Utilisateur:Frank Frokien/Brouillon

Le premier nombre disgracieux

La théorie des nombres élégants est un domaine de recherche majeur de la théorie des nombres moderne. Elle a pour but d'étudier l'élégance d'un nombre entier naturel par l'examen de l'intérêt de ses propriétés. De nombreux chercheurs ont longuement étudié les différents nombres dans leur ordre croissant afin de déterminer le plus petit nombre ne répondant pas aux propriétés d'élégance d'un nombre. Au stade actuel de la recherche, 46 est considéré comme le premier nombre disgracieux, ce qui signifie non-élégant.

Histoire

L'intérêt pour la théorie des nombres élégants commence en 2015. Une équipe de chercheurs de l'EPFL s'était alors réunie pour un congrès sur le futur de la théorie des nombres. Ils venaient de terminer un projet visant à simplifier la résolution de certaines équations diophantiennes. Ils se sont donc penché sur un nouveau problème historique, déjà soulevé par Bolzano en 1823, mais qui n'a jamais trouvé de solution satisfaisante.

Les premiers travaux durèrent un peu plus d'un mois et conclurent au caractère disgracieux de 33. Cependant, début juin 2016, une source extérieure a démontré l'élégance de 33 en utilisant des sommes factorielles auxquelles les premiers mathématiciens n'avaient pas pensé. Le dossier a donc été rouvert et les recherches ont continué. Ce n'est que le premier juillet 2016 que les mathématiciens ont rendu leur verdict. Il s'agit des dernières recherches en date qui aboutissent à la disgrâce de 46.

Justifications existantes

La liste de toutes les justifications existantes va être développée ici :

Le nombre 0

0 est l'élément neutre additif.

0 est le premier nombre entier naturel, dans l'ordre usuel.

Le nombre 1

1 est l'élément neutre multiplicatif.

1 est le premier nombre entier naturel impair.

Le nombre 2

2 est le premier nombre premier.

2 est le seul nombre premier pair.

Le nombre 3

3 est le premier nombre premier impair.

3 est la somme des trois premiers entiers naturels $(0+1+2=3)$.

Le nombre 4

4 est un carré parfait $(2^{2}=4)$.

Le nombre 5

5 est un nombre premier.

Le nombre 6

6 est un nombre parfait.

6 est la somme des quatre premiers nombres entiers $(0+1+2+3=6)$.

6 est la somme des trois premiers nombres pairs $(0+2+4=6)$.

6 est le produit des deux premiers nombres premiers $(2\times 3=6)$.

6 est la factorielle de 3 $(3!=3\times 2\times 1=6)$.

Le nombre 7

7 est un nombre premier.

Le nombre 8

8 est un cube parfait $(2^{3}=8)$.

8 est le produit des 3 premières puissances de 2 $(2^{0}\times 2^{1}\times 2^{2}=8)$.

Le nombre 9

9 est un carré parfait $(3^{2}=9)$.

9 est la somme des factorielles des trois premiers entiers non nuls.

Le nombre 10

10 est la somme des cinq premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4=10)$.

10 est la somme des trois premiers nombres premiers $(2+3+5=10)$.

10 est la somme des deux premières puissances impaires de 2 $(2^{1}+2^{3}=10)$.

10 est la somme des deux premières puissances paires de 3 $(3^{0}+3^{2}=10)$.

Le nombre 11

11 est un nombre premier.

Le nombre 12

12 est la somme des deux premières puissances non nulles de 3 $(3^{1}+3^{2}=12)$.

12 est la somme des deux premières puissances premières de 2 $(2^{2}+2^{3}=12)$.

12 est la somme des quatre premiers nombres pairs $(0+2+4+6=12)$.

Le nombre 13

13 est un nombre premier.

13 est la somme des trois premières puissances de 3 $(3^{0}+3^{1}+3^{2}=13)$.

13 est la somme des deux premiers carrés de nombres premiers $(2^{2}+3^{2}=13)$.

Le nombre 14

14 est la somme des quatre premiers carrés parfaits $(0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2})$.

14 est la somme des trois premières puissances non nulles de 2 $(2^{1}+2^{2}+2^{3}=14)$.

14 est la différence des factorielles des quatre premiers nombres $(4!-3!-2!-1!-0!=24-6-2-1-1=14)$.

Le nombre 15

15 est la somme des six premiers entiers $(0+1+2+3+4+5=15)$.

15 est la somme des trois premiers nombres premiers impairs $(3+5+7=15)$.

15 est la somme des quatre premières puissances de 2 $(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}=15)$.

15 est la différence des factorielles des quatre premiers nombres non nuls $(4!-3!-2!-1!=24-6-2-1=15)$.

Le nombre 16

16 est un carré parfait $(4^{2}=16)$

16 est la puissance quatrième de 2 $(2^{4}=16)$.

16 est la somme des quatre premiers nombres impairs $(1+3+5+7=16)$.

Le nombre 17

17 est un nombre premier.

17 est la somme des quatre premiers nombres premiers $(2+3+5+7=17)$.

Le nombre 18

18 est la différence des quatre premiers cubes parfaits $(3^{3}-2^{3}-1^{3}-0^{3}=18)$.

18 est la somme des deux premières puissances carrées non nulles de 2 $(2^{1^{2}}+2^{2^{2}}=18)$.

Le nombre 19

19 est un nombre premier.

19 est la somme des trois premières puissances carrées de 2 $(2^{0^{2}}+2^{1^{2}}+2^{2^{2}}=19)$.

Le nombre 20

20 est la somme des trois premiers carrés parfaits pairs $(0^{2}+2^{2}+4^{2}=20)$.

Le nombre 21

21 est la somme des sept premiers nombres entiers naturels $(0+1+2+3+4+5+6=21)$.

Le nombre 22

22 est le seul nombre entier invariant par la suite de Conway.

22 est la somme des trois premières puissances itérées de Knuth de 2 $(2+2^{2}+2^{2^{2}}=22)$.

22 est la somme des puissances croisées des quatre premiers entiers non nuls $(1^{4}+2^{3}+3^{2}+4^{1}=22)$.

Le nombre 23

23 est un nombre premier.

23 est la somme des produits des quatre premiers entiers par leur factorielle $(0\times 0!+1\times 1!+2\times 2!+3\times 3!=23)$.

23 est la somme des puissances croisées des cinq premiers entiers $(0^{5}+1^{4}+2^{3}+3^{2}+4^{1}+5^{0}=23)$.

Le nombre 24

24 est la factorielle de 4 $(4!=24)$.

Le nombre 25

25 est un carré parfait $(5^{2}=25)$.

25 est la somme des cinq premiers nombres impairs $(1+3+5+7+9=25)$.

25 est la somme des factorielles des deux premiers carrés parfaits non nuls $(1!+4!=25)$.

Le nombre 26

26 est la somme des deux premières puissances paires de 5 $(5^{0}+5^{2}=26)$.

26 est la somme des factorielles des deux premiers nombres pairs non nuls $(2!+4!=26)$.

26 est la somme des quatre premiers nombres premiers impairs $(3+5+7+11=26)$.

Le nombre 27

27 est un cube parfait $(3^{3}=27)$.

27 est la somme des factorielles des trois premiers nombres pairs $(0!+2!+4!=27)$.

Le nombre 28

28 est un nombre parfait.

28 est la somme des cinq premiers nombres premiers $(2+3+5+7+11=28)$.

28 est la somme des huit premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7=28)$.

Le nombre 29

29 est un nombre premier.

Le nombre 30

30 est la somme des cinq premiers carrés parfaits $(0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30)$.

30 est la somme des six premiers nombres pairs $(0+2+4+6+8+10=30)$.

30 est la somme des deux premières puissances non nulles de 5 $(5^{1}+5^{2}=30)$.

30 est la somme des quatre premières puissances non nulles de 2 $(2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=30)$.

Le nombre 31

31 est un nombre premier.

31 est la somme des trois premières puissances de 5 $(5^{0}+5^{1}+5^{2}=31)$.

31 est la somme des cinq premières puissances de 2 $(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=31)$.

Le nombre 32

32 est la puissance cinquième de 2 $(2^{5}=32)$.

32 est la somme des trois premiers entiers non nuls élevés à leur propre puissance $(1^{1}+2^{2}+3^{3}=32)$.

Le nombre 33

33 est la somme des quatre premières factorielles non nulles $(1!+2!+3!+4!=33)$.

Le nombre 34

34 est la somme des cinq premières factorielles $(0!+1!+2!+3!+4!=34)$.

34 est la somme des deux premiers nombres parfaits $(6+28=34)$.

Le nombre 35

35 est la somme des cubes des deux premiers nombres premiers $(2^{3}+3^{3}=35)$.

Le nombre 36

36 est un carré parfait $(6^{2}=36)$.

36 est la somme des neuf premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7+8=36)$.

36 est la somme des six premiers nombres impairs $(1+3+5+7+9+11=36)$.

36 est la somme des cubes des quatre premiers entiers $(0^{3}+1^{3}+2^{3}+3^{3}=36)$.

Le nombre 37

37 est un nombre premier.

Le nombre 38

38 est la somme des carrés des trois premiers nombres premiers $(2^{2}+3^{2}+5^{2}=38)$.

Le nombre 39

39 est la somme des cinq premiers nombres premiers impairs $(3+5+7+11+13=39)$.

39 est la somme des trois premières puissances non nulles de 3 $(3^{1}+3^{2}+3^{3}=39)$.

Le nombre 40

40 est la somme des quatre premières puissances de 3 $(3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}=40)$.

Le nombre 41

41 est un nombre premier.

41 est la somme des 6 premiers nombres premiers $(2+3+5+7+11+13=41)$.

Le nombre 42

42 est la somme des trois premières puissances impaires de 2 $(2^{1}+2^{3}+2^{5}=42)$.

42 est la somme des deux premières puissances non nulles de 6 $(6^{1}+6^{2}=42)$.

Le nombre 43

43 est un nombre premier.

43 est la somme des trois premières puissances de 6 $(6^{0}+6^{1}+6^{2}=43)$.

Le nombre 44

44 est la somme des trois premières puissances premières de 2 $(2^{2}+2^{3}+2^{5}=44)$.

Le nombre 45

45 est la somme des dix premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)$.

Le nombre 46

Malgré une semaine de travaux, les mathématiciens présents n'ont pu trouver aucune justification satisfaisante de l'élégance du nombre 46. Il a donc été conclu que 46 est le premier nombre disgracieux, jusqu'à preuve de son élégance. Certains arguments insatisfaisants ont toutefois été trouvés, mais aucun n'a été validé par la majorité du congrès.

Arguments invalidés

1) $3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3!=46$

2) $\sum _{i=1}^{3}(4-i)(2i-1)^{2}=$

$1^{2}+$

$1^{2}+3^{2}+$

$1^{2}+3^{2}+5^{2}=46$

3) $\sum _{i=1}^{4}{\biggl (}i*\prod D(i){\biggr )}=1*1+2*2+3*3+4*4*2=46$

4) Somme du produit des trois premiers nombres premiers avec le terme correspondant dans la suite des nombres pairs non nuls. $2*2+3*4+5*6=46$

5) $\sum _{i=1}^{2}2i^{2}(2i+1)=2*3+8*5=46$

6) 46 est triangulaire centré. $1+3+6+9+12+15=46$

Controverses

Malgré l'intérêt certain que génère la Théorie des Nombres élégants, il y existe plusieurs controverses.

Controverse des groupes cycliques

Quelques mathématiciens, bien que sérieux, considèrent qu'un nombre semi-premier est élégant. En effet, étant donné que chacun de ces nombres engendre un groupe cyclique, ils sont reconnus par certains. Cependant, cet argument, trop proche de l'algèbre, est assurément trop éloigné de la Théorie des nombres, en particulier du sujet ci-traité.

Controverse des partisans du 46

Certains membres du groupe d'étude et quelques intervenants extérieurs estiment qu'un ou plusieurs des arguments ci-rejetés pour 46 devraient être considérés comme valables. Pour cette raison, l'un des membres du groupe s'est distancié du travail d'étude et se concentre à nouveau sur les équations diophantiennes. Une large partie de la communauté mathématique rejette cette idée et cherche encore un argument accepté de tous.

Controverse dite du numérologue

Une forte coalition de physiciens fustige la théorie, estimant qu'elle fait plus partie du domaine de la numérologie plutôt que de la Théorie des Nombres. Toutefois, une étude plus poussée montre une solide contradiction entre ces deux théories, en particulier au niveau du nombre 46. En effet, la Théorie des Nombres élégants place le nombre 46 en une disgrâce non voilée alors que la numérologie occidentale lui attribue des significations bien plus avenantes.

Paradoxe de la disgrâce

Un mathématicien et philosophe proche du groupe s'est dès l'aube du projet élevé contre ses fondements. Pour lui, il existe au premier nombre disgracieux (en l'occurrence 46) une propriété le rendant élégant : sa qualité de plus petit nombre disgracieux. Cette vision des choses mène à un paradoxe, l'élégance naissant de la disgrâce alors que la disgrâce est précisément l'inélégance. Ainsi, d'après ce penseur, la Théorie des Nombres élégants est viciée dans ses fondements et n'a pas lieu d'être. Le projet a donc été mené en faisant fi de cet argument, afin de contourner le paradoxe. Le fait d'être le premier nombre disgracieux n'est donc pas considéré comme un critère d'élégance