Algorithme Toom-Cook

L'algorithme Toom-Cook, parfois appelé Toom-3, est un algorithme de multiplication dû à Andrei Toom (en) et Stephen Cook, utilisé pour multiplier deux grands nombres.

Ces grands nombres sont découpés en k morceaux de longueur l sur lesquels les multiplications sont faites récursivement à la manière d’un diviser pour régner. C’est une généralisation de l’algorithme de Karatsuba qui coïncide au cas où k = 2.

Par abus de langage, Toom-3 et Toom-Cook sont souvent utilisés de manière interchangeable. Or, Toom-3 est le cas où k = 3, où il y est fait 5 multiplications, ce qui, par application du master theorem donne une complexité en Θ(n^{log(5)/log(3)}) ≈ Θ(n^1.465).

Description

L'algorithme de Toom-Cook peut se décomposer en cinq phases :

1. Le découpage
2. L'évaluation
3. Les multiplications point par point
4. L'interpolation
5. La recomposition

Dans la suite, nous expliquerons le déroulement de l'algorithme de Toom-k pour n’importe quelle valeur de k. C'est une simplification de la description de l'algorithme donnée par Marco Bodrato.

Le découpage

Étant donné deux nombres m et n en base b, on commence par choisir une nouvelle base B = bⁱ de façon à ce que le nombre de chiffres en base B de m et n soit au plus k (par exemple 3 pour Toom-3). Un choix usuel est :

$i=\max \left\{\left\lfloor {\frac {\lfloor \log _{b}m\rfloor }{k}}\right\rfloor ,\left\lfloor {\frac {\lfloor \log _{b}n\rfloor }{k}}\right\rfloor \right\}+1.$

Ainsi on peut définir les polynômes dont ces chiffres correspondent à leurs coefficient, c'est-à-dire :

$P(x)=\sum _{i=0}^{k-1}m_{i}x^{i},$

$Q(x)=\sum _{i=0}^{k-1}n_{i}x^{i}.$

On remarque que P(B) = m et Q(B) = n, ainsi si on effectue le produit des polynômes pour avoir R(x) = P(x) \cdot Q(x) alors l’évaluation de ce produit en B coïncide avec le produit recherché: R(B) = m·n.

Évaluation

Maintenant que nous avons défini les polynômes P et Q, calculer leur produit se fait par la méthode d’évaluation-interpolation. Pour cela on va évaluer le résultat du polynôme produit R en plusieurs points que l'on utilisera ensuite afin de l'interpoler et donc d'en trouver les coefficients.

Comme P et Q sont de degrés k-1, alors leur produit est de degré 2·k-2. Par exemple dans le cas de Toom-3, le produit de P et Q est de degrés 4, il nous faut donc 5 points pour en calculer l’interpolation. Le choix des points importe peu, il suffit de garantir que l'interpolation est possible (ce qui sera rappelé dans la section Interpolation). Par exemple pour Toom-3, les points traditionnellement choisis sont $0,1,-1,2,\infty$.

Ainsi ces évaluations sur P nous donne :

$P(0)=m_{0},$

$P(1)=m_{2}+m_{1}+m_{0},$

$P(-1)=m_{2}-m_{1}+m_{0},$

$P(2)=4\cdot m_{2}+2\cdot m_{1}+m_{0},$

$P(\infty )=m_{2}.$

On procède de manière similaire pour Q.

Les multiplications point par point

Une fois qu'on a nos différentes évaluations, il est alors possible de calculer $R(a_{i})=P(a_{i})\cdot Q(a_{i})$ pour chaque point d'évaluation a_i. Dans le cas de Toom-3, on rappelle que ces points sont $(a_{i})_{0\leq i\leq 4}=(0,1,-1,2,\infty )$. Comme on multiplie deux nombres de taille l, on peut réappliquer récursivement notre algorithme pour calculer ces sous-produits.

L'interpolation

Une fois qu'on a nos valeurs r_i pour i compris entre 0 et 2k - 2, on peut alors réécrire les relations entre P, Q et R de manière matricielle. Pour plus de clarté on explicitera le cas k = 3:

${\begin{pmatrix}R(0)\\R(1)\\R(-1)\\R(2)\\R(\infty )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1\\1&2&4&8&16\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{pmatrix}}.$

Cette matrice de passage correspondant à une matrice de Vandermonde, il suffisait alors de prendre des points deux à deux distincts pour qu'elle soit inversible. Ce qui se traduit alors par :

${\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1\\1&2&4&8&16\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}R(0)\\R(1)\\R(-1)\\R(2)\\R(\infty )\end{pmatrix}}.$

En calculant cet inverse, on obtient alors :

${\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&1&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{6}}&2\\-1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&-1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&-2\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R(0)\\R(1)\\R(-1)\\R(2)\\R(\infty )\end{pmatrix}}.$

Reconstruction

Finalement, il nous reste plus qu'à évaluer la valeur de $R(B)=\sum _{i=0}^{2k-2}r_{i}B^{i}$ afin d'obtenir le résultat du produit. Comme B est une puissance de notre base de travail b, cela se fait simplement à l'aide d'additions avec retenue.

Notes et Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Toom–Cook multiplication » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (ru) Andrei Toom, « О сложности схемы из функциональных элементов, реализующей умножение целых чисел »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, Доклады Академии Наук СССР, T. 150, n^o 3, 1963, p. 496-498, (en) « The Complexity of a Scheme of Functional Elements Realizing the Multiplication of Integers »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, p. 714-716
• (en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, 3^e éd. , Addison-Wesley, 1997
• (en) Richard Crandall, Carl Pomerance, Prime Numbers - A Computational Perspective, 2^e éd. , Springer, 2005
• (en) Toom 3-Way Multiplication, documentation de GMP
• (en) Marco Bodrato, « Towards Optimal Toom-Cook Multiplication for Univariate and Multivariate Polynomials in Characteristic 2 and 0 », WAIFI,‎ 2007 (DOI 10.1007/978-3-540-73074-3_10)