Covariant et contravariant

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En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.

La notion est étroitement liée au concept de dualité: les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un espace vectoriel \mathcal{V} de dimension finie n.

Soient deux bases (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) et (\mathbf{e'}_1,\mathbf{e'}_2,\ldots, \mathbf{e'}_n) telles que le changement de base de \mathbf{e} vers \mathbf{e}' s'écrit:

\mathbf{e'}_i = A_i^j\mathbf{e}_j

Soit une famille de fonctions (X(i))_{i=1\ldots n} chacune de \mathcal{V}^n vers un espace vectoriel de même corps que \mathcal{V}.

Les familles de vecteurs (X(i)(\mathbf{e}'))_{i=1\ldots n} et (X(i)(\mathbf{e}))_{i=1\ldots n} sont alors notées respectivement (x'(i))_{i=1\ldots n} et (x(i))_{i=1\ldots n}.

X est dite covariante lorsque x'(i) = \sum_{j=1}^n A_i^j x(j)

L'indice est alors noté en bas, et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

x_i' = A_i^j x_j

X est dite contravariante lorsque x(j) = \sum_{i=1}^n A_i^j x'(i)

L'indice est alors noté en haut et la convention d'Enstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

x^j = A_i^j x'^i

Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs (x_i)_{i=1\ldots n} et (x^i)_{i=1\ldots n}, la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.

Exemples[modifier | modifier le code]

Décomposition dans une base[modifier | modifier le code]

Théorème et définition —  Les coefficients de l'unique décomposition d'un vecteur dans une base forment une famille contravariante de scalaires appelés coordonnées contravariantes, qui sont donc notés avec un indice haut.

\mathbf{x} = x^i\mathbf{e}_i

Produits scalaires dans une base[modifier | modifier le code]

Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas.

x_i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e}_i

Dérivées directionnelles[modifier | modifier le code]

En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction \mathbf{d} ainsi:

\begin{array}{rccl}
\partial_{\mathbf{d}} : & \mathcal{E}^\mathcal{V} & \rightarrow & \mathcal{E}^\mathcal{V}\\
 & f & \mapsto & (\mathbf{x}\mapsto \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{x} + \epsilon\mathbf{d}) - f(\mathbf{x})}{\epsilon})
\end{array}

Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas.

\partial_i = \partial_{\mathbf{e}_i}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lien avec les bases duales[modifier | modifier le code]

Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

\mathbf{x} = (\mathbf{x}\cdot\mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i = (\mathbf{x}\cdot\mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i

C'est-à-dire:

\begin{array}{c}
x^i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e^i}\\
\mathbf{x} = x_i\mathbf{e}^i
\end{array}

Produit contracté[modifier | modifier le code]

Théorème et définition —  Soient (a^i)_{i=1\ldots n} et (b_i)_{i=1\ldots n} deux familles respectivement contravariante et covariante, à valeurs dans une algèbre associative. L'expression

a^i b_i

ne dépend pas du choix de la base utilisée, et est appelée produit contracté.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean Hladik , Le calcul tensoriel en physique , Masson 1995

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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