Utilisateur:Frank Frokien/Brouillon

La théorie des nombres élégants est un domaine de recherche majeur de la théorie des nombres moderne. Elle a pour but d'étudier l'élégance d'un nombre entier naturel^[1] par l'examen de l'intérêt de ses propriétés. De nombreux chercheurs ont longuement étudié les différents nombres dans leur ordre croissant afin de déterminer le plus petit nombre ne répondant pas aux propriétés d'élégance d'un nombre. Au stade actuel de la recherche, 46 est considéré comme le premier nombre disgracieux, ce qui signifie non-élégant.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'intérêt pour la théorie des nombres élégants commence en 2015. Une équipe de chercheurs de l'EPFL s'était alors réunie pour un congrès sur le futur de la théorie des nombres. Ils venaient de terminer un projet visant à simplifier la résolution de certaines équations diophantiennes. Ils se sont donc penché sur un nouveau problème historique, déjà soulevé par Bolzano en 1823, mais qui n'a jamais trouvé de solution satisfaisante.

Les premiers travaux durèrent un peu plus d'un mois et conclurent au caractère disgracieux de 33. Cependant, début juin 2016, une source extérieure a démontré l'élégance de 33 en utilisant des sommes factorielles auxquelles les premiers mathématiciens n'avaient pas pensé. Le dossier a donc été rouvert et les recherches ont continué. Ce n'est que le premier juillet 2016 que les mathématiciens ont rendu leur verdict. Il s'agit des dernières recherches en date qui aboutissent à la disgrâce de 46.

Justifications existantes[modifier | modifier le code]

La liste de toutes les justifications existantes va être développée ici :

Le nombre 0[modifier | modifier le code]

0 est l'élément neutre additif.

0 est le premier nombre entier naturel, dans l'ordre usuel.

Le nombre 1[modifier | modifier le code]

1 est l'élément neutre multiplicatif.

1 est le premier nombre entier naturel impair.

Le nombre 2[modifier | modifier le code]

2 est le premier nombre premier^[2].

2 est le seul nombre premier pair.

Le nombre 3[modifier | modifier le code]

3 est le premier nombre premier impair^[2].

3 est la somme des trois premiers entiers naturels $(0+1+2=3)$ .

Le nombre 4[modifier | modifier le code]

4 est un carré parfait $(2^{2}=4)$ .

Le nombre 5[modifier | modifier le code]

5 est un nombre premier^[2].

Le nombre 6[modifier | modifier le code]

6 est un nombre parfait.

6 est la somme des quatre premiers nombres entiers $(0+1+2+3=6)$ .

6 est la somme des trois premiers nombres pairs $(0+2+4=6)$ .

6 est le produit des deux premiers nombres premiers $(2\times 3=6)$ .

6 est la factorielle de 3 $(3!=3\times 2\times 1=6)$ .

Le nombre 7[modifier | modifier le code]

7 est un nombre premier^[2].

Le nombre 8[modifier | modifier le code]

8 est un cube parfait $(2^{3}=8)$ .

8 est le produit des 3 premières puissances de 2 $(2^{0}\times 2^{1}\times 2^{2}=8)$ .

Le nombre 9[modifier | modifier le code]

9 est un carré parfait $(3^{2}=9)$ .

9 est la somme des factorielles des trois premiers entiers non nuls.

Le nombre 10[modifier | modifier le code]

10 est la somme des cinq premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4=10)$ .

10 est la somme des trois premiers nombres premiers $(2+3+5=10)$ .

10 est la somme des deux premières puissances impaires de 2 $(2^{1}+2^{3}=10)$ .

10 est la somme des deux premières puissances paires de 3 $(3^{0}+3^{2}=10)$ .

Le nombre 11[modifier | modifier le code]

11 est un nombre premier^[2].

Le nombre 12[modifier | modifier le code]

12 est la somme des deux premières puissances non nulles de 3 $(3^{1}+3^{2}=12)$ .

12 est la somme des deux premières puissances premières de 2 $(2^{2}+2^{3}=12)$ .

12 est la somme des quatre premiers nombres pairs $(0+2+4+6=12)$ .

Le nombre 13[modifier | modifier le code]

13 est un nombre premier^[2].

13 est la somme des trois premières puissances de 3 $(3^{0}+3^{1}+3^{2}=13)$ .

13 est la somme des deux premiers carrés de nombres premiers $(2^{2}+3^{2}=13)$ .

Le nombre 14[modifier | modifier le code]

14 est la somme des quatre premiers carrés parfaits $(0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2})$ .

14 est la somme des trois premières puissances non nulles de 2 $(2^{1}+2^{2}+2^{3}=14)$ .

14 est la différence des factorielles des quatre premiers nombres $(4!-3!-2!-1!-0!=24-6-2-1-1=14)$ .

Le nombre 15[modifier | modifier le code]

15 est la somme des six premiers entiers $(0+1+2+3+4+5=15)$ .

15 est la somme des trois premiers nombres premiers impairs $(3+5+7=15)$ .

15 est la somme des quatre premières puissances de 2 $(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}=15)$ .

15 est la différence des factorielles des quatre premiers nombres non nuls $(4!-3!-2!-1!=24-6-2-1=15)$ .

Le nombre 16[modifier | modifier le code]

16 est un carré parfait $(4^{2}=16)$

16 est la puissance quatrième de 2 $(2^{4}=16)$ .

16 est la somme des quatre premiers nombres impairs $(1+3+5+7=16)$ .

Le nombre 17[modifier | modifier le code]

17 est un nombre premier^[2].

17 est la somme des quatre premiers nombres premiers $(2+3+5+7=17)$ .

Le nombre 18[modifier | modifier le code]

18 est la différence des quatre premiers cubes parfaits $(3^{3}-2^{3}-1^{3}-0^{3}=18)$ .

18 est la somme des deux premières puissances carrées non nulles de 2 $(2^{1^{2}}+2^{2^{2}}=18)$ .

Le nombre 19[modifier | modifier le code]

19 est un nombre premier^[2].

19 est la somme des trois premières puissances carrées de 2 $(2^{0^{2}}+2^{1^{2}}+2^{2^{2}}=19)$ .

Le nombre 20[modifier | modifier le code]

20 est la somme des trois premiers carrés parfaits pairs $(0^{2}+2^{2}+4^{2}=20)$ .

Le nombre 21[modifier | modifier le code]

21 est la somme des sept premiers nombres entiers naturels $(0+1+2+3+4+5+6=21)$ .

Le nombre 22[modifier | modifier le code]

22 est le seul nombre entier invariant par la suite de Conway.^[3]

22 est la somme des trois premières puissances itérées de Knuth de 2 $(2+2^{2}+2^{2^{2}}=22)$ .

22 est la somme des puissances croisées des quatre premiers entiers non nuls $(1^{4}+2^{3}+3^{2}+4^{1}=22)$ .

Le nombre 23[modifier | modifier le code]

23 est un nombre premier^[2].

23 est la somme des produits des quatre premiers entiers par leur factorielle $(0\times 0!+1\times 1!+2\times 2!+3\times 3!=23)$ .

23 est la somme des puissances croisées des cinq premiers entiers $(0^{5}+1^{4}+2^{3}+3^{2}+4^{1}+5^{0}=23)$ .

Le nombre 24[modifier | modifier le code]

24 est la factorielle de 4 $(4!=24)$ .

Le nombre 25[modifier | modifier le code]

25 est un carré parfait $(5^{2}=25)$ .

25 est la somme des cinq premiers nombres impairs $(1+3+5+7+9=25)$ .

25 est la somme des factorielles des deux premiers carrés parfaits non nuls $(1!+4!=25)$ .

Le nombre 26[modifier | modifier le code]

26 est la somme des deux premières puissances paires de 5 $(5^{0}+5^{2}=26)$ .

26 est la somme des factorielles des deux premiers nombres pairs non nuls $(2!+4!=26)$ .

26 est la somme des quatre premiers nombres premiers impairs $(3+5+7+11=26)$ .

Le nombre 27[modifier | modifier le code]

27 est un cube parfait $(3^{3}=27)$ .

27 est la somme des factorielles des trois premiers nombres pairs $(0!+2!+4!=27)$ .

Le nombre 28[modifier | modifier le code]

28 est un nombre parfait.

28 est la somme des cinq premiers nombres premiers $(2+3+5+7+11=28)$ .

28 est la somme des huit premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7=28)$ .

Le nombre 29[modifier | modifier le code]

29 est un nombre premier^[2].

Le nombre 30[modifier | modifier le code]

30 est la somme des cinq premiers carrés parfaits $(0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30)$ .

30 est la somme des six premiers nombres pairs $(0+2+4+6+8+10=30)$ .

30 est la somme des deux premières puissances non nulles de 5 $(5^{1}+5^{2}=30)$ .

30 est la somme des quatre premières puissances non nulles de 2 $(2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=30)$ .

Le nombre 31[modifier | modifier le code]

31 est un nombre premier^[2].

31 est la somme des trois premières puissances de 5 $(5^{0}+5^{1}+5^{2}=31)$ .

31 est la somme des cinq premières puissances de 2 $(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=31)$ .

Le nombre 32[modifier | modifier le code]

32 est la puissance cinquième de 2 $(2^{5}=32)$ .

32 est la somme des trois premiers entiers non nuls élevés à leur propre puissance $(1^{1}+2^{2}+3^{3}=32)$ .

Le nombre 33[modifier | modifier le code]

33 est la somme des quatre premières factorielles non nulles $(1!+2!+3!+4!=33)$ .

Le nombre 34[modifier | modifier le code]

34 est la somme des cinq premières factorielles $(0!+1!+2!+3!+4!=34)$ .

34 est la somme des deux premiers nombres parfaits $(6+28=34)$ .

Le nombre 35[modifier | modifier le code]

35 est la somme des cubes des deux premiers nombres premiers $(2^{3}+3^{3}=35)$ .

Le nombre 36[modifier | modifier le code]

36 est un carré parfait $(6^{2}=36)$ .

36 est la somme des neuf premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7+8=36)$ .

36 est la somme des six premiers nombres impairs $(1+3+5+7+9+11=36)$ .

36 est la somme des cubes des quatre premiers entiers $(0^{3}+1^{3}+2^{3}+3^{3}=36)$ .

Le nombre 37[modifier | modifier le code]

37 est un nombre premier^[2].

Le nombre 38[modifier | modifier le code]

38 est la somme des carrés des trois premiers nombres premiers $(2^{2}+3^{2}+5^{2}=38)$ .

Le nombre 39[modifier | modifier le code]

39 est la somme des cinq premiers nombres premiers impairs $(3+5+7+11+13=39)$ .

39 est la somme des trois premières puissances non nulles de 3 $(3^{1}+3^{2}+3^{3}=39)$ .

Le nombre 40[modifier | modifier le code]

40 est la somme des quatre premières puissances de 3 $(3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}=40)$ .

Le nombre 41[modifier | modifier le code]

41 est un nombre premier^[2].

41 est la somme des 6 premiers nombres premiers $(2+3+5+7+11+13=41)$ .

Le nombre 42[modifier | modifier le code]

42 est la somme des trois premières puissances impaires de 2 $(2^{1}+2^{3}+2^{5}=42)$ .

42 est la somme des deux premières puissances non nulles de 6 $(6^{1}+6^{2}=42)$ .

Le nombre 43[modifier | modifier le code]

43 est un nombre premier^[2].

43 est la somme des trois premières puissances de 6 $(6^{0}+6^{1}+6^{2}=43)$ .

Le nombre 44[modifier | modifier le code]

44 est la somme des trois premières puissances premières de 2 $(2^{2}+2^{3}+2^{5}=44)$ .

Le nombre 45[modifier | modifier le code]

45 est la somme des dix premiers nombres entiers $(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)$ .

Le nombre 46[modifier | modifier le code]

Malgré une semaine de travaux, les mathématiciens présents n'ont pu trouver aucune justification satisfaisante de l'élégance du nombre 46. Il a donc été conclu que 46 est le premier nombre disgracieux, jusqu'à preuve de son élégance. Certains arguments insatisfaisants ont toutefois été trouvés, mais aucun n'a été validé par la majorité du congrès.

Arguments invalidés[modifier | modifier le code]

1) $3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3!=46$

2) $\sum _{i=1}^{3}(4-i)(2i-1)^{2}=$

$1^{2}+$

$1^{2}+3^{2}+$

$1^{2}+3^{2}+5^{2}=46$

3) $\sum _{i=1}^{4}{\biggl (}i*\prod D(i){\biggr )}=1*1+2*2+3*3+4*4*2=46$

4) Somme du produit des trois premiers nombres premiers avec le terme correspondant dans la suite des nombres pairs non nuls. $2*2+3*4+5*6=46$

5) $\sum _{i=1}^{2}2i^{2}(2i+1)=2*3+8*5=46$

6) 46 est triangulaire centré^[4]. $1+3+6+9+12+15=46$

Controverses[modifier | modifier le code]

Malgré l'intérêt certain que génère la Théorie des Nombres élégants, il y existe plusieurs controverses.

Controverse des groupes cycliques[modifier | modifier le code]

Quelques mathématiciens, bien que sérieux, considèrent qu'un nombre semi-premier est élégant. En effet, étant donné que chacun de ces nombres engendre un groupe cyclique, ils sont reconnus par certains. Cependant, cet argument, trop proche de l'algèbre, est assurément trop éloigné de la Théorie des nombres, en particulier du sujet ci-traité.

Controverse des partisans du 46[modifier | modifier le code]

Certains membres du groupe d'étude et quelques intervenants extérieurs estiment qu'un ou plusieurs des arguments ci-rejetés pour 46 devraient être considérés comme valables. Pour cette raison, l'un des membres du groupe s'est distancié du travail d'étude et se concentre à nouveau sur les équations diophantiennes. Une large partie de la communauté mathématique rejette cette idée et cherche encore un argument accepté de tous.

Controverse dite du numérologue[modifier | modifier le code]

Une forte coalition de physiciens fustige la théorie, estimant qu'elle fait plus partie du domaine de la numérologie plutôt que de la Théorie des Nombres. Toutefois, une étude plus poussée montre une solide contradiction entre ces deux théories, en particulier au niveau du nombre 46. En effet, la Théorie des Nombres élégants place le nombre 46 en une disgrâce non voilée alors que la numérologie occidentale lui attribue des significations bien plus avenantes.^[5]

Paradoxe de la disgrâce[modifier | modifier le code]

Un mathématicien et philosophe^[6] proche du groupe s'est dès l'aube du projet élevé contre ses fondements. Pour lui, il existe au premier nombre disgracieux (en l'occurrence 46) une propriété le rendant élégant : sa qualité de plus petit nombre disgracieux. Cette vision des choses mène à un paradoxe, l'élégance naissant de la disgrâce alors que la disgrâce est précisément l'inélégance. Ainsi, d'après ce penseur, la Théorie des Nombres élégants est viciée dans ses fondements et n'a pas lieu d'être. Le projet a donc été mené en faisant fi de cet argument, afin de contourner le paradoxe. Le fait d'être le premier nombre disgracieux n'est donc pas considéré comme un critère d'élégance

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↑ Paul HoffmanPaul Hoffman (écrivain scientifique), Erdős, l'homme qui n'aimait que les nombres, Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1), traduit de : (en) The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion, 1992
↑ ^{a b c d e f g h i j k l m et n} « NOE Education », sur noe-education.org (consulté le 7 juillet 2016)
↑ (en) John H. Conway, « The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay », Eureka, Université de Cambridge, n^o 46,‎ 1986, p. 5-18 (ISSN 0071-2248).
↑ « Nombre triangulaire centré », sur republic.pink (consulté le 7 juillet 2016)
↑ « Signification du nombre 46 | », sur www.01numerologie.com (consulté le 7 juillet 2016)
↑ (en) John Francis, Philosophy Of Mathematics, Global Vision Publishing Ho, 2008 (ISBN 978-8-18220267-2)

[1] Paul HoffmanPaul Hoffman (écrivain scientifique), Erdős, l'homme qui n'aimait que les nombres, Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1), traduit de : (en) The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion, 1992

[:0-2] {a b c d e f g h i j k l m et n} « NOE Education », sur noe-education.org (consulté le 7 juillet 2016)

[3] (en) John H. Conway, « The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay », Eureka, Université de Cambridge, n^o 46,‎ 1986, p. 5-18 (ISSN 0071-2248).

[4] « Nombre triangulaire centré », sur republic.pink (consulté le 7 juillet 2016)

[5] « Signification du nombre 46 | », sur www.01numerologie.com (consulté le 7 juillet 2016)

[6] (en) John Francis, Philosophy Of Mathematics, Global Vision Publishing Ho, 2008 (ISBN 978-8-18220267-2)

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