Produit infini

En mathématiques, pour une suite de nombres complexes $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, on définit le produit infini comme la limite des produits partiels $a_{0}a_{1}\dots a_{N}$ quand N tend vers l'infini.

$a_{0}\cdot a_{1}\cdot a_{2}\dots =\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\displaystyle \prod _{n=0}^{N}a_{n}$.

Convergence de produit infini

Définition

Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls, on dit que le produit infini converge quand la limite des produits finis existe et est non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge.

Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle pas en général de convergence, bien que les produits partiels stationnent à 0.

On dit qu'un produit $\prod _{n=0}^{\infty }(1+b_{n})$ converge absolument si $\prod _{n=0}^{\infty }(1+|b_{n}|)$ est convergent.

En cas de convergence

Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :

$\left(\exists l\in \mathbb {C} ^{*}\quad \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=l\right)\Rightarrow \lim _{n\to +\infty }a_{n}=1$.

La réciproque est fausse (contre-exemple : a_n = e^1/n).

Méthode d'étude classique

Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque a_n tend vers 1, il existe un rang $j\in \mathbb {N}$ tel que $\forall i\geq j\quad |a_{i}-1|<1$. On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a

$\prod _{n=j}^{\infty }a_{n}=\exp \left(\sum _{n=j}^{\infty }\log a_{n}\right)$.

Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge. On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Un produit $\prod _{n=0}^{\infty }(1+b_{n})$ converge absolument si et seulement si $\sum _{n}|b_{n}|<\infty$ ; un produit absolument convergent est convergent.

Exemples

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis, on a les formules suivantes exprimant les constantes mathématiques classiques :

• ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdots$ (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques) ;
• ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2}{1.3}}\cdot {\frac {4.4}{3.5}}\cdot {\frac {6.6}{5.7}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)$ (produit de Wallis (1655))
• ${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {p^{2}}{p^{2}-1}}$ (Euler, voir produit eulérien)
• ${\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{3+1}}\cdot {\frac {5}{5-1}}\cdot {\frac {7}{7+1}}\cdot {\frac {11}{11+1}}\cdot {\frac {13}{13-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier impair}}}{\frac {p}{p+(-1)^{(p+1)/2}}}$ (Euler, voir produit eulérien)

• ${\sqrt {2}}={\frac {2.2}{1.3}}\cdot {\frac {6.6}{5.7}}\cdot {\frac {10.10}{9.11}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4(2n-1)^{2}}{4(2n-1)^{2}-1}}\right)$ (Euler (1796), Catalan (1875))
• $\mathrm {e} ={\frac {2}{1}}{\sqrt {\frac {4}{3}}}{\sqrt {\sqrt {\frac {6.8}{5.7}}}}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {\frac {10.12.14.16}{9.11.13.15}}}}}\cdots$ (Catalan (1875))
• $\mathrm {e} =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {65}{64}}\cdots$ où $(a_{n})$ est définie par $a_{0}=0,a_{n}=n(a_{n-1}+1)$, suite  A007526 ; la formule vient du fait que $\prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}$.
• $\ln 2=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+2^{1/2^{n}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}}}\cdot \cdots$ (Seidel (1871))

Fonctions exprimées comme produits infinis

Premiers exemples

• $\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cos \left(z/2^{n}\right)}$

Démonstration

En appliquant la formule de l'angle double

$\sin z=2\sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {z}{2}}$,

on démontre par récurrence que pour tout entier positif n,

$\sin z=2^{n}\sin {\frac {z}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {z}{2^{i}}}\right)$.

Le terme 2ⁿ sin z/2ⁿ tend vers z lorsque n tend vers l'infini.

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant z = π/2.

En changeant z en iz, on obtient :

• $\sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(z/2^{n}\right)}$

En prenant $z=\ln x$ dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme:

• $\ln x=(x-1)\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+x^{1/2^{n}}}}$, formule donnant, pour x = 2, l'expression de ln2 ci-dessus.
• $\zeta (z)=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {1}{n^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} }{\frac {p^{z}}{p^{z}-1}}$ pour Re(z) > 1, développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour z = 2 le développement de π²/6 ci-dessus.
• $\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} \operatorname {impair} }{\frac {p^{z}}{p^{z}+(-1)^{(p-1) \over 2}}}$ pour Re(z) > 1, donnant, pour z → 1, le développement de π/4 ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en $u_{0},u_{1},u_{2},\dots$ (comptés avec multiplicité), alors :

$f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\;\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace$

où les exposants $\lambda _{n}$ sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et $\varphi (z)$ est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des $\lambda _{n}$ et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant $\lambda _{n}=p$ donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque p = 1 convient, on obtient :

$f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)$.

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque $\varphi$ est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquables

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

La fonction sinus	$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$	Euler — le développement de Wallis pour π et celui de √2 ci-dessus sont issus de cette identité.
la fonction cosinus	$\cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$	Voir
La fonction gamma d'Euler	$1/\Gamma (z)=z\;\mathrm {e} ^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;\mathrm {e} ^{-z/n}$	Schlömilch

Voir aussi

Articles connexes

• Produit eulérien
• Test de convergence
• Théorème des nombres pentagonaux
• Triple produit de Jacobi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Infinite Product », sur MathWorld