Un gaz parfait suit les deux lois de Joule :
- son énergie interne ne dépend que de la température :
;
- son enthalpie ne dépend que de la température :
.
On a donc :
![{\displaystyle T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T+P\,\mathrm {d} V=C_{P}\,\mathrm {d} T-V\,\mathrm {d} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b54f8761531b400059e3fd02f807821d848fa2f)
I'm watching you.
Hell's cat.
Principe de procrasdynamique.
Atteindre l'état d'entropie minimale.
Principe de procrasdynamique.
Atteindre l'état d'entropie minimale.
Échec de l’analyse (fonction inconnue « \itshape »): {\displaystyle \itshape{\mathsf{ABCD}}}
Soit la fonction
. La relation
permet de ne retenir, arbitrairement, que la seule variable
en composition :
.
Selon le théorème de dérivation des fonctions composées, si l'on dérive
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\partial {\bar {G}}_{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}&=\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}\left({\partial x_{1} \over \partial x_{2}}\right)+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\left({\partial x_{2} \over \partial x_{2}}\right)\\&=\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}\left({\partial \left[1-x_{2}\right] \over \partial x_{2}}\right)+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\\&=-\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}+\left({\partial {\bar {G}}_{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4411bc324325686c3f9d57c3f50b53be7d16d9e)
On a donc, selon que l'on considère ou non la relation
:
![{\displaystyle \left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}}-\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{1}}\right)_{P,T,x_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2546290abb237bb7cdc2cee02009900f5335bebf)
Exemple :
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&=A\,x_{1}+B\,x_{2}+C\,{x_{1}}^{2}+D\,{x_{2}}^{2}+E\,x_{1}x_{2}\\&=A\,\left(1-x_{2}\right)+B\,x_{2}+C\,\left(1-x_{2}\right)^{2}+D\,{x_{2}}^{2}+E\,\left(1-x_{2}\right)x_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378d11fc505c5cc3098ab66058baba1f1e97b6d6)
![{\displaystyle \left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)_{x_{1}}=B+2D\,x_{2}+E\,x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6847f06c443d991c06863865b44a465fd782c2)
![{\displaystyle \left({\partial f \over \partial x_{1}}\right)_{x_{2}}=A+2C\,x_{1}+E\,x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7a5578fd4a6157ba9c92f07a8d50c5c74935d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)&=-A+B-2C\,\left(1-x_{2}\right)+2D\,x_{2}+E\,\left(1-2\,x_{2}\right)\\&=-A+B-2C\,x_{1}+2D\,x_{2}+E\,\left(x_{1}-x_{2}\right)\\&=\left[B+2D\,x_{2}+E\,x_{1}\right]-\left[A+2C\,x_{1}+E\,x_{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0714b8087a290d8c22b9d4b741f91d3435bbca0e)
![{\displaystyle \left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)=\left({\partial f \over \partial x_{2}}\right)_{x_{1}}-\left({\partial f \over \partial x_{1}}\right)_{x_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55686f324d4ce08c0eb61667421faea2408849b9)
Par définition, le potentiel chimique est l'enthalpie libre molaire partielle. Pour l'espèce
dans le mélange binaire, on a :
![{\displaystyle \mu _{1}=\left({\partial G \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial n{\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}={\bar {G}}+n\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2793cdc1173bc61f597b7643da94eeb139cf30)
avec
la quantité de matière totale du mélange,
et
. La relation
permettant de ne retenir, arbitrairement, que la seule variable de composition
, on a
. La dérivation à pression et température constantes donne :
![{\displaystyle \left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{1}}\right)_{n_{2}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(-{x_{2} \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189102b88e7a398fe9fa8882583bdb9a71c9e146)
![{\displaystyle \mu _{1}={\bar {G}}-\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2b4a2f697ae854bffb6f355e2b4128af20060b)
On a pour l'espèce
:
![{\displaystyle \mu _{2}=\left({\partial G \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial n{\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {G}}+n\left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f50b407a9616a2c1bc5a63449e755e52aa4bbb0)
![{\displaystyle \left({\partial {\bar {G}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{2}}\right)_{n_{1}}=\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({1 \over n}-{x_{2} \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d3061b62ec114b5a6d5c7bb983dde2e9fe6474)
![{\displaystyle \mu _{2}=\left({\partial G \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {G}}+\left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(1-x_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4567480e0416b009e0a0bc4ed828900d171d76)
On obtient la dérivée de la fonction
:
Exemple :
![{\displaystyle G=n\,x_{1}x_{2}={n_{1}n_{2} \over n_{1}+n_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2441a96e85a595b41fbc8eb103c123ddfa2c6ecd)
![{\displaystyle \mu _{1}=x_{2}-x_{1}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7266776a9965acfec68328897775eac51221d0a6)
![{\displaystyle \mu _{2}=x_{1}-x_{1}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78b104925f5c6900e677d94611d694ca2700c27)
![{\displaystyle {\bar {G}}=x_{1}x_{2}=x_{2}-{x_{2}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c6d2a7522314bc5d011dd4156b634a8d4d731f)
![{\displaystyle \left({\partial {\bar {G}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}=1-2\,x_{2}=x_{1}-x_{2}=\mu _{2}-\mu _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f331cbc90bf65aad5413a8ab5703170a3a5d189)
La dérivée seconde s'écrit :
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}{\bar {G}} \over {\partial x_{2}}^{2}}\right)_{P,T}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}-\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447bcd756d3192569ba1f1794023936c7f75a3d1)
Le théorème de dérivation des fonctions composées donne pour
(qui, comme
, est considéré comme ne dépendant que de
en composition) :
![{\displaystyle \left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{2}}\right)_{n_{1}}=\left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({1 \over n}-{x_{2} \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435a5c5faf77a589ae94d87daffcbd8c01b39fb8)
![{\displaystyle \left({\partial \mu _{2} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={n \over x_{1}}\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1a7708ae10f400d7d60d0bfc0b77f1854476f5)
On obtient de la même façon pour
:
![{\displaystyle \left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{1}}\right)_{n_{2}}=\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(-{x_{2} \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071cf567888c8fbcc258cfa1edbfe2d95647a3ce)
![{\displaystyle -\left({\partial \mu _{1} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={n \over x_{2}}\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe24644c94d83650ae2993051f7a0c5f67cbf58)
La dérivée seconde de
se réécrit :
Exemple :
![{\displaystyle \mu _{1}=x_{2}-x_{1}x_{2}={x_{2}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4160b8e77e7730f4aa39e300a19994073921333)
![{\displaystyle \mu _{2}=x_{1}-x_{1}x_{2}={x_{1}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e51fa30c66c76d9fbb027dde344189aab450ca)
![{\displaystyle \left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=-{2 \over n}{x_{2}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18aa993653397dca4896540e078e34cd92b6230)
![{\displaystyle \left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{2}}=-{2 \over n}{x_{1}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee4754c4348f1c660c20cb8b65ecdee10bbf4fd)
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}{\bar {G}} \over {\partial x_{2}}^{2}}\right)_{P,T}=-2=-2\,x_{1}-2\,x_{2}={n \over x_{1}}\left({\partial \mu _{2} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}+{n \over x_{2}}\left({\partial \mu _{1} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e0cde3d756278e6e003313034b27988a9e7385)
![{\displaystyle \mathrm {d} {G \over T}={\mathrm {d} G \over T}+G\,\mathrm {d} {1 \over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6305ae440b40a476a7f89af63cfb811f4f66061c)
![{\displaystyle G=H-TS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31abc549d1a3b34b4d49d0785f8f90abbd2396fb)
![{\displaystyle \mathrm {d} {G \over T}={\mathrm {d} G \over T}+\left(H-TS\right)\,\mathrm {d} {1 \over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65c25497b3a8d9adb0ff56a362ccb3ce4ff3ae1)
![{\displaystyle \mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P-S\,\mathrm {d} T+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af197acaf400b17b821342f627d4b38ba4cf6c9a)
![{\displaystyle \mathrm {d} {1 \over T}=-{\mathrm {d} T \over T^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306e4e7c055f44d08ee1a6b4e1e48f9c6412a113)
![{\displaystyle \mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P+T^{2}S\,\mathrm {d} {1 \over T}+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8083fc6c1f4df04dca96995cb6b028d0d0652f7)
![{\displaystyle \mathrm {d} {G \over T}={V \over T}\,\mathrm {d} P+{\cancel {TS\,\mathrm {d} {1 \over T}}}+\sum _{i}{\mu _{i} \over T}\,\mathrm {d} n_{i}+H\,\mathrm {d} {1 \over T}-{\cancel {TS\,\mathrm {d} {1 \over T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7485701883d1a94a3e3a009464e9610831aeb69)
![{\displaystyle \mathrm {d} {G \over T}={V \over T}\,\mathrm {d} P+H\,\mathrm {d} {1 \over T}+\sum _{i}{\mu _{i} \over T}\,\mathrm {d} n_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3406f672bf8bcfac20fddac93324161b1f6db1a)
![{\displaystyle H=\left({\partial {G \over T} \over \partial {1 \over T}}\right)_{P,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d441089e5d95eb1fb07abbd38e24d81abf39924f)
réfrigération magnétique
- https://books.google.fr/books?id=-HTLBQAAQBAJ&pg=PA55#v=onepage&q&f=false
- https://books.google.fr/books?id=-HTLBQAAQBAJ&pg=PA4#v=onepage&q&f=false
- https://books.google.fr/books?id=1oavcLF7-boC&pg=PA2#v=onepage&q&f=false
- https://books.google.fr/books?id=gumvHDQmJD0C&pg=RA1-PA448#v=onepage&q&f=false
- http://actes.sge-conf.fr/2014/articles/article_30156.pdf
- https://books.google.fr/books?id=zzYZUlX9ZzYC&pg=PA2#v=onepage&q&f=false
- https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01496267/document
- https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00331526/document
- https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01314135/document - pages 26 et 29
- https://www.theses.fr/2015STRAD008.pdf
- https://pdfs.semanticscholar.org/4261/5eb5c73116f9cd98dea834c8f7aa553f623f.pdf
- https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-70733-9_3
- http://people.virginia.edu/~cas8m/classes/phys8310/2013/magnetism_wasserman.pdf
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0140700705001039
Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne d'un matériau subissant une transformation quelconque vaut :
![{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W+\delta Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e74e01748eb64342e6cabf2598490007d134152)
Nous considérons un matériau soumis à un champ magnétique externe. Le travail de la force magnétique dans un matériau soumis à un champ magnétique externe vaut[1] :
![{\displaystyle \delta W_{m}=-M\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00b757c902404979163c5f8ae30b0408d4fbf12)
Le travail inclut également le travail des forces de pression, dû à la dilatation thermique du matériau, soit sa variation de volume en fonction de la température :
![{\displaystyle \delta W_{P}=-P\,\mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a3621271f53ce5124ba85358f6969a745e8eb7)
Dans une transformation réversible, dans laquelle
, la variation de l'énergie interne
du matériau vaut en conséquence :
Bilan énergétique :
avec :
L'effet magnétocalorique est généralement étudié sur des solides, notamment dans le cadre de la réfrigération magnétique. La dilatation thermique d'un solide étant faible, le travail des forces de pression est négligeable devant celui de la force magnétique (en d'autres termes, en valeur absolue :
).
Par définition de l'enthalpie libre
, on a[2] :
![{\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} U+V\,\mathrm {d} P+V\,\mathrm {d} P-T\,\mathrm {d} S-S\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badbe864b7986127b2e11357bb98138cd9e50097)
d'où :
Cette différentielle étant totale, on a les relations :
Le théorème de Schwarz permet d'écrire :
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}G \over \partial P\partial B}\right)_{T}=\left({\partial ^{2}G \over \partial B\partial P}\right)_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9165ec431428091689b40aa232c887f4e1f0e0e)
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}G \over \partial P\partial T}\right)_{B}=\left({\partial ^{2}G \over \partial T\partial P}\right)_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4d546cb1f5f19483513c42cdb88f72b1006c48)
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}G \over \partial B\partial T}\right)_{P}=\left({\partial ^{2}G \over \partial T\partial B}\right)_{P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155abcca9abde7d9059c193045309ed1164ac335)
on a ainsi, respectivement :
La deuxième relation est l'une des relations de Maxwell classiques en thermodynamique. La première et la troisième relations sont d'autres relations de Maxwell propres au domaine de l'électromagnétisme. La dernière relation en particulier est appelée relation de Maxwell-Weiss, du nom du physicien français Pierre Weiss qui l'établit en travaillant sur l'effet magnétocalorique, c'est-à-dire le changement de température d'un matériau magnétique soumis à un champ magnétique externe :
Relation de Maxwell-Weiss :
En l'absence de travail des forces de pression, la variation d'entropie du matériau étudié vaut :
![{\displaystyle \delta Q=T\,\mathrm {d} S=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{B}\,\mathrm {d} T+T\left({\partial S \over \partial B}\right)_{T}\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41ed62b5c7b2e63629a379a300dcd8a1fb1b595)
On définit
la capacité thermique à induction magnétique constante du matériau étudié, par :
Capacité thermique à induction magnétique constante :
En considérant également la relation de Maxwell-Weiss, la variation entropique est réécrite selon :
Bilan entropique :
En appliquant le théorème de Schwarz, on obtient :
![{\displaystyle \left({\partial ^{2}S \over \partial B\partial T}\right)=\left({\partial ^{2}S \over \partial T\partial B}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c9687f094ad17a2b04ade504039696f585fca8)
soit :
![{\displaystyle \left({\partial \over \partial B}{C_{B} \over T}\right)_{T}=\left({\partial ^{2}M \over \partial T^{2}}\right)_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547ce9f3a48961941a7d3b5ed307e792d20850b0)
En supposant que la susceptibilité magnétique du matériau étudié suit la loi de Curie, alors il existe une constante
, appelée constante de Curie, telle que :
Loi de Curie :
on a :
![{\displaystyle {1 \over T}\left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}={2C \over T^{3}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe55a027c520420a080e21277af1a24f3e83d93)
![{\displaystyle \left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}={2C \over T^{2}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293e3eea72a173183d521d10eada5333ac76356d)
On intègre cette relation entre un état sans champ magnétique (
) et un état avec un champ magnétique
:
![{\displaystyle \int _{0}^{B}\left({\partial C_{B} \over \partial B}\right)_{T}\mathrm {d} B={C \over T^{2}}\int _{0}^{B}2B\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51d7310164703858203851886007918536d8948)
![{\displaystyle C_{B}\!\left(B,T\right)-C_{B}\!\left(0,T\right)={C \over T^{2}}B^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091d3680ec4a245582c69557ccce36d843a1c230)
On pose, en introduisant une constante
:
![{\displaystyle C_{B}\!\left(0,T\right)={C \over T^{2}}b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d4930501a9454ba751ac260f4d26d13b77db3b)
d'où :
Dans une transformation adiabatique, soit
:
Transformation adiabatique :
On introduit dans cette équation la loi de Curie et l'expression de la capacité thermique obtenue précédemment :
![{\displaystyle \mathrm {d} T=-{T^{3} \over C\left(B^{2}+b^{2}\right)}\left(-{C \over T^{2}}B\right)\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0d1abb95dda38fe17df1c7d2f342bd85a2e655)
![{\displaystyle {\mathrm {d} T \over T}={B \over B^{2}+b^{2}}\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5eadf14b5267864c1a1e1f1ea2e558db6e6ba24)
Si l'on fait varier le champs magnétique externe sur le corps étudié de
à
, la température de ce corps passe de
à
selon :
![{\displaystyle \int _{T_{i}}^{T_{f}}{\mathrm {d} T \over T}=\int _{B_{i}}^{B_{f}}{B \over B^{2}+b^{2}}\,\mathrm {d} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f976f52cb235ef1c0208b026d55fa1e5efc8827f)
![{\displaystyle \ln \!\left({T_{f} \over T_{i}}\right)={1 \over 2}\ln \!\left({{B_{f}}^{2}+b^{2} \over {B_{i}}^{2}+b^{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9234dece0503420e8dacaccc1a657f09e91efc9a)
soit :
Variation adiabatique de la température :
- Exemple[3]
- Pour du cuivre
. Avec les conditions initiales et finale :
,
,
,
- on obtient une température finale
.
Dans une transformation à champ magnétique constant (
), on a :
![{\displaystyle T\,\mathrm {d} S=C_{B}\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab8e94eba09771a1e9a2c7c655ff654a2dcf9b1)
![{\displaystyle \mathrm {d} S={C \over T^{3}}\left(B^{2}+b^{2}\right)\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75acd1899582f8fcaba9c0be9ec07673ff08f2e6)
Si la température du corps étudié varie de
à
, l'entropie de ce corps passe de
à
selon :
![{\displaystyle \int _{S_{i}}^{S_{f}}\mathrm {d} S=C\left(B^{2}+b^{2}\right)\int _{B_{i}}^{B_{f}}{\mathrm {d} T \over T^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2221ed5a7b8e4d0a9d115c7c399afe060a131d0)
![{\displaystyle S\!\left(T_{f},B\right)-S\!\left(T_{i},B\right)=-{C\left(B^{2}+b^{2}\right) \over 2}\left({1 \over {T_{f}}^{2}}-{1 \over {T_{i}}^{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acdece4d9c645d45a8d34c3f8c93ff1bd6247886)
- https://arxiv.org/pdf/physics/0303117&ved=2ahUKEwivh8CJqtKAAxU9aqQEHWuOBgIQFnoECCIQAQ&usg=AOvVaw0LMP0isC_mqhZWATFlxGVA
- https://yadda.icm.edu.pl/baztech/element/bwmeta1.element.baztech-5914b231-72ca-4e77-91db-89a20df9816c/c/VERESHCHAGIN_2C_i_in._hydroacoustics-vol5-pp53.pdf&ved=2ahUKEwivh8CJqtKAAxU9aqQEHWuOBgIQFnoECBAQAQ&usg=AOvVaw2uZDL2GjuvrboLznHJTQyL
- http://pta.eti.pg.gda.pl/journal/papers/hydroacoustics-vol5-pp53.pdf
- https://arxiv.org/pdf/physics/0303117.pdf
- https://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:ee16f7e5-4251-4629-9192-8f4a2e3d599b/datastream/OBJ/download&usg=AOvVaw0VIFIaxYArcYBrrCRalLZv
La vitesse du son dans un fluide a pour expression :
avec :
la compressibilité isentropique ;
la masse volumique, avec
la masse.
La relation de Reech donne :
![{\displaystyle {C_{p} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154b9283e4a7ae50c21d7adf77045627fb9de2c2)
avec :
On réécrit :
![{\displaystyle c^{2}={C_{p} \over C_{V}}{1 \over \chi _{T}\,\rho }=-{C_{p} \over C_{V}}{V^{2} \over m}\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558c90b19252bb9214e60449aa08c201d1894643)
La relation de Mayer donne :
![{\displaystyle C_{p}=C_{V}-T{\left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial p}\right)_{T,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9ca63671e7ec92dbe73fe6f9fc58ac5239cecf)
d'où :
![{\displaystyle c^{2}={TV^{2} \over C_{V}m}{\left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}-{V^{2} \over m}\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bbebb397abfe3d9e0b6ae710e5a1ccb3e291fc)
L'équation d'état de van der Waals s'écrit :
avec :
On a :
![{\displaystyle \left({\partial p \over \partial T}\right)_{V,n}={nR \over V-nb}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075589ad9e88e579174ee9e7f7d3e96bb93a5ca6)
![{\displaystyle \left({\partial p \over \partial V}\right)_{T,n}=-{nRT \over \left(V-nb\right)^{2}}+{2an^{2} \over V^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd321037489b70aa200158781abd339940a1ab98)
On réécrit :
![{\displaystyle c^{2}={nRT \over m}\left({nR \over C_{V}}+1\right)\left({V \over V-nb}\right)^{2}-{2an^{2} \over mV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d89f0c39d1e35c2bd4e4de20685875922f54512)
On pose :
la masse molaire ;
le volume molaire ;
la capacité thermique isochore molaire.
On obtient finalement :
Avec :
et
;
la capacité thermique isochore massique ;
la constante spécifique du fluide ;
la masse volumique ;
on a également :
- Deux phases
zéotrope
- Un gaz se transforme en liquide, les deux phases étant de compositions différentes et variables au cours de la transformation.
point de fusion non congruent ou point de fusion incongruent
- Un solide se transforme en liquide, les deux phases étant de compositions différentes et variables au cours de la transformation.
azéotrope
- Un gaz se transforme en liquide, les deux phases étant de même composition constante au cours de la transformation.
point de fusion congruent
- Un solide se transforme en liquide, les deux phases étant de même composition constante au cours de la transformation.
- trois phases
hétéroazéotrope
- Un gaz se transforme en deux liquides de compositions différentes de celle du gaz initial.
eutectique
- Un liquide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du liquide initial.
eutectoïde
- Un solide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du solide initial.
péritectique
- Un solide se transforme en un liquide et un solide de compositions différentes de celle du solide initial.
péritectoïde
- Un solide se transforme en deux solides de compositions différentes de celle du solide initial.
On note :
la masse du corps
dans le mélange ;
la masse totale dans le mélange ;
la masse molaire du corps
;
la quantité du corps
dans le mélange ;
la quantité de matière totale dans le mélange ;
le nombre total de composants dans le mélange ;
la fraction massique du corps
dans le mélange ;
la fraction molaire du corps
dans le mélange.
On a par définition :
, pour chacun des composants
du mélange ;
;
;
, pour chacun des composants
du mélange ;
, pour chacun des composants
du mélange.
- Conversion des fractions molaires en fractions massiques
On a :
![{\displaystyle {m_{i} \over n}={M_{i}\cdot n_{i} \over n}=M_{i}\cdot x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd2be3c65fa1a26cb55a5a5fbe2229eaaaf59e2)
![{\displaystyle {m \over n}=\sum _{k=1}^{N}{m_{k} \over n}=\sum _{k=1}^{N}M_{k}\cdot x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a10b575bdc8077ff809e363e634c60f33f47022)
![{\displaystyle w_{i}={m_{i} \over m}={{\dfrac {m_{i}}{n}} \over {\dfrac {m}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af404e9411d251a64b742774009fa328dfc4117)
et finalement :
- Conversion des fractions massiques en fractions molaires
On a :
![{\displaystyle {n_{i} \over m}={{\dfrac {m_{i}}{M_{i}}} \over m}={{\dfrac {m_{i}}{m}} \over M_{i}}={w_{i} \over M_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f40835335b5845de25639b9f550548d6130e7e)
![{\displaystyle {n \over m}=\sum _{k=1}^{N}{n_{k} \over m}=\sum _{k=1}^{N}{w_{k} \over M_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3919497d46c9d9c3e9fed904ea6d39794309972)
![{\displaystyle x_{i}={n_{i} \over n}={{\dfrac {n_{i}}{m}} \over {\dfrac {n}{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e266bbae403ec405d193b97079a64a47ad4aaa2e)
et finalement :
- ↑ On trouve également dans la littérature
.
- ↑ Si le travail est de la forme
, l'enthalpie libre est écrite
, ce qui permet de trouver la même expression de sa différentielle.
- ↑ https://books.google.fr/books?id=1oavcLF7-boC&pg=PA9#v=onepage&q&f=false