Suite de Conway

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La suite de Conway est une suite mathématique inventée en 1986 par le mathématicien John Horton Conway, initialement sous le nom de « suite audioactive »[1]. Elle est également connue sous le nom anglais de Look and Say (« regarde et dis »). Dans cette suite, un terme se détermine en annonçant les chiffres formant le terme précédent.

Définition[modifier | modifier le code]

Suite de Conway.
Graphe représentant, en ordonnées, le nombre de chiffres du n-ième terme de la suite de Conway, avec n en abscisses, dans un repère semi-logarithmique. Chaque courbe correspond à un terme initial différent : 1 (bleu), 23 (rouge), 13 (violet), 312 (vert). Les courbes tendent vers des droites dont la pente est le logarithme de la constante de Conway.

Le premier terme de la suite de Conway est posé comme égal à 1. Chaque terme de la suite se construit en annonçant le terme précédent, c'est-à-dire en indiquant combien de fois chacun de ses chiffres se répète.

Concrètement :

Ce terme comporte simplement un « 1 ». Par conséquent, le terme suivant est :

Celui-ci est composé de deux « 1 » :

En poursuivant le procédé :

Et ainsi de suite.

Il est possible de généraliser le procédé en prenant un terme initial différent de 1. Dans le reste de l'article, on supposera que le terme initial vaut 1.

Les 20 premiers termes[modifier | modifier le code]

Terme
1 1
2 11
3 21
4 1 211
5 111 221
6 312 211
7 13 112 221
8 1 113 213 211
9 31 131 211 131 221
10 13 211 311 123 113 112 211
11 11 131 221 133 112 132 113 212 221
12 3 113 112 221 232 112 111 312 211 312 113 211
13 1 321 132 132 111 213 122 112 311 311 222 113 111 221 131 221
14 11 131 221 131 211 131 231 121 113 112 221 121 321 132 132 211 331 222 113 112 211
15 311 311 222 113 111 231 131 112 132 112 311 321 322 112 111 312 211 312 111 322 212 311 322 113 212 221
16 1 321 132 132 211 331 121 321 133 112 111 312 211 213 211 312 111 322 211 231 131 122 211 311 123 113 321 112 132 113 222 113 12 113 211
17 11 131 221 131 211 132 221 232 112 111 312 212 321 123 113 112 221 121 113 122 113 111 231 133 221 121 321 132 132 211 331 121 321 231 231 121 113 122 113 322 113 111 221 131 221
18 31 131 122 211 311 123 113 321 112 131 221 123 113 112 211 121 312 211 213 211 321 322 112 311 311 222 113 311 213 212 322 211 211 131 221 131 211 132 221 232 112 111 312 111 213 111 213 211 231 131 122 212 322 211 331 222 113 112 211
19 1 321 132 132 211 331 121 321 231 231 121 113 112 221 121 321 132 122 311 211 131 122 211 211 131 221 131 211 132 221 121 321 132 132 212 321 121 113 121 112 133 221 123 113 112 221 131 112 311 332 111 213 122 112 311 311 123 112 111 331 121 113 122 112 132 113 213 211 121 332 212 311 322 113 212 221
20 11 131 221 131 211 132 221 232 112 111 312 111 213 111 213 211 231 132 132 211 211 131 221 131 211 221 321 123 113 213 221 123 113 112 221 131 112 311 332 211 211 131 221 131 211 132 211 121 312 211 231 131 112 311 211 232 221 121 321 132 132 211 331 121 321 231 231 121 113 112 221 121 321 133 112 132 112 312 321 123 113 112 221 121 113 122 113 121 113 123 112 112 322 111 213 211 322 211 312 113 211

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les principales propriétés de cette suite sont :

  • Aucun terme de la suite ne comporte un chiffre supérieur à 3.
  • Tous les termes de la suite possèdent un nombre pair de chiffres, sauf le terme initial.
  • Les termes de rang impair se terminent par 21 et les termes de rang pair par 11 (là encore à l'exception du terme initial).
  • En moyenne, les termes de la suite possèdent 50 % de chiffres 1, 31 % de 2 et 19 % de 3.
  • Le nombre de chiffres du n-ième terme de la suite est équivalent à Cλn, où λ ≈ 1,303 577[2] est un entier algébrique de degré 71 nommé constante de Conway[3], et C est une autre constante. En particulier :
Cette propriété reste vraie dans le cas général[4] où le premier terme de la suite est choisi différent de 1 (et de 22, puisque dans ce cas la suite est constante), avec une constante C qui dépend de ce choix, mais avec toujours la même constante λ.
Racines du polynôme de Conway dans le plan complexe.

La constante de Conway est l'unique solution réelle positive de l'équation polynomiale suivante[5] :

« Désintégration audioactive »[modifier | modifier le code]

John Conway qualifia initialement cette suite de « désintégration audioactive » (audioactive decay en anglais), un jeu de mots sur la désintégration radioactive, en remarquant le comportement des différents termes de la suite.

Il montra qu'à partir d'un certain point, presque tous les termes de la suite peuvent être décomposés en 92 sous-termes (nommés éléments, par analogie avec les éléments chimiques) qui se décomposent au terme suivant en un certain nombre d'autres éléments.

Par exemple, l'élément le plus simple, nommé hydrogène, est la séquence qui donne elle-même au terme suivant. La séquence est dénommée manganèse ; au terme suivant, elle donne qui se décompose en les séquences prométhium () et sodium ().

Il a été montré que si l'on débute la suite par le terme uranium , les 91 autres éléments seront apparus dans un terme ou un autre au bout de 91 itérations. Cette suite porte d'ailleurs en anglais le nom de Conway's sequence.

Dans la littérature[modifier | modifier le code]

Bernard Werber a repris cette suite dans ses œuvres Les fourmis et dans L'Encyclopédie du savoir relatif et absolu[6].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Look-and-say sequence » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) John H. Conway, « The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay », Eureka, Université de Cambridge, no 46,‎ , p. 5-18 (ISSN 0071-2248).
  2. Pour plus de décimales, voir la suite A014715 de l'OEIS - jusqu'à la 20000e.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Conway's Constant », sur MathWorld.
  4. (en) Michael J. Bradley, Ph.D., Mathematics Frontiers: 1950 to the Present, Infobase Publishing, (ISBN 978-0-8160-5427-5, lire en ligne), p. 45.
  5. Suite OEISA137275 de l'OEIS.
  6. (en) [vidéo] Deux (deux ?) minutes pour les suites de Conway sur YouTube

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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