Discussion:Polynôme d'Hermite

Normalisation des polynômes et suite de l'article

Je me suis permis de modifier la normalisation, en effet, il me semble qu'un facteur $2^{n}$ a été oublié. De plus, ne faudrait t'il pas que l'on aborde le sujets des fonctions d'Hermite dans cet article ainsi que de la complétude de L²?

Moali (d) 11 décembre 2011 à 10:06 (CET)

C'est une bonne idée : je rajoute un paragraphe sur les fonctions de Hermite Taerf (discuter) 1 août 2016 à 11:22 (CEST)

Démonstration à compléter

La démonstration de l'orthogonalité de la famille infinie des Hn(x)exp(-x²/2) me semble lacunaire. En effet, l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini d'un polynome pondéré par une gaussienne n'est pas toujours nulle. Prendre l'exemple -2x²*exp(-x²) dont l'intégralle sur R vaut -sqrt(pi) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 194.167.137.11 (discuter), le 21 avril 2016.

C'est vrai, n'importe quels polynômes pondérés par une gaussienne ne sont pas orthogonaux. Je n'ai pas donné la définition dans la page car elle revient à prendre la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite, $\int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {H}}_{n}(x){\widehat {H}}_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{nm}$ qui, elle, est proprement prouvée dans l'article, et à la réécrire $\int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {H}}_{n}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,{\widehat {H}}_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{nm}$ et ça donne exactement ce qu'on veut.

Je rajoute tout de même dans l'article une référence plus claire à la première formule.

Taerf (discuter) 3 août 2016 à 16:29

La version incriminée (qui concernait les $H_{n}$, pas les ${\widehat {H}}_{n}$) est clarifiée. Anne, 17 h 52