L'optique de Fourier (du nom de Joseph Fourier), est un domaine de l'optique ondulatoire présentant un modèle scalaire de la lumière pour permettre un traitement rapide et efficace de certains problèmes d'optique. Cette théorie repose principalement sur l'analyse harmonique, les systèmes linéaires et la transformée de Fourier.

Pour étudier l'évolution d'une onde lumineuse au travers d'un système optique, celle-ci est décomposée en ondes élémentaires. En caractérisant le système par une fonction de transfert (analogie électro-optique) il est possible possible de déduire par l'intermédiaire de la transformée de Fourier les modifications qu'il impose aux ondes élémentaires. L'onde en sortie de système est retrouvée par sommation des ondes élémentaires perturbées.

Position de la théorie et postulats[modifier | modifier le code]

Position de la théorie[modifier | modifier le code]

De manière générale, la physique quantique correspond à la théorie la plus générale possible pour traiter les problèmes d'optique. Elle permet entre autres de prendre en compte la dualité onde-corpuscule de la lumière.

Néanmoins, son application étant lourde et pas toujours nécessaire, il est souvent plus simple de traiter les problèmes de manière classique, et dans ce cas, la théorie électromagnétique fournit un cadre très général. La lumière est alors décrite en tant qu'onde électromagnétique, c'est à dire sous forme de deux ondes couplées: l'une appartenant au champ électrique, l'autre au champ magnétique.

L'optique de Fourier correspond à une approche scalaire de l'optique. En effet, il s'agit d'une approximation de l'optique vectorielle (i.e. théorie électromagnétique) dans laquelle on ne tient pas compte de la nature vectorielle de la lumière. Pour que ceci soit valable, il faut néanmoins veiller à ce que la nature ondulatoire de la lumière soit effectivement négligeable, ce qui est atteint lorsque la longueur d'onde est négligeable devant la dimension des objets environnants. Ceci fait de l'optique de Fourier un outil intéressant pour étudier les caractéristiques de systèmes optiques paraxiaux composés de lentilles et de miroirs.

Enfin, l'optique géométrique est une simplification de l'optique de Fourier: elle correspond à la limite de ce formalisme lorsque la longueur d'onde devient très petite.

Postulats initiaux[modifier | modifier le code]

Dans la mesure où l'optique de Fourier est une simplification de l'électromagnétisme, ses propriétés en découlent directement. Néanmoins, il est également possible d'ériger ce formalisme en imposant quelques postulats de départ (il s'agit de la méthode historique) et en étudiant les propriétés qui en résultent.

Premier postulat: La lumière se propage sous forme d'onde.
Deuxième postulat: Dans le vide, la lumière se propage à une vitesse constante $c_{0}$ .
Troisième postulat: Un milieu homogène et transparent se caractérise par un paramètre noté $n$ , toujours supérieur à l'unité, appelé indice de réfraction. Dans un milieu d'indice $n$ , la lumière se propage à la vitesse $c$ .

$c={\frac {c_{0}}{n}}$

Quatrième postulat: Une onde optique est décrite par une fonction d'onde ${\vec {U}}({\vec {r}},t)$ , dépendant de la position ${\vec {r}}=(x,y,z)$ et du temps $t$ . Cette fonction d'onde vérifie l'équation d'onde suivante,

$\nabla ^{2}u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$

Cette équation étant linéaire, le principe de superposition est donc applicable. Cela constitue l'un des piliers de la théorie puisque toute onde optique est par suite décomposable en ondes élémentaires. D'autre part, la possibilité de sommer et soustraire des ondes laisse déjà entrevoir une explication des phénomènes d'interférences.

Ondes élémentaires[modifier | modifier le code]

Grâce au principe de superposition et à la décomposition en série de Fourier, toute onde optique peut être décrite (dans ce formalisme) par une onde élémentaire monochromatique. Dans ce cadre, la dépendance temporelle de la fonction d'onde est harmonique.

$u({\vec {r}},t)=a({\vec {r}})\cos(2\pi \nu t+\varphi ({\vec {r}}))$

(Où $a({\vec {r}})$ représente l'amplitude, $\nu$ la fréquence et $\varphi ({\vec {r}})$ la phase de l'onde.)

Pour simplifier les calculs il est d'usage de procéder à un passage en complexe, i.e. créer une fonction complexe fictive dont la partie réelle est l'onde élémentaire. Il ne s'agit ainsi que d'un intermédiaire de calcul n'ayant aucune réalité physique.

${\underline {U}}({\vec {r}},t)=a({\vec {r}})e^{(2\pi \nu t+\varphi ({\vec {r}}))}=A({\vec {r}})e^{(2\pi \nu t)}$

Dans ce cadre, on appelle amplitude le module de ${\underline {U}}({\vec {r}},t)$ , intensité son module carré et phase son argument.

D'autre part, on appelle front d'onde une surface pour laquelle la phase est constante. On choisit en général:

$\varphi {({\vec {r}})}=2\pi q$

(Où $q$ est un entier naturel.)

L'optique de Fourier fait intervenir deux types d'ondes élémentaires, les ondes planes et les ondes sphériques. Ces deux solutions très simples de l'équation de Helmholtz constituent un outil de travail très pratique. En effet:

L'onde plane est l'équivalent ondulatoire d'un groupe de rayons parallèles. Ils proviennent donc d'une source à l'infini, ou placée au foyer objet d'une lentille (l'infini est alors ramené à distance finie). Dans ce cas, le front d'onde est perpendiculaire à l'axe de propagation des rayons.
L'onde sphérique est l'équivalent ondulatoire de rayons qui se coupent en un point. C'est donc la représentation idéale d'une onde provenant d'une source ponctuelle ou bien convergeant vers un point. Le front d'onde est une sphère.

Propagation dans l'espace libre[modifier | modifier le code]

Fonctions de transfert[modifier | modifier le code]

Transmittance[modifier | modifier le code]

De manière analogue aux raisonnements effectués en électronique, l'optique de Fourier attribue à chaque milieu une transmittance. Celle-ci correspond au rapport entre l'onde de sortie et l'onde d'entrée. En pratique, on néglige dans la plupart des cas les réflexions et absorptions car les informations intéressantes sont le déphasage de l'onde et sa direction de propagation.

Fonction de transfert de l'espace libre[modifier | modifier le code]

De manière générale, l'amplitude complexe d'une onde plane en z=d se déduit de l'amplitude complexe de cette même onde en z=0 en la multipliant par la fonction de transfert de l'espace libre.

$U(x,y,d)=U(x,y,0)H_{d}(\nu _{x},\nu _{y})$

$H_{d}(\nu _{x},\nu _{y})=\exp(-2i\pi ({\frac {1}{\lambda ^{2}}}-\nu _{x}^{2}-\nu _{y}^{2}))$

L'outil de base : la diffraction de Fraunhofer[modifier | modifier le code]

L'optique ondulatoire utilise principalement le principe de Huygens-Fresnel pour aboutir à des résultats comme celui des fentes de Young, ou de la tache d'Airy. Ces calculs sont relativement compliqués, et pour les simplifier, il est possible de se placer dans le cadre de certaines approximations. Par exemple, la diffraction de Fraunhofer suppose que l'on observe la figure de diffraction à très grande distance de l'objet diffractant.

Formule de Fraunhofer[modifier | modifier le code]

Ces approximations permettent de faire apparaître la transformée de Fourier dans la formule de diffraction :
$E(x,y,z)\propto {\mathcal {F}}_{\left[{\mathcal {A}}_{i}t\right]}\left(f_{x},f_{y}\right)$
où :

$\,E(x,y,z)$ est l'éclairement aux coordonnées $(x,y,z)$ ,
${\mathcal {F}}$ désigne la transformée de Fourier,
${\mathcal {A}}_{i}(X,Y)$ est l'amplitude de l'onde incidente,
$\,t(X,Y)$ est le facteur de transmission,
$\,\lambda$ est la longueur d'onde de l'onde incidente,
et $f_{x}={\frac {x}{\lambda z}}$ et $f_{y}={\frac {y}{\lambda z}}$ sont appelées les fréquences spatiales.

Figure de diffraction obtenue dans les conditions de Fraunhofer pour une ouverture carrée. On reconnaît un sinus cardinal bidimensionnel.

Conséquence principale[modifier | modifier le code]

La formule précédente permet d'obtenir le résultat suivant : une onde plane en incidence normale sur un objet, formera, à l'infini sa transformée de Fourier. Plus précisément, elle forme la transformée de Fourier du facteur de transmission de l'objet.

En effet, pour une onde plane en incidence normale, l'amplitude ${\mathcal {A}}_{i}$ est homogène dans le plan d'incidence, ce qui permet de la sortir de la transformée de Fourier. Il reste ainsi : $E(x,y,z)\propto {\mathcal {F}}_{\left[t\right]}\left(f_{x},f_{y}\right)$ .

Une des conséquences principales peut se trouver dans l'exemple dans d'un appareil photographique. Le diaphragme du système optique agit comme une surface diffractante et l'image d'un point est la transformée de Fourier de cet élément.
Un tel système optique est dit limité par la diffraction et agit comme un filtre vis-à-vis des fréquences spatiales de la scène photographiée. L'optique de Fourier permet donc de comprendre que quelle que soit la qualité de l'optique, il est impossible de photographier les fréquences spatiales trop élevées.

Réalisation pratique[modifier | modifier le code]

La diffraction de Fraunhofer n'est valable qu'à l'infini, mais au lieu de se placer à l'infini, on préfère utiliser une lentille convergente. En effet, on peut montrer que la diffraction de Fraunhofer est aussi valable au plan focal image d'une lentille. Ceci permet de ramener la transformée de Fourier de l'objet étudié à distance finie.

Ainsi on peut observer la transformée de Fourier de différents objets par la méthode suivante (voir schéma) : on place l'objet sur le trajet d'un faisceau de lumière, et on ajoute une lentille convergente après l'objet. En plaçant un écran au plan focal de cette lentille, la figure observée sera la transformée de Fourier de l'objet. Par exemple, si l'objet est un trou circulaire, l'image obtenue sera la tache d'Airy.

La diffraction de la lumière par l'objet crée sa transformée de Fourier soit à l'infini, soit dans le plan focal d'une lentille, appelé *plan de Fourier*.

Le plan focal de la lentille, où se forme la transformée de Fourier de l'objet, est appelé plan de Fourier.

Interprétation en fréquences spatiales[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier est souvent utilisée pour analyser des spectres, comme par exemple en acoustique. En effet, cette transformée permet de passer de l'étude d'une onde selon son évolution dans le temps, à son étude en fréquences. Ces fréquences sont donc dites temporelles, car elles sont conjuguées au temps.

En optique de Fourier, la transformée de Fourier ne s'effectue pas par rapport au temps, mais par rapport à l'espace, et plus précisément par rapport aux coordonnées $X$ et $Y$ dans le plan de l'objet (définies plus haut). On a donc défini des fréquences spatiales conjuguées à ces coordonnées.

Il existe une forte analogie entre les fréquences temporelles et les fréquences spatiales. Par exemple, on peut obtenir un spectre spatial analogue au spectre temporel habituel : ce spectre spatial, faisant appaître les fréquences spatiales, est une transformée de Fourier spatiale de l'onde incidente. La partie précédente nous montre donc que le plan de Fourier fait apparaître ce spectre. Ainsi, on visualise les fréquences spatiales dans le plan de Fourier.

Le centre de ce plan correspond donc à une fréquence spatiale nulle, et plus on s'éloigne de ce centre, plus la fréquence spatiale correspondante est élevée.

Applications[modifier | modifier le code]

La principale application de l'optique de Fourier est le filtrage spatial, qui consiste à retirer quelques fréquences spatiales afin de modifier l'image de l'objet. Cela se traduit par plusieurs méthodes comme la strioscopie, l'épuration laser, etc.

Une expérience importante autour de l'optique de Fourier est l'expérience d'Abbe.

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

(en) Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, Mc Graw-Hill, 1996 (ISBN 978-0070242548)
(en) Bahaa E.A. Saleh et Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, coll. « Wiley Series in Pure and Applied Optics », 1991 (ISBN 978-0471358329)
(en) Max Born et Emil Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press (ISBN 978-0521642224)