Théorème de Fréchet-Kolmogorov

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz et/ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace L^p. Il constitue une variante L^p du théorème d'Ascoli, dont il peut se déduire.

Énoncé

Soient $p\in [1,\infty [$ et $B\subseteq L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$.

Le sous-ensemble B est relativement compact si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

1. B est borné,
2. $\lim _{r\to \infty }\int _{|x|>r}\left|f\right|^{p}=0$ uniformément sur B,
3. $\lim _{a\to 0}\Vert \tau _{a}f-f\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=0$ uniformément sur B, où $\tau _{a}f$ désigne la translatée de $f$ par $a$, c'est-à-dire $\tau _{a}f(x)=f(x-a)$.

Références

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p. 72
• Marcel Riesz, « Sur les ensembles compacts de fonctions sommables », dans Acta Sci. Math.Acta Scientiarum Mathematicarum, vol. 6, 1933, p. 136–142
• (en) Radu Precup, Methods in nonlinear integral equations, Springer, 2002 (ISBN 9781402008443), p. 21