Tenseur des déformations

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Le tenseur des déformations est un tenseur symétrique d'ordre 2 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, c'est-à-dire que le tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de déformation.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le tenseur des déformations est relié au tenseur des contraintes par la loi de Hooke généralisée.

Définition de l'opérateur des déformations[modifier | modifier le code]

Le tenseur des déformations vise à caractériser en un point la variation de longueur d'un segment suite à la transformation subie par le milieu. La déformation du milieu peut être décrite par la fonction (supposée suffisamment régulière) qui, à un point A du milieu, associe son transformé A' :

\overrightarrow{OA'}=\Phi(A,t)

Soit un segment AB qui se transforme en A' B'. Le tenseur des déformations permet de quantifier \|\overrightarrow{A'B'}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2. On a en effet :

\overrightarrow{OA'} = \Phi(A,t)

On peut donc écrire :

\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OA'} + F \cdot \overrightarrow{AB} + o(\|\overrightarrow{AB}\|)

F = {\rm grad} (\Phi) = \frac{\partial\Phi}{\partial A}

est le gradient de la transformation \Phi. D'où :

\overrightarrow{A'B'} = F \cdot \overrightarrow{AB} + o(\|\overrightarrow{AB}\|)

On obtient donc, au premier ordre :

\|\overrightarrow{A'B'}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2 = \overrightarrow{AB}^T \left( F^T \cdot F - {\rm Id} \right) \overrightarrow{AB}

On pose :

E=\frac{1}{2}\left(F^T
\cdot F-{\rm Id}\right)

E est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange. Il s'agit d'un tenseur symétrique réel, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Les directions propres sont appelées directions principales de déformation.

Si on introduit le vecteur déplacement

u(A,t)=\overrightarrow{AA'} = \Phi(A,t) - \overrightarrow{OA}

on obtient :

F = {\rm Id} + \frac{\partial u}{\partial A}

en notant \frac{\partial u}{\partial A} la dérivée partielle de u et donc :

E=
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial A}^T
\cdot\frac{\partial u}{\partial A}
+ \frac{\partial u}{\partial A}
+\frac{\partial u}{\partial A}^T
\right)

Cas des petites déformations[modifier | modifier le code]

Tenseur des déformations linéarisé[modifier | modifier le code]

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes du second ordre et on obtient le tenseur des déformations linéarisé :

\varepsilon=
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial A}
+\frac{\partial u}{\partial A}^T
\right)

Sous forme de composantes dans une base orthonormée :

\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )


Interprétation des termes diagonaux[modifier | modifier le code]

Allongement du segment par déformation linéaire.

Les termes diagonaux \varepsilon_{ii} sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe xi). Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x1, et intéressons-nous à la partie de la déformation également parallèle à x1, que nous noterons [A'B' ].

L'allongement relatif vaut (exprimée en distances algébriques) :

\frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}}

Sachant que

\overline{AA'} = u_1(A) et \overline{BB'} = u_1(B)

u_i est la composante de u selon l'axe x1, cet allongement vaut :

\frac{\overline{A'A} + \overline{AB} + \overline{BB'}}{\overline{AB}} - 1 = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline{AB}}{\overline{AB}} - 1 = \frac{u_1(B)-u_1(A)}{\overline{AB}}

On reconnaît un taux d'accroissement de la fonction u_1, et si l'on se place en petites déformations, on peut remplacement ce taux d'accroissement par la dérivée de u_1, ce qui donne :

\frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}} \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_1} = \varepsilon_{11}

De manière plus générale :

\varepsilon_{ii} =  \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )

Coefficients dus au cisaillement[modifier | modifier le code]

Effet de dépalcement par le cisaillement.

Les autres termes \varepsilon_{ij} (ij) sont les \gamma, demi-variations de l'angle droit d'un petit volume de matière cubique avant déformation.

En effet, un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x1 et [AD] est parallèle à x2, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.

La tangente de l'angle \gamma vaut :

\tan(\gamma) =  \frac{\overline{BB'}}{\overline{AB}}.

Pour les petites déformations, on a

\tan(\gamma) \simeq \gamma

ainsi que

\overline{BB'} = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}

avec u2(A) = 0. Ainsi,

\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}

Si l'on considère maintenant le segment [AD] :

\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}

Une rotation n'étant pas une déformation, on peut supposer que les deux angles \gamma sont égaux, quitte à faire pivoter le losange et ainsi

\gamma = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right ) = \varepsilon_{12}

Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle \gamma défini vaut le double de l'angle défini ici.


Variation relative de volume[modifier | modifier le code]

Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé

Considérons un prisme élémentaire engendré par trois vecteurs (e_{10},e_{20},e_{30}). Sa transformée par \Phi est le prisme engendré par (e_1,e_2,e_3).

Soit V0 celui du prisme initial et V le volume de la transformée.

On a, au premier ordre :

V = (e_1 \wedge e_2) \cdot e_3
= (F(e_{10}) \wedge F(e_{20})) \cdot F(e_{30})
= \det(F) (e_{10} \wedge e_{20})\cdot e_{30}
= \det(F) V_0

La variation relative de volume est \frac{V - V_0}{V_0} = \frac{\Delta V}{V_0} = \det(F) - 1

Dans le cas des petites déformations, F = {\rm Id} + \frac{\partial u}{\partial A} et det(F) - 1 est égal au premier ordre à la trace de \frac{\partial u}{\partial A}, qui est égale à la trace du tenseur \varepsilon : \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}

On peut retrouver ce résultat en se plaçant dans la base des directions principales de déformation. Considérons un cube d'arête a. Après déformation on a un quasi-parallélépipède de volume :

V = a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})

alors que :

V_0 = a^3

ce qui donne :

\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}

comme on est en très faible déformation,

1 >> εii >> εii·εjj >> ε11·ε22·ε33

d'où le résultat.

On dit qu'il y a cisaillement pur lorsque la trace est nulle, autrement dit lorsqu'il n'y a pas de variation de volume.

Déformations principales[modifier | modifier le code]

Il existe une base orthonormée (\vec{x}_\mathrm{I}, \vec{x}_\mathrm{II}, \vec{x}_\mathrm{III}) telle que le tenseur des contraintes est une matrice diagonale (voir Matrice symétrique > Décomposition spectrale) :

\mathrm{E} = \begin{pmatrix} 
\varepsilon_\mathrm{I} & 0 & 0 \\
0 & \varepsilon_\mathrm{II} & 0 \\
0 & 0 & \varepsilon_\mathrm{III} \\
\end{pmatrix}
.

Les directions (\vec{x}_\mathrm{I}, \vec{x}_\mathrm{II}, \vec{x}_\mathrm{III}) sont appelées directions principales, et les déformations εI, εII et εIII sont les déformations principales.

Les déformations principales sont les valeurs propres du tenseur, et les directions propres, ses vecteurs propres. Les valeurs propres λ vérifient l'équation

\mathrm{det}(E - \lambda I) = 0

I est la matrice identité ; les déformations principales sont donc les solutions en λ de cette équation.

Rappelons que la trace est invariante par changement de base (voir Matrices semblables), donc

\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} = \varepsilon_\mathrm{I} + \varepsilon_\mathrm{II} + \varepsilon_\mathrm{III}

et ainsi en petites déformations, la variation relative de volume vaut

\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}_0} = \varepsilon_\mathrm{I} + \varepsilon_\mathrm{II} + \varepsilon_\mathrm{III}

Contrairement aux contraintes principales, la notion de déformation principale est assez peu utilisée pour le calcul. Elle permet par contre d'exprimer de manière simple l'énergie élastique, et est utile pour dépouiller les résultats d'extensométrie. Par ailleurs, les directions principales sont les mêmes pour le tenseur des déformations et pour le tenseur des contraintes.

Invariants du tenseur des déformations[modifier | modifier le code]

On définit trois invariants du tenseur, c'est-à-dire trois valeurs qui sont indépendantes de la base :

  • I_1 = \mathrm{Tr}(\Epsilon) = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}  = \sum_i \varepsilon_{ii}

soit, avec la convention de sommation d'Einstein : I_1 = \varepsilon_{ii} ;

  • I_2 = \varepsilon_{11} \varepsilon_{22} + \varepsilon_{22}\varepsilon_{33} + \varepsilon_{33}\varepsilon_{11} - \varepsilon_{12}^2 - \varepsilon_{23}^2 - \varepsilon_{31}^2  = \frac12 \sum_i \sum_j (\varepsilon_{ii} \varepsilon_{jj} - \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij})

ou encore I_2 = \frac12  (\varepsilon_{ii} \varepsilon_{jj} - \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij}) ;

  • I_3 = \mathrm{det}(\Epsilon)

ou encore I_3 = e_{ijk} \varepsilon_{i1}\varepsilon_{j1}\varepsilon_{k1}eijk est le symbole de Levi-Civita (ou symbole de Ricci). Avec les déformations principales, cela devient :

  • I_1 = \varepsilon_{I}+\varepsilon_{II}+\varepsilon_{III} ;
  • I_2 = \varepsilon_{I}\varepsilon_{II} + \varepsilon_{II}\varepsilon_{III}+ \varepsilon_{III}\varepsilon_{I} ;
  • I_3 = \varepsilon_{I}\varepsilon_{II}\varepsilon_{III}.

Tenseur isotrope et déviateur[modifier | modifier le code]

On peut exprimer le tenseur des déformations sous la forme d'un tenseur isotrope E' et d'un déviateur E'' :

\Epsilon = \Epsilon' + \Epsilon''

avec le tenseur isotrope, également appelé partie sphérique

\mathrm{E}' = \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathrm{E})\mathrm{I}

où I est la matrie unité, et le déviateur de déformation

\Epsilon'' = \mathrm{dev}(\Epsilon) = \Epsilon - \Epsilon'.

On a, en utilisant la convention de sommation d'Einstein :

  • \varepsilon'_{ij} = \frac{1}{3} \left (\sum_k \varepsilon_{kk} \right ) \delta_{ij} = \frac{1}{3}\varepsilon_{kk} \delta_{ij} ;
  • \varepsilon''_{ij} = \varepsilon_{ij} - \frac{1}{3} \left ( \sum_k \varepsilon_{kk} \right ) \delta_{ij} = \varepsilon_{ij} - \frac{1}{3}\varepsilon_{kk} \delta_{ij} ;

où δij est le symbole de Kronecker.

Cette décomposition simplifie l'expression des énergies de déformation élastique de changement de volume et de distorsion.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]