Principe de Huygens-Fresnel

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Réfraction d'onde selon le modèle d'Huygens.
Diffraction d'onde selon le modèle d'Huygens.

Le principe de Huygens-Fresnel est un principe utilisé en optique : il permet entre autres de calculer l'intensité dans les phénomènes de diffraction et d'interférence.

Il consiste à considérer chaque point de l'espace indépendamment. Si un point M reçoit une onde d'amplitude E(M, t), alors on peut considérer qu'il réémet une onde sphérique de même fréquence, même amplitude et même phase. Au lieu de considérer que l'onde progresse de manière continue, on décompose sa progression en imaginant qu'elle progresse de proche en proche.

Formulé par Fresnel en 1815, ce principe reprend la base du modèle ondulatoire développé par Huygens (1690).

Soit une surface Σ et une source lumineuse S. On découpe Σ en surfaces élémentaires dΣ centrées autour d'un point P.

  • Chaque point P de Σ atteint par la lumière émise par la source S se comporte comme une source secondaire fictive émettant une ondelette sphérique.

De plus :

  • l'amplitude de l'ondelette émise est proportionnelle à l'amplitude de l'onde incidente (que l'on note As) et à l'aire dΣ ;
  • sa phase est prise égale à la phase de l'onde incidente ;
  • les vibrations issues des différentes sources secondaires sont cohérentes entre elles.

Histoire[modifier | modifier le code]

En 1678, Huygens suggère que chaque point atteint par une interférence lumineuse devient la source d'une onde sphérique. La somme de ces ondes secondaires détermine la forme de l'onde à n'importe quel moment. Il supposa que l'onde se déplaçait uniquement en avançant mais cette supposition ne fût pas expliquée dans la théorie. Il était capable de fournir une explication qualitative sur la propagation des ondes sphériques et planes, et de dériver les lois de la réflexion et de la réfraction en utilisant ce principe mais était incapable d'expliquer les écarts subis par une onde plane lorsqu'elle entrait en contact avec un obstacle (de type écran, ouverture) connus sous les effets diffraction. Cette erreur fût finalement expliquée par David A.B. Miller en 1991. La résolution est que la source est un dipôle (pas un monopole comme Huygens le pensait) qui s’annule dans la direction réfléchie.

En 1818, Fresnel démontre que son propre principe d'interférences et que le principe d'Huygens sont tous les deux en mesure d'expliquer la propagation linéaire de la lumière mais également les effets de la diffraction. Pour obtenir une corrélation avec les résultats pratique, il émet des suppositions arbitraires concernant la phase et l'amplitude des secondes vagues d'une manière détournée. Ces suppositions n'ont aucune fondation physique évidente mais peuvent cependant mener à des prévisions qui corroborent les résultats de nombreuses observations expérimentales, notamment la Tache de Fresnel.

Siméon Denis Poisson, membre de l'académie française, se penche sur les travaux de Fresnel. Il utilise la théorie de Fresnel pour affirmer qu'une tâche lumineuse doit apparaitre au centre de l'ombre d'un petit disque et déduit de cela que la théorie initiale était incorrecte. Cependant, François Arago, un autre membre de l'académie française, pratiqua l'expérience et démontra que les prévisions étaient correctes.

Le principe d'Huygens-Fresnel offre une bonne base comprendre et prévoir la propagation d'une onde lumineuse. Cependant, ce principe a ses limites et certains experts pensent qu’il ne représente pas de manière précise ce qu’il se passe en réalité. Par exemple, Melvin Schwartz a dit "Le principe d'Huygens donne les bonnes réponses mais pour les mauvaises raisons".

La Théorie de Kirchhoff offre une fondation mathématique rigoureuse pour la diffraction basée sur l'équation de l'onde. Les suppositions arbitraires faîtes par Fresnel pour arriver au principe d'Huygens-Fresnel sont automatiquement déduites à partir de la formule. Un exemple simple permet d'illustrer ce principe lorsque deux chambres sont séparées par une porte ouverte. Si un son est produit dans un coin d'une pièce, une personne située dans l'autre chambre entendra ce son comme s'il provenait de la porte.

Description[modifier | modifier le code]

Considérons une onde plane, le front d'onde est rectiligne. Prenons maintenant des points situés sur un plan P parallèle au front d'onde ; pour simplifier, on ne considérera qu'une période de l'onde, dont le maximum passe en P à l'instant 0 ; pour une onde « complète » (sinusoïde infinie), il suffit de superposer les périodes. Si chaque point de P émet une onde sphérique, alors après un instant t :

  • un point situé à une distance c.t du plan P ne recevra que le front d'une seule onde sphérique (celle émise par le point de P le plus proche à l'instant 0), chaque point situé sur ce plan parallèle aura donc une amplitude positive ;
  • un point situé au-delà de cette distance n'a pas encore reçu l'onde, et a donc une amplitude nulle ;
  • un point situé en deçà de cette distance reçoit des ondes produites par de nombreux points de P (les « côtés » des ondes sphériques), mais toutes les ondes ont un déphasage différent, donc les amplitudes s'annulent.

Donc, en considérant une réémission sphérique, on obtient bien un front plan progressant à une vitesse c, les deux formulations sont équivalentes.

Équivalence entre le front plan et la réémission sphérique ; le trait plein figure le maximum de l'onde, le trait pointillé le minimum (les deux sont distants d'une demi-longueur d'onde)

Il s'agit d'un artifice mathématique que l'on n'utilise en général qu'en un endroit particulier, souvent au niveau d'une fente pour calculer la figure de diffraction en champ lointain.

Dans le cas de la propagation de la lumière dans un solide, l'onde progresse de proche en proche : en effet, le nuage électronique des atomes masque l'onde, de telle sorte que celle-ci ne peut pas progresser mais peut exciter les atomes qui réémettront eux-mêmes une onde (diffusion Rayleigh), qui va exciter l'atome voisin. Ceci explique notamment le « ralentissement » de l'onde (et donc l'indice de réfraction n) : les ondes électromagnétiques ne progressent plus à la vitesse de la lumière dans le vide (c = 300 000 km/s), mais à c/n ; le front d'onde est ralenti par le phénomène de masquage et de réémission. Mais le principe de Huygens est également valable pour la propagation dans le vide, sans support matériel.

Dans le cas de sources planes, le principe de Huygens peut être dépassé en introduisant la notion de spectre d'ondes planes, fournissant la solution exacte à toute distance.

Selon Huygens, chaque point P d'une surface d'onde se comporte comme une source (fictive) ponctuelle de même fréquence que la source mère et dont la phase est celle de l'onde arrivant en ce point P. De plus, Fresnel affirme que les ondelettes sphériques émises par ces sources fictives se propagent jusqu'au point M où elles vont interférer.

Ces notions peuvent se traduire mathématiquement par :

avec :

  • A(M) l'amplitude en M.
  • f(P) dS(P) l'amplitude des sources sur dS(P) centrée P.
  • traduit la propagation sphérique de P jusqu'en M.
  • K(a) est le facteur d'inclinaison introduit par Fresnel pour tenir compte de :
    1. l'anisotropie dans la distribution de l'énergie diffractée.
    2. l'absence de diffraction « arrière ».