe » qui m'a fait tiquer. Sinon, l'article est un peu décousu. Peut être faudrait-il remplacer le bandeau par celui-ci : {{à recycler}} ? -- Meithal 19 août 2006 à 22:54 (CEST)

Gratuite ? Par quoi le remplacer ??? Pour moi l'article est honnête vu son standard (une traduction sommaire sur un sujet spécialisé). Je préfère le "à recycler" mais je préfère encore rien du tout : c'est un article dont le relatif amateurisme est apparent, et qui ne pourra progresser que le jour où quelqu'un qui y connaît _vraiment_ quelque chose (ce n'est pas mon cas) se préoccupera d'écrire un truc complet de fond en comble. Touriste * (Discuter) 19 août 2006 à 22:57 (CEST)

« par quoi le remplacer? ». Je l'ai déjà remplacé par « a la même forme ». Sinon, je suis d'accord avec ta dernière phrase. Mais un bandeau "à recycler" peut toujours être perçu comme une invitation. -- Meithal 19 août 2006 à 23:55 (CEST)

Je n'avais pas remarqué... et suis revenu instantanément en arrière. Ce n'est pas sain selon moi (mais ça peut être une différence de conception à discuter) d'utiliser des termes approximatifs au lieu des termes précis : ainsi un triangle est "homéomorphe" à un cercle, alors qu'il ne parait pas forcément clair au lecteur peu informé qu'ils sont homéomorphes. D'où ma préférence pour le vocabulaire technique, quels que soient ses inconvénients par ailleurs. Touriste * (Discuter) 20 août 2006 à 00:06 (CEST)

Pourquoi ne pas laisser des mots précis et mettre un lien vers là pour les définir?--Yugiz | _{pour causer} 20 août 2006 à 15:54 (CEST)

Il y a deja pour plusieurs d'entre eux (dont le fameux "homeomorphe") un lien interne a Wikipedia. Les definitions de mathematiques peuvent le plus souvent donner des articles, puisqu'elles se laissent enrober d' un contexte.Touriste * (Discuter) 20 août 2006 à 15:58 (CEST)

J'avais pas vu... Eh ben alors je vois pas le problème, si la personne (comme moi :) ne sais pas ce que ca veut dire, il ira voir l'article qui traite du mot en question :OD. Si cet article est à nouveau trop compliqué, on peut envisager de donner les définitions (ou utilisations) courantes du mot, pour que le lecteur qui n'y connait rien puisse en fin de compte s'y retrouver... et les spécialiste aussi :p--Yugiz | _{pour causer} 20 août 2006 à 16:13 (CEST)

article du monde

• article du monde dedans le journaliste fait un référence sur wikipedia pour expliquer ce qu'est la conjecture de Poincaré : "C'est en 1904 qu'Henri Poincaré, un des plus grands mathématiciens de son temps, a imaginé la conjecture qui porte son nom. Sa formulation, inaccessible au commun des mortels, s'énonce ainsi : "Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans frontière. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ?"

Elémentaire, non ? Et, comme le note l'encyclopédie en ligne Wikipédia, "la question est de savoir si toute 3-variété fermée, simplement connexe et sans frontière est homéomorphe à une sphère", ce qui éclaire soudain le sujet." amicalement Chaps the idol 19 août 2006 à 23:46 (CEST)

Je supprime le bandeau à recycler vu que l'article, comme beaucoup d'autres, aurait juste besoin d'une vulgarisation ou d'une présentation plus élémentaire. Oxyde 20 août 2006 à 15:40 (CEST)

plan

L'article étant illisible en l'état et son audience étant amenée à croitre rapidement dans les prochaines semaines je pense il est urgent d'y mettre un peu d'ordre. J'ai mis un plan mais ce n'est qu'une proposition qui peut largement être revue. L'important étant de donner à la fois de quoi satisfaire les experts et les non experts en distinguant le plus possible ce qui est lisible pour les uns et ce qui intéressant pour les autres.Bien cordialement, LeYaYa 20 août 2006 à 16:38 (CEST)

EXPLICATIONS PLEASE

Bonjour,

Ma question s'adresse à vous Messieurs les Mathématiciens.

J'aimerais savoir ce que la résolution de cette conjecture apporte concretement.

De plus, toutes ces hypothèses sont-elles des "enigmes" lancées au hasard uniquement pour relever un défi, ou apportent-elles véritablement quelque chose (avancées scientifiques ...)?

Ce n'est pas une affirmation lançée au hasard. Cette conjecture peut même paraître assez intuitive.

Très grossièrement, elle dit qu'un objet à trois dimensions vérifiant certaines propriétés peut êre déformé (de façon bicontinue) pour donner une sphère.

Mais souvent les résultats paraissant simples sont très difficiles à démontrer.

Et les mathématiciens, comme tous les scientifiques, n'acceptent une affirmation comme théorème que lorsque celle-ci est démontrée.

Il s'agit bien d'une avancée scientifique importante, puisqu'il existe maintenant un nouveau théorème.

Maintenant, son intérêt est purement théorique. Ce ne sont pas des mathématiques appliquées, mais pures. Oxyde 22 août 2006 à 17:03 (CEST)

Bonjour,

je pense que l'intérêt de la résolution de cette conjecture est qu'elle permet d'avoir une vision claire et fiable d'une grosse branche de la géométrie. Comme il est dit dans l'article, cette conjecture répond à un problème de classification : on voulait "ranger" l'ensemble des objets géométriques appelés variétés, et on avait un problème avec le tiroir des variétés de dimension 3 : sont-elles toutes telles que le "bon sens" nous le laisse supposer ou bien risque-t-on de tomber un jour sur un "os" ? La réponse est : non, il n'y a pas d'os à craindre.

Le "bon sens" concernant les variétés de dimension 3? Voilà qui me laisse songeur... :)Salle 22 août 2006 à 18:47 (CEST)

- À quoi ça sert de ranger ? : à avoir les idées claires ! Ces notions mathématiques peuvent ensuite permettre de mieux analyser le monde réel ( c'est-à-dire faire de la physique ). Il s'agit à nouveau d'un rangement, mais cette fois ci au lieu de ranger des idées abstraites issues de la réflexion, c'est des expériences et observations sur le monde réel qu'on essaie de ranger.( c'est du moins mon point de vue sur la différence et une partie des relations entre maths et physique ; il y a sûrement plein de gens d'un autre avis )

- À quoi ça sert de ranger nos expériences sur le monde réel ? : à avoir les idées claires sur le monde réel ( avancée scientifique ), et quand on a les idées claires sur le monde réel on peut enfin réaliser des avancées techniques, c'est-à-dire ce qui vous intéresse concrètement.

Vous comprenez, là, qu'il est impossible de dire à l'avance ce que la résolution de cette conjecture apportera concrètement ( peut-être dans très longtemps ).

- Ces conjectures sont-elles lancées au hasard ?

Non, le souci de classification est naturel, et les objets-idées étudiés ( variétés, sphère ) sont issus d'une observation du monde réel ( c'est évident pour la sphère ordinaire, à peine moins pour les variétés et la 3-sphère dont il est question ici ), même si, par une volonté de généralisation le mathématicien peu travailler sur des objets-idées qui ne correspondent pas directement à des objets physiques.

P.s. : il y a aussi des mathématiciennes !

Grasyop | ✉ 22 août 2006 à 18:01 (CEST)

J'ajoute que la conjecture de Poincaré est un gros gros gros problème sur lequel des générations de mathématiciens et mathématiciennes se sont penchés. Quand bien même un problème donné n'est pas résolu, les tentatives ne sont souvent que des semi-échecs : les conclusions ne sont pas celles espérées, mais peuvent s'avérer satisfaisantes. D'une preuve (par exemple, la preuve de Perelman), on peut tirer des énoncés intermédiaires (propositions, lemmes, ...), les reformuler, éventuellement les généraliser et les réutiliser ailleurs dans un autre contexte. C'est selon ce schéma que les mathématiques se construisent.

Pour en venir à la preuve de Perelman, n'est pas le fin mot de l'histoire. Elle ferme le gros dossier Poincaré, mais la classification des variétés compactes de dimension 3 reste ouverte. Et là, pour le coup, il n'y a vraiment aucune intuition sur les conclusions.

Comment intuiter la conjecture de Poincaré ? L'énoncé analogue est vérifié en dimension 1 (presque trivial) et en dimension 2 (pas trop dur). Il n'était pas idiot de se poser la question en dimension supérieure. Confirmée en dimension n>4 (démonstration instructive), et en dimension n=4 (a valu une médaille Fields !).

Utilisateur:Ektoplastor, 19:02

Merci beaucoup pour vos réponses très claires. Si j'avais eu la chance de vous avoir comme prof de math, peut-être ne vous aurais-je pas posé ces questions simplistes ..... Personnellement, je trouve assez fascinant de constater qu'on puisse consacrer toute sa vie à essayer de résoudre des problèmes aussi complexes.

Valéry

PS : L'expression "Messieurs les Mathématiciens" se voulait généraliste et je ne nie nullement le fait qu'il y ait aussi des Mathématiciennes extremement compétentes, vous en êtes la preuve.

frontière ≠ bord

La "frontière" est une notion de topologie générale tandis que le "bord" est une notion de géométrie différentielle.

Dans l'espace euclidien $R^{3}$ soit $V$ la demi-sphère d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0$ le bord de $V$ est le cercle d'équations $x^{2}+y^{2}=1,z=0$ tandis que la frontière de $V$ c'est $V$.

Pardon pour mon pédantisme.

Actorstudio 23 août 2006 à 11:22 (CEST)

Tout à fait raison. A ceci près que, quitte à être plus pédantesque, la bord de V est vide et sa frontière est son adhérence. C'est justement l'adhérence de V qui est une variété à bord. Ektoplastor, même jour, 18:59

Merci et voici l'énoncé correct de l'exemple:

Dans l'espace euclidien $R^{3}$ soit $V$ la demi-sphère fermée d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z\geq 0$, le bord de $V$ est le cercle d'équations $x^{2}+y^{2}=1,z=0$ tandis que la frontière de $V$ c'est $V$ car l'intérieur de $V$ est vide. Actorstudio 24 août 2006 à 11:11 (CEST)

Communauté des spécialistes

La communauté des spécialistes n'est pas une communauté au sens strict. C'est souvent un terme qu'on brandit : communauté scientifique, communauté des mathématiciens. Mais une communauté est un groupe identifiable, éventuellement demandant une adhésion, avec une prise de parole, donnée à des représentants, des porte-paroles. Je doute fort que le terme est bien choisi. Cependant, comme son utilisation est d'usage courant depuis des siècles, son utilisation n'a rien de choquant, cependant, il faut créer un article Communauté scientifique.

Ektoplastor, qui cherche sa petite bête ...

Salut, je suis d'accord avec toi, et je le dis d'autant plus facilement que je suis à l'origine de l'utilisation de ce terme en l'occurence. Toutefois, comme tu le fais remarquer, il est "suffisemment" parlant. Si tu as mieux, n'hésite pas... Moez ^m'écrire 23 août 2006 à 20:31 (CEST) qui défend mollement

Est-ce Vraiment Résolu ?

Je doute fort que le probleme soit vraiment résolu. D'ici un an ou deux on nous dira qu'il y avait en fait un probleme avec la solution de Perleman et le probleme est toujours à résoudre. C'est souvent le cas en Mathématiques. 67.8.115.243 8 décembre 2006 à 04:06 (CET)

tu as peut être raison, mais tu as peut être tort. Les dernière grandes démonstration de ce genre n'ont toujours pas été remises en cause : celle du grand théorème de Fermat démontrée en 1993 par Andrew Wiles n'a pas été remise en cause, pas plus que celle en 2000 d'une des conjectures du programme de Langlands par Laurent Lafforgue (qui fait 236 pages tout de meme!) et il y en a plein d'autre je suis sur. L'erreur est humaine et fait partie du monde de la recherche scientifique sur cela tu as raison, mais elles sont tout de même rare heureusement. Bien cordialement, LeYaYa 8 décembre 2006 à 09:34 (CET)

Cela dit, et ce n'est pas indiqé dans l'article, après la première annonce par Wiles de son succès (1993, je crois), une erreur avait été trouvée ; elle a été corrigée, et je crois que la démonstration complète a plutôt été disponible vers 1995.Salle 8 décembre 2006 à 10:48 (CET)

tout à fait Salle, c'est un oubli de ma part. Par ailleurs on peut également noter que Penny Smith [1] a elle même retracté rapidement ses publications concernant la solution du problème des équations de Navier-Stokes lorsqu'elle a découvert une erreur. Elle l'a fait sans délai ce qui illustre encore une fois que les erreurs sont possible, mais que la communauté mathématique est suffisament active pour les détecter vite. Y a-t-il un exemple d'erreur importante qui soit restée longtemps cachée ? je n'en connais pas mais la réponse serait certainement intéressante. LeYaYa 8 décembre 2006 à 10:59 (CET)

Tu as le « théorème de Dulac », une étape vers la résolution du seizième problème de Hilbert, qui a été « démontré » par Dulac en 1923... et dont on n'a constaté la fausseté de la preuve qu'en 1981. Voir cette page de PlanetMath. Touriste * (Discuter) 8 décembre 2006 à 11:15 (CET)

ouah! impressionant! merci Touriste pour ton info. On pourrait peut-être faire une liste des erreurs scientifiques célèbres qui ont mis longtemps à être identifiées ? Bien cordialement, LeYaYa 8 décembre 2006 à 11:23 (CET)

Conjecture...ou théorème?

Ne devrait-on pas appeler cette page théorème de Poincaré, voire théorème de Poincaré-Perelman, car ce n'est plus une conjecture? Valvino 18 juillet 2007 à 22:09 (CEST)

^{[réf. nécessaire]} Sans rire, nous n'avons pas à décider de cette dénomination, si le terme change, on renommera l'article. A ma connaissance, la dénomination Conjecture de Poincaré a toujours cours de manière prédominante (mais je peux me tromper, je ne suis pas toutes les actualités mathématique de près). Cela dit, dans la mesure ou ce n'est plus une conjecture, théorème de Poincaré peut sembler valable. Maloq ^causer 19 juillet 2007 à 10:37 (CEST)

Non, déjà pris. Barraki Retiens ton souffle! 31 août 2007 à 16:50 (CEST)

Dans la revue Pour la Science, n°481, novembre 2017, p.74, on parle de la « conjecture de Poincaré, devenue le théorème de Perelman ». Quelqu'un en sait-il plus sur l'évolution du vocabulaire concernant cette question ? Theon (discuter) 30 novembre 2017 à 09:23 (CET)

Preuve pour les dimensions 5, 6 et 7

Dans le livre La Conjecture de Poincaré (Paris, JC Lattès, 2007, chapitre 9, p. 211-245), George G. Szpiro donne une chronologie différente pour les preuves de la conjecture dans les dimensions 5 à 7 :

• d'abord Smale 1960 pour les dimensions supérieures ou égales à 5 ;
• ensuite Stallings 1960, informé de la découverte de Smale, pour les dimensions >= 7 ;
• la même année, Zeeman montre (en deuxième) que la méthode de Stallings fonctionne également pour les dimensions 5 et 6 ;
• et Wallace, s'inspirant de la méthode de Smale, publie une troisième preuve pour les dimensions >= 5.

Dois-je apporter ces corrections, ou bien les sources utilisées par le rédacteur de l'article sont-elles plus fiables que la mienne ?

Bap (d) 17 juillet 2008 à 10:29 (CEST)

Vulgarisation

Cet article est fort complexe pour les non mathématiciens et même pour de simples professeurs de mathématiques. Il serait souhaitable qu'un des auteurs puisse faire un résumé plus facile à comprendre par le grand public car c'est la fonction même d'une encyclopédie: permettre à tous d'enrichir ses connaissances grâce à une vulgarisation des sujets les plus ardus; autrement cet article ne sert qu'à des discussions entre initiés et n'apporte rien à l'immense majorité des consultants de Wikipédia. Merci d'avance à tous ceux qui participeront à une facilitation de la compréhension de la conjecture de Poincaré.

[Christophe - 02/05/12] Je ne suis pas spécialiste, ni même mathématicien ou mathématicienne : je suis donc parfaitement qualifié pour tenter une vulgarisation :-) Ce que je comprends c'est que les variétés simplement connexes, compactes et sans bord sont homéomorphes à une sphère de même dimension, quelle que soit la dimension. Autrement dit, cette propriété intuitive dans la vie quotidienne s'étend aux dimensions supérieures. J'utilise "Intuitif", mais c'est hardi. En fait, j'ai encore un peu de mal à comprendre la différence entre "simplement connexe" et "homéomorphe à la sphère" : dans les deux cas, je comprends "sans trou"... Quelqu'un peut-il m'aider à affûter ma vision des choses ?

En deux mots (très approximatifs pour donner juste une intuition) : simplement connexe = toute boucle peut se contracter en un point (comparer avec une ficelle autour d’un pneu : c’est bien le trou le problème) ; homéomorphe : on peut déformer pour passer de l’un à l’autre (bon, ça , c’est techniquement faux (voir homotopie), mais ça fera l’affaire en première approximation). Bref, « s’il n’y a pas de trou, c’est « comme » une sphère » est un assez bon résumé de la conjecture.—Dfeldmann (discuter) 30 novembre 2017 à 10:25 (CET)

@Dfeldmann sauf que ce résumé, c'est pour une 2-sphère (la sphère classique telle qu'on se l'imagine), et la conjecture est pour une 3-sphère. L'article est assez flou sur ce point, et je pense que 99% des lecteurs imaginent une 3-sphère comme une 2-sphère, et la conjecture avec une dimension de moins. Et présenter la boucle comme un "lasso topologique" est assez parlant et vulgarisateur. Il faudrait peut être présenter/vulgariser le problème avec des 2-sphères (comme tu viens de le faire implicitement) mais en spécifiant bien ensuite que la conjecture concerne les variétés avec une dimension de plus (et vulgariser la 3-sphère comme étant notre univers par exemple, si sa courbure est positive). J'ai plus ou moins envie de m'y coller, mais j'ai besoin d'un encouragement et surtout d'un début de consensus sur cette approche. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 21 décembre 2021 à 09:41 (CET)

Une question de grammaire

Depuis 2016 (7/4/16, 16/7/2017, 23/03/18, 29/03/2018, 03/06/18, 15/04/19) des contributeurs divers IP ou enregistrés changent une phrase correcte

• En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Grigori Perelman (qui l'a refusée)

en une phrase qui me semble grammaticalement plus tendancieuse

• En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Grigori Perelman (qu'il a refusée)

Nous sommes plusieurs à préférer la première forme où le pronom relatif «qui» se rapporte à l'antécédent «Gregori Pérelman» placé juste avant, et le pronom «l» se rapporte au groupe nominal «médaille Fields» placé plus avant. La seconde pose un problème grammatical car le pronom relatif «qu'» se rapporte à l'antécédent «médaille Fields» placé trop loin. D'où nos nombreux reverts (et mon dernier).

Cependant, quand autant de contributeurs différents interviennent de cette sorte, c'est que que notre formulation ne doit pas être heureuse. Que pensez vous de

• En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Grigori Perelman (médaille que celui-ci a refusée)

L'expression est plus lourde mais devrait satisfaire les deux parties.HB (discuter) 15 avril 2019 à 18:45 (CEST)

+1 (ou alors : « (mais celui-ci l'a refusée) », qui a le mérite(?) d'insister sur le caractère surprenant et exceptionnel de ce refus).--Dfeldmann (discuter) 15 avril 2019 à 18:55 (CEST)

+1 aussi pour En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Grigori Perelman (médaille que celui-ci a refusée) --Valvino ^(discuter) 15 avril 2019 à 20:44 (CEST)

Bonjour bonjour, primo, je favoriserais de loin la première formulation pour les raisons parfaitement exposées (merci HB) et parce qu'il n'y a pas de raison de renoncer à écrire convenablement quand on dispose de la formulation idoine.

Et pour éviter qu'on nous la torture à nouveau, je serais partisan d'une méthode exceptionnelle : mettre un indicateur dans le code de l'article "<!-- Merci de ne pas modifier la formulation, cf en PDD la discussion du 19 avril 2019 intitulée "Une question de grammaire". En cas de désaccord, merci d'engager une nouvelle discussion en PDD avant toute modification ssur cette page.-->". Je pense que les contributeurs qui utilisent le code s'affranchiraient alors d'une révocation irréfléchie. Cette solution n'est pas fonctionnelle pour les contributeurs sous éditeur visuel, malheureusement (mais c'est déjà ça de pris).

Sinon, en retravaillant la glaise, je propose : "* En 2006, la validation de cette démonstration a valu à Grigori Perelman l'attribution de la médaille Fields, qu'il a d'ailleurs refusée."

Cordialement, et Hop ! Kikuyu3 ^{Sous l'Arbre à palabres} 19 avril 2019 à 22:52 (CEST)

Formulation et référence de la conjecture

La formulation de la conjecture n'est-elle pas de la première importance? Et la formulation de Poincaré ne peut-elle être référencée à un livre, une conférence, ...?

Les articles de Wikipedia sur Poincaré, Perelman, la Conjecture, reprennent tous la même formulation: - « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. » mais sans référence. Est-ce un effet de la circularité de l'information ou Poincaré a-t-il écrit ça? et dans ce cas où?

La formulation est différente sur le site de l'Institut Clay: http://www.claymath.org/millennium-problems - "Poincaré asked if the three dimensional sphere is characterized as the unique simply connected three manifold." ce que je comprends: - "Poincaré demanda si une sphère à 3 dimensions se caractérise comme la seule variété à 3 dimensions simplement connexe ".

D'autre part Masha Gessen dans sa biographie de Perelman, la formule ainsi:

[Masha Gessen, Dans la tête d'un génie, [Perelman], Globe, L'école des loisirs, 2013, page 170]:

- "Soit une variété lisse compacte simplement connexe à trois dimensions, est-elle difféomorphe à une hypersphère de dimension 3?"

Aux expert de dire si ces trois formulations sont équivalentes: aussi complètes, précises et suffisantes les unes que les autres.

D'autre part la conjecture ayant été résolue (prouvée) par Perelman, certains se demandent si il faut la renommer théorème de Poincaré-Perelman par exemple. D'après moi non, ce serait faire une uchronie. Et d'après mon expérience (de non mathématicien), un théorème doit avoir une formulation concise, exhaustive et précise. La question de la formulation se repose. Et Perelman aurait eu sa propre façon de l'énoncer. À chercher dans ses trois textes, si elle y est... --Varimi (discuter) 1 mai 2019 à 23:08 (CEST)

Pourquoi Conjecture?

Une conjecture est par definition une assertion qu'on soupçonne etre vraie en l'absence de contre exemple mais qui n'est pas encore demontrée. Si cette assertion est démontrée par définition ça devient un théorème. Il n'y a donc plus de conjecture de poincaré

Je ne comprends pas

Je ne comprends pas les deux dernières lignes de cet article ....