Partie dense

En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible.

Définition

Soit X un espace topologique. Une partie A de X est dite dense dans X si

tout point de X est adhérent à A, ou encore : l'adhérence de A est X.

(Un point x est adhérent à A si tout voisinage de x — ou tout ouvert contenant x — rencontre A, et l'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.)

La densité de A se traduit donc aussi par :

tout ouvert non vide rencontre A, ou encore : le complémentaire de A dans X est d'intérieur vide.

Une condition suffisante pour cela est que tout élément de X soit limite d'une suite d'éléments de A. Cette condition est également nécessaire si X est un espace de Fréchet-Urysohn, par exemple un espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages.

Espace topologique séparable

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.

Point dense

Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.

Exemples

• Tout espace topologique est dense dans lui-même.
• L'ensemble ℚ des nombres rationnels et celui, ℝ\ℚ, des nombres irrationnels, sont « denses pour l'ordre » dans l'ensemble ordonné ℝ des nombres réels, donc aussi denses (au sens ci-dessus) pour la topologie de l'ordre, qui est la topologie usuelle sur ℝ.
• Le groupe général linéaire GL_n(ℝ) (constitué des matrices réelles, carrées et inversibles de taille n) est dense dans l’ensemble M_n(ℝ) des matrices carrées de taille n.
• Un espace métrique M est dense dans sa complétion M’.
• L'ensemble des fonctions étagées (définies sur un espace mesurable) est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables, pour la topologie de la convergence simple.

Article connexe

Ensemble nulle part dense