Notation en indice abstrait

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La notation en indice abstrait est un système de notation présentant des similarités avec la convention de sommation d'Einstein et destinée comme cette dernière à l'écriture du calcul tensoriel.

Motivation[modifier | modifier le code]

Cette notation, due au mathématicien Roger Penrose, a pour but l'écriture pratique d'équation dans lesquelles interviennent des tenseurs ou des champs tensoriels. Il s'agit à la fois :

  • de bénéficier de la simplicité d'écriture permise par la convention de sommation d'Einstein ;
  • de ne pas dépendre contrairement à la convention d'Einstein d'un choix de base particulier (et donc arbitraire).

Aussi la notation en indices abstraits ne raisonne-t-elle jamais sur les composantes des tenseurs.

Définition[modifier | modifier le code]

Les indices abstraits peuvent se penser comme des éléments d'un alphabet fini \{a, b, c, d, \ldots \} que l'on va utiliser pour étiqueter des espaces vectoriel et des tenseurs.

Copies d'espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

À partir d'un espace vectoriel V sur le corps commutatif \mathbb{K} (en général \mathbb{R} ou \mathbb{C}) de dimension n, on peut former des copies de V étiquetées par un indice abstrait : V^a, V^b, V^c, V^d, etc. Les espaces duaux respectifs sont notés V_a, V_b, V_c, V_d, etc. Si v \in V on peut lui faire correspondre naturellement un élément de V^a noté v^a, un élément de V^b noté v^b, etc. De même si \phi \in V^*, on peut lui faire correspondre naturellement un élément de V_a noté \phi_a, un élément de V_b noté \phi_b, etc.

Copies d'espaces de tenseurs[modifier | modifier le code]

En généralisant si T est un tenseur de l'espace formé par produit tensoriel V \otimes V^* \otimes V, on peut en définir l'équivalent dans la copie V^a \otimes V_b \otimes V^c. Cet équivalent est noté T^a{}_b{}^c. Bien sûr il est possible de définir les tenseurs équivalents T^c{}_b{}^a, T^b{}_c{}^d, T^b{}_e{}^a, etc.

Remarque : Pour des raisons qui vont être expliquées ci-après, on s'abstient d'utiliser plusieurs fois le même indice. Des expressions comme T^a{}_b{}^a ou T^c{}_c{}^c sont donc dépourvues de sens. À noter que par contre T^c{}_a{}^a possède bien un sens, mais que celui-ci est différent de celui présenté dans le présent paragraphe.

Ordres des indices[modifier | modifier le code]

Soit deux tenseurs P_{ab} et Q_{ba} tels que pour tout vecteur v^a de V^a et tout vecteur u^b de V^b on a P_{ab}(v^a, u^b) = Q_{ab}(u^b, v^a) . Ces deux tenseurs ont un fonctionnement quasi-identique. L'ordre des paramètres n'a finalement que très peu d'importance puisque les indices agissent comme des étiquettes garantissant que l'évaluation est faite correctement. On souhaiterait donc pouvoir voir P_{ab} et Q_{ba} comme de simples conventions d'écriture d'un même tenseur et pouvoir écrire P_{ab} = Q_{ba}. Il est possible pour cela de considérer l'espace union \mathcal{U}_{ab} = V_a \otimes V_b \cup V_b \otimes V_a et d'y définir la relation d'équivalence \mathcal{R}_{ab} telle que deux tenseurs R_{ab} et S_{ba} sont équivalents si \forall v^a, \forall u^b , R_{ab}(v^a, u^b) = S_{ba}(u^b, v^a) . On note alors V_{ab} = \mathcal{U}_{ab} / \mathcal{R}_{ab} l'espace quotient dans lequel tout se passe comme si on avait oublié l'ordre des paramètres des tenseurs. Seul leur étiquetage par des indices abstraits est dès lors pertinent. On peut alors considérer que P_{ab} \in V_{ab}, que Q_{ba} \in V_{ab} et que P_{ab} = Q_{ba} .

De même on peut par exemple former les espaces vectoriels :


\begin{array}{l}
  V^a_b = \mathcal{U}^a_b / \mathcal{R}^a_b = (V^a \otimes V_b \cup V_b \otimes V^a) / \mathcal{R}^a_b \\
  V^b_a = \mathcal{U}^b_a / \mathcal{R}^b_a = (V^b \otimes V_a \cup V_a \otimes V^b) / \mathcal{R}^b_a \\
  V^{ac}_b = \mathcal{U}^{ac}_b / \mathcal{R}^{ac}_b = (V^a \otimes V^c \otimes V_b \cup \ldots \cup V_b \otimes V^a \otimes V^c) / \mathcal{R}^{ac}_b = V^{ca}_b \\
  V^{abc}_{de} = \mathcal{U}^{abc}_{de} / \mathcal{R}^{abc}_{de} = V^{acb}_{de} = \ldots = V^{cba}_{ed}
\end{array}

Remarque : On voit ici pourquoi il est important de ne pas utiliser deux fois le même indice au sein d'un même tenseur. Le faire rendrait la désignation des paramètres ambigüe.

Remarque : Soit un tenseur T^{abc}{}_d \in V^{abc}_d admettant entre autres une écriture S^{c}{}_d{}^{ba} et encore une écriture R^{bca}{}_d (on a donc le droit d'écrire T^{abc}{}_d = S^{c}{}_d{}^{ba} = R^{bca}{}_d). Il est important de comprendre qu'en revanche les symboles T^{abc}{}_d et T^{bca}{}_d désignent a priori des tenseurs différents, bien qu'ils appartiennent tous les deux à V^{abc}_d. Il s'agit en effet de copies de T \in V \otimes V \otimes V \otimes V^* indexées par des indices abstraits différents : on a respectivement T^{abc}{}_d \in V^a \otimes V^b \otimes V^c \otimes V_d et T^{bca}{}_d \in V^b \otimes V^c \otimes V^a \otimes V_d. Lorsqu'on quotiente l'espace union \mathcal{U}^{abc}_d par la relation d'équivalence \mathcal{R}^{abc}_d afin de forger V^{abc}_d, les tenseurs T^{abc}{}_d et T^{bca}{}_d ne se retrouvent pas (sauf cas particulier) dans la même classe d'équivalence. Par ailleurs, une écriture telle que T^{a}{}_d{}^{bc} est dépourvue de signification puisqu'elle ne saurait représenter une copie valable du tenseur non indexé T.

Remarque : Si dans l'exemple précédent T^{abc}{}_d, S^{c}{}_d{}^{ba} et R^{bca}{}_d peuvent être considérés comme des conventions d'écriture d'un même tenseur indexé, il doit cependant rester clair que T, S et R sont des objets différents.

Opérations[modifier | modifier le code]

Substitution d'indices[modifier | modifier le code]

Soit l'espace de tenseurs V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} et un indice i indexant l'espace en question. Si j est un autre indice non utilisé, on peut faire correspondre à tout élément de V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} sa copie obtenue en substituant j à i. Ainsi à T^{abc}{}_{de} on fait correspondre sa copie T^{afc}{}_{de} par substitution de f à b. Les substitutions peuvent être également être faites en parallèle. Ainsi T^{gac}{}_{hb} est obtenu par substitution des indices (g, a, h, b) à (a, b, d, e).

Somme[modifier | modifier le code]

Si deux tenseurs appartiennent au même espace V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l}, leur somme est définie. Ainsi pour T^{ab}{}_c et S^{b}{}_c{}^a, éléments de V^{ab}_c, la somme T^{ab}{}_c + S^{b}{}_c{}^a est un tenseur de V^{ab}_c.

Produit par un scalaire[modifier | modifier le code]

Le produit d'un tenseur de V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} par un scalaire est défini. Ainsi pour T^{ab}{}_c \in V^{ab}_c et \lambda \in \mathbb{K}, le produit  \lambda T^{ab}{}_c est un tenseur de V^{ab}_c.

Produit tensoriel[modifier | modifier le code]

Soit un tenseur de V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} et un tenseur de V^{c_1\ldots c_{k'}}_{d_1\ldots d_{l'}}, ces espaces n'ayant pas d'indices en commun. On définit leur produit tensoriel, élément de V^{a_1\ldots a_k c_1\ldots c_{k'}}_{b_1\ldots b_l d_1\ldots d_{l'}} . En cas d'indices commun il suffit simplement d'opérer une substitution d'indices préalable.

Par exemple si l'on considère T^{ab}{}_c et S{}_d{}^e, il existe un tenseur P^{eb}{}_{cd}{}^{a} tel que P^{eb}{}_{cd}{}^{a} = T^{ab}{}_c \otimes S{}_d{}^e. On note plus simplement : P^{eb}{}_{cd}{}^{a} = T^{ab}{}_c S{}_d{}^e

Contraction[modifier | modifier le code]

Soit un tenseur de V^{a_1a_2\ldots a_k}_{b_1b_2\ldots b_l}, un indice supérieur (par exemple a_1) et un indice inférieur (par exemple b_1) de cet espace. On note la contraction de ce tenseur sur les indices a_1 et b_1 en substituant à a_1 et b_1 un même indice c. Le tenseur obtenu appartient à V^{a_2\ldots a_k}_{b_2\ldots b_l}.

Par exemple si l'on considère T^{ab}{}_c, il existe un tenseur T^{db}{}_d formé par contraction de a et c. Ce tenseur appartient à l'espace V^b (et pas à V^{db}_d comme on pourrait être tenté de le croire, un tel espace n'étant de toute façon pas défini).

Remarque : L'indice utilisé pour la contraction n'a aucune importance (dans la mesure où il n'est pas utilisé ailleurs). Seul sa position compte. On peut même utiliser un des deux indices de départ. De fait on a : T^{ab}{}_a = T^{cb}{}_c = T^{db}{}_d = T^{eb}{}_e = \ldots

Remarque : Le tenseur T^{bc}{}_c appartient également à l'espace V^b mais sauf cas particulier T^{db}{}_d \neq T^{bc}{}_c .

Produit contracté[modifier | modifier le code]

Le produit contracté se note simplement en combinant les deux notations précédentes comme dans l'équation Q^{b}{}_{d}{}^{a} = T^{ab}{}_c S{}_d{}^c .

Symétrisation et antisymétrisation[modifier | modifier le code]

On note \mathfrak{S}_k l'ensemble des permutations de [|1,k|]. Pour \sigma \in \mathfrak{S}_k, on note \epsilon(\sigma) \in \{+1, -1\} sa signature. Dans ce paragraphe on suppose que le corps \mathbb{K} est de caractéristique nulle (dans le cas contraire le terme 1/k! pourrait être indéfini).

Symétrisation[modifier | modifier le code]

Soit le tenseur contravariant X^{a_1\cdots a_k}, on définit son symétrisé, noté X^{(a_1\cdots a_k)}, par :

X^{(a_1\cdots a_k)} = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_k} X^{a_{\sigma(1)}\cdots a_{\sigma(k)}}

Ainsi par exemple Z^{(abc)} = \frac{1}{6} ( Z^{abc} + Z^{cab} + Z^{bca} + Z^{bac} + Z^{cba} + Z^{acb} ).

Il en va évidemment de même pour des tenseurs covariants :

Y_{(b_1\cdots b_l)} = \frac{1}{l!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_l} Y_{b_{\sigma(1)}\cdots b_{\sigma(l)}}

L'opération de symétrisation peut également s'accomplir sur un sous-ensemble d'indices et reste possible si le tenseurs présente à la fois des indices covariants et contravariant. Ainsi G^{a(b}{}_{c}{}^{d)} = \frac{1}{2} ( G^{ab}{}_{c}{}^{d} + G^{ad}{}_{c}{}^{b} ) . On peut même effectuer plusieurs symétrisations à la fois, comme dans H^{(ab)(c}{}_{d(e}{}^{f)g}{}_{hi)j}, symétrisé de H^{abc}{}_{de}{}^{fg}{}_{hij} sur les sous-ensembles d'indices \{a,b\}, \{c,f\} et \{e,h,i\}

Remarque : Il est possible d'exclure des indices au moyen des symboles || comme dans H^{a(b|c}{}_{de}{}^{f|g)}{}_{hij} = \frac{1}{2} ( H^{abc}{}_{de}{}^{fg}{}_{hij} + H^{agc}{}_{de}{}^{fb}{}_{hij} )

Remarque : Cette opération permet de définir simplement la notion de tenseur symétrique sur certains de ses indices (et donc également de tenseur totalement symétrique). Par exemple G^{ab}{}_{c}{}^{d} est symétrique sur b et d si et seulement si G^{ab}{}_{c}{}^{d} = G^{a(b}{}_{c}{}^{d)} .

Antisymétrisation[modifier | modifier le code]

De façon tout à fait similaire, on définit l'antisymétrisé de X^{a_1\cdots a_k} par :

X^{[a_1\cdots a_k]} = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_k} \epsilon(\sigma) X^{a_{\sigma(1)}\cdots a_{\sigma(k)}}

Ainsi par exemple Z^{[abc]} = \frac{1}{6} ( Z^{abc} + Z^{cab} + Z^{bca} - Z^{bac} - Z^{cba} - Z^{acb} ).

L'antisymétrisé de Y_{b_1\cdots b_l} est de même :

Y_{[b_1\cdots b_l]} = \frac{1}{l!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_l} \epsilon(\sigma) Y_{b_{\sigma(1)}\cdots b_{\sigma(l)}}

Les mêmes possibilité et conventions que la symétrisation s'appliquent. Ainsi G^{a[b}{}_{c}{}^{d]} = \frac{1}{2} ( G^{ab}{}_{c}{}^{d} - G^{ad}{}_{c}{}^{b} ) . On peut également utilisés symétrisations et antisymétrisations en même temps, comme dans H^{[a|bc}{}_{d(e|}{}^{|fg]}{}_{h|ij)}.

Remarque : Cette opération permet de définir simplement la notion de tenseur antisymétrique sur certains de ses indices (et donc également de tenseur totalement antisymétrique). Par exemple G^{ab}{}_{c}{}^{d} est antisymétrique sur b et d si et seulement si G^{ab}{}_{c}{}^{d} = G^{a[b}{}_{c}{}^{d]} .

Compatibilité avec les autres opérations[modifier | modifier le code]

Il n'est pas possible de symétriser ou d'antisymétriser des indices provenant de différents tenseurs utilisées dans une somme. Ainsi la notation S^{a}{}_{c}{}^{(b} + T^{a)b}{}_{c} n'a aucun sens. En revanche si l'on note R^{b}{}_{c}{}^{a} = S^{a}{}_{c}{}^{b} + T^{ab}{}_{c}, on a bien R^{(b}{}_{c}{}^{a)} = S^{(a}{}_{c}{}^{b)} + T^{(ab)}{}_{c}.

Le choses se passent beaucoup mieux avec un produit. S^{a}{}_{c}{}^{[b} T^{d]e}{}_{f} est un tenseur valide égal à \frac{1}{2} (S^{a}{}_{c}{}^{b} T^{de}{}_{f} - S^{a}{}_{c}{}^{d} T^{be}{}_{f})

De même symétrisation et antisymétrisation sont compatibles avec les contractions dans la mesures où les contractions sont réalisées en dernier. H^{[a|bc}{}_{d(c|}{}^{|fd]}{}_{h|if)} est le résultat de multiples symétrisations et antisymétrisations de H^{abc}{}_{de}{}^{fg}{}_{hij} définissant un tenseur J^{abc}{}_{de}{}^{fg}{}_{hij} = H^{[a|bc}{}_{d(e|}{}^{|fg]}{}_{h|ij)} suivi de contractions multiples : H^{[a|bc}{}_{d(c|}{}^{|fd]}{}_{h|if)} = J^{abc}{}_{dc}{}^{fd}{}_{hif}

Espace muni d'une forme bilinéaire symétrique[modifier | modifier le code]

Abaissement d'indice[modifier | modifier le code]

Si V est naturellement muni d'une forme bilinéaire symétrique g, une nouvelle opération est permise. En effet g en tant que tenseur (2-covariant symétrique) admet des copies indexées g_{ab}, g_{ac}, g_{cd} ... On peut à partir d'un tenseur de V^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} possédant au moins un indice supérieur (par exemple a_1), contracter ce dernier avec un indice d'une copie de g (par exemple g_{a_1c} = g_{ca_1}). Le résultat est un tenseur de V^{a_2\ldots a_k}_{cb_1\ldots b_l} ou, après substitution de l'indice a_1 à c, de V^{a_2\ldots a_k}_{a_1b_1\ldots b_l}. D'où le nom d'abaissement d'indice.

On peut par exemple à partir de T^{ab}{}_c former le tenseur \tilde{T}_a{}^b{}_c = T^{db}{}_c g_{ad}. En pratique on conserve le même nom pour le tenseur et on écrit plus simplement T_a{}^b{}_c = T^{db}{}_c g_{ad}. De même on peut former le tenseur T^{a}{}_{bc} obtenu par abaissement du second indice ainsi que le tenseur T_{abc} obtenu par abaissement des deux indices.

Remarque : Conserver le même symbole pour le tenseur n'introduit pas d'ambigüité puisqu'en tant qu'élément de V \otimes V \otimes V^*, T n'admet en effet aucune copie indexée dans V^b_{ac}, V^a_{bc} ou V_{abc}.

Remarque : On voit ici pourquoi il peut être important de conserver l'ordre relatif des indices inférieur et supérieur. Une notation telle que T^{ab}_c plutôt que T^{ab}{}_c ne permettrait pas de savoir où positionner les indices abaissés par rapport à l'indice c.

Elévation d'indice[modifier | modifier le code]

Si l'on a plutôt naturellement une forme bilinéaire h sur V^*, c'est l'opération inverse qui est valide. Grâce au copies h^{ab}, h^{bd}, h^{ea}, ... on peut élever un indice sur le même principe (produit contracté avec une de ces copies et éventuelles substitutions d'indice). Par exemple le tenseur S_{ab}{}^c{}_d permet de définir les nouveaux S^a{}_b{}^c{}_d, S_a{}^{bc}{}_d, S_{ab}{}^{cd}, S^{abc}{}_d, S_a{}^{bcd}, S^a{}_b{}^{cd} et S^{abcd}.

Forme bilinéaire symétrique non dégénérée[modifier | modifier le code]

Si la forme bilinéaire symétrique g sur V est non dégénérée, elle induit naturellement une forme bilinéaire symétrique g^* sur V^*. Ce fait rend possible à la fois l'abaissement et l'élévation d'indice de manière compatible : abaisser un indice grâce à g puis l'élever grâce à g^* permet de retrouver le tenseur initial (de même pour une élévation suivie d'un abaissement). En conservant les conventions définies précédemment, si g_{ab}, g_{bc}, g_{ea}, ... sont des copies indexées de g, on peut noter g^{ab}, g^{bc}, g^{ea}, ... les copies indexées de g^*.

Remarque : On a g_{ab} g^{bc} = \delta_a{}^c\delta_a{}^c est le tenseur correspondant à l'endomorphisme identité de V (correspondant au symbole de Kronecker dans la convention d'Einstein).

Copies de fibrés vectoriels[modifier | modifier le code]

Si M est une variété différentielle de dimension n, on peut en chaque point x définir des copies indexées de l'espace tangent T_xM, notées T_xM^a, T_xM^b, T_xM^c, T_xM^d ... et de même des copies de l'espace cotangent T_x^*M, notées T_xM_a, T_xM_b, T_xM_c, T_xM_d ... Comme précédemment on va pouvoir pouvoir former les espaces de tenseurs indexés T_xM^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l}.

Le but est ici bien évidemment de généraliser ces notions ayant un sens au point x en définissant des fibrés vectoriels munis d'indices TM^{a_1\ldots a_k}_{b_1\ldots b_l} dont les sections seront des champs de tenseurs indexés. Cette extension naturelle induit une généralisation de toutes les opérations vues jusqu'à présent (substitution d'indice, combinaison linéaire, produit tensoriel, contraction, symétrisation, antisymétrisation) pour les champs de tenseurs. À cela s'ajoutent des opérations propres aux champs.

Dérivée de Lie[modifier | modifier le code]

Soit X un champ vectoriel (sans indice). Soit par exemple P^a{}_b{}^{cd} un champ de tenseur muni d'indice. La dérivée de Lie de P^a{}_b{}^{cd} suivant X est un champ de tenseur muni des mêmes indices et noté \mathcal{L}_X P^a{}_b{}^{cd}. Ce champ est égal à la copie indexée par (a,b,c,d) de \mathcal{L}_X P, la dérivée de Lie du champ de tenseur P suivant X.

Remarque : On note que le champ obtenu possède les mêmes indices que le champ soumis à la dérivation. En effet l'opérateur \mathcal{L}_X est un endomorphisme sur l'espace vectoriel des sections de tout fibré vectoriel formé par produit tensoriel des fibrés tangent et cotangent. Pour cette raison, on n'utilise pas de copie avec indices pour le champ vectoriel X. Une notation \mathcal{L}_{X^e} P^a{}_b{}^{cd} donnerait en effet l'impression de rajouter un indice. Par ailleurs comme seul un champ de vecteur fait sens ici, la présence de l'indice n'apporterait aucune information nouvelle.

Dérivée extérieure[modifier | modifier le code]

Toute l-forme différentielle peut être vue comme un champ de tenseurs l-covariant \omega_{b_1\ldots b_l} antisymétrique (donc vérifiant \omega_{b_1\ldots b_l} = \omega_{[b_1\ldots b_l]}). La dérivée extérieure d ajoutant un indice, on définit les copies indexées d_a, d_b d_c d_d, ... Ceci permet donc d'écrire la dérivée extérieure indicée par a de \omega_{b_1\ldots b_l} comme d_a\omega_{b_1\ldots b_l}.

Remarque : Il ne faut bien entendu pas lire la notation d_a\omega_{b_1\ldots b_l} comme un produit tensoriel entre d_a et \omega_{b_1\ldots b_l}, ce qui n'aurait aucun sens puisque d_a n'est pas un tenseur.

Dérivée covariante[modifier | modifier le code]

Soit X un champ vectoriel (sans indice). Soit par exemple P^a{}_b{}^{cd} un champ de tenseur muni d'indice. Pour un opérateur de dérivée covariante donné noté \nabla, la dérivée covariante de P^a{}_b{}^{cd} suivant X est un champ de tenseur muni des même indices. On pourrait choisir de le noter \nabla_X P^a{}_b{}^{cd} de manière similaire à la dérivée de Lie. Cependant le caractère tensoriel des dérivées covariantes permet de les voir plus généralement comme opérations ajoutant un indice. La dérivée covariante indexée par e de P^a{}_b{}^{cd} est un champ de tenseur muni des mêmes indices ainsi que de l'indice e et notée \nabla_e P^a{}_b{}^{cd}. On peut comme pour la dérivée extérieure définir les copies avec indices \nabla_a, \nabla_b, \nabla_c, \nabla_d ...

Remarque : Avec cette notation, choisir une direction de dérivation (par exemple celle donnée par le champ vectoriel X dans l'énoncé précédent) revient alors à calculer la contraction X^e \nabla_e P^a{}_b{}^{cd} de \nabla_e P^a{}_b{}^{cd} avec une copie indexée de X.

Remarque : Une notation similaire \mathcal{L}_e P^a{}_b{}^{cd} pour la dérivée de Lie est impossible du fait même du caractère non tensoriel de \mathcal{L}, c'est-à-dire du fait qu'on n'a pas contrairement aux dérivées covariantes \mathcal{L}_{f\cdot X} = f \cdot \mathcal{L}_{X} pour f champ scalaire sur M.

Remarque : La dérivée extérieure d_a peut se définir à partir d'une dérivée covariante \nabla_a par d_a \omega_{b_1\ldots b_l} = \nabla_{[a} \omega_{b_1\ldots b_l]} pour toute forme différentielle \omega_{b_1\ldots b_l}. On démontre qu'une telle formule est indépendante du choix de \nabla comme le présuppose l'unicité de d.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004, pp 239-243.
  • Roger Penrose et Wolfgang Rindler, Spinors and space-time, volume I, two-spinor calculus and relativistic fields.

Liens externes[modifier | modifier le code]