Utilisateur:Prime07/Brouillon

Remarque : Ceci est un projet de réécriture partielle du texte de cet article dans le souci d'en simplifier et clarifier l'écriture. On trouve notamment dans le texte actuel une redite : 1. en introduction : "ce qui a amené à se contenter de formules approchées", 2. sous le sous-titre 'Formules exactes simples' : "ce qui a amené à se contenter d'objectifs moins ambitieux".

 Prime07 :Je me permets de répondre ici-même à cette remarque : ce n'est pas une redite, car l'introduction en question est en fait un Résumé Introductif, reprenant (en principe) les points essentiels de l'article. Cordialement,-- Dfeldmann (discuter) 7 août 2019 à 21:13 (CEST)

 Prime07 : Par ailleurs, outre que je ne vois guère de changements par rapport à l'article (il serait plus simple de mettre en comparaison sa version actuelle et les "améliorations" que vous proposez), quels sont ces résultats auxquels vous faites allusion ?-- Dfeldmann (discuter) 8 août 2019 à 14:39 (CEST)

 Prime07 : Attention : dans la mesure où vous continuez à modifier ce brouillon, il est clair que vous voyez ces messages. Un minimum d'esprit collaboratif s'impose sur Wikipédia, d'autant que j'ai du mal à comprendre le sens du travail que vous y effectuez actuellement. Attention à ne pas envisager le travail en question comme préliminaire à l'annonce de vos fameux résultats : une telle manoeuvre n'a aucune chance de passer...-- Dfeldmann (discuter) 8 août 2019 à 16:21 (CEST)

Dfeldmann, je vous ai répondu sur votre propre page de discussion (sous le titre FNP).
Je n'apprécie finalement pas vos dernières interventions et vous précise que je ne manoeuvre pas.
Finalement, je me suis bien trop confié à vous, je le regrette.
Puisque mon intervention semble vous vexer (sans doute êtes-vous le principal auteur de l'article ?), laissez donc l'article FNP en l'état. Dommage qu'en raison de la fierté de quelques-uns, sa rédaction (comme tant d'autres par ailleurs) demeure ainsi floue et confuse !

Que tout cela est donc prévisible. Un exemple de flou et de confusion, s'il vous plait ?-- Dfeldmann (discuter) 8 août 2019 à 18:52 (CEST)

Formules pour les nombres premiers

L'espoir d'obtenir des formules mathématiques exactes donnant soit tous les nombres premiers, soit certaines familles de nombres premiers,soit le n-ième nombre premier, soit encore le nombre π(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, s'est heurté très tôt à des échecs dus, notamment, à l'extrême complexité de leur répartition, conduisant les chercheurs à se contenter de formules approchées.

La présente page recense les principaux résultats obtenus.

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Ici, l'encart Sommaire' inchangé

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Formules exactes simples

La recherche de formules ne générant que des nombres premiers - voire certaines familles de nombres premiers - s'avère décevante. Celles qui ont été découvertes jusqu'à présent ne peuvent générer que des sous-suites de nombres premiers consécutifs en nombre très limité dans la suite infinie des nombres premiers.

Il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les entiers n, ou pour presque tous les n¹. On ignore même s'il existe un polynôme de degré supérieur à 1 qui prenne une infinité de valeurs premières².

Le polynôme quadratique d'Euler : P(n) = n² + n + 41 génère une suite de 40 nombres premiers pour tout entier n positif ou nul strictement inférieur à 40. On notera que P(40) = 41², soit 1681, et que si n est un multiple de 41, P(n) sera aussi un multiple de 41, donc non premier. D'ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d'Euler », c'est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n² + n + A ne prend que des valeurs premières pour tout n strictement inférieur à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner, un résultat de la théorie des corps de classes qui n'a été démontré qu'en 1967.

Des polynômes de degré supérieur à 2 génèrent des suites finies de plus de 40 nombres premiers. Ainsi, en 2010, un polynome de degré 6 a permis d'établir un nouveau record en produisant une suite de 58 nombres premiers consécutifs³ :

${\frac {1}{72}}n^{6}-{\frac {5}{24}}n^{5}-{\frac {1493}{72}}n^{4}+{\frac {1027}{8}}n^{3}+{\frac {100471}{18}}n^{2}-{\frac {11971}{6}}n-57347$ est premier pour chaque entier n de –42 à +15.

D'autres formules très courtes génèrent des nombres devenus célèbres, mais fréquemment composés et rarement premiers, tels ceux de Mersenne (M_n = 2ⁿ - 1) et de Fermat ( F_n = 2²ⁿ + 1 ).

Enfin, les nombres de Mills ( [A³ⁿ ], où les crochets signifient "partie entière" et A désigne la constante de Mills ) sont tous premiers bien qu'également rares.

Ces nombres célèbres sont explicités dans les articles Wikipédia correspondants.

Formules approchées pour p_n ou π(n)

Des formules approchées donnant p_n ou π(n) ont été imaginées au xviii^e siècle, culminant avec les conjectures de Legendre et Gauss....

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(Note de Prime07 : La suite de ce brouillon est en cours d'écriture)

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