Nombre d'argent

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L'appellation nombre d'argent a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; elles sont encore en concurrence actuellement.

Première proposition[modifier | modifier le code]

Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation , équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : , il a été proposé[1] que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation , équation caractéristique de la récurrence  : .

Mais cette récurrence ayant été désignée, par un jeu de mot, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, qui est égale à environ .

Dans la même veine, on trouve aussi le premier nombre de Pisot-Vijayaraghavan, unique solution positive de l'équation , équation caractéristique de la récurrence de Padovan : , mais elle a été rétrogradée au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.

Deuxième proposition[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Proportion d'argent.

Un rectangle d'or étant un rectangle qui est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, propriété qui équivaut à ce que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or, il a été proposé qu'un rectangle d'argent soit un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant deux plus grands carrés inclus.

Le rapport longueur sur la largeur d'un rectangle d'argent est la solution positive de l'équation soit  ; il est naturel alors de désigner par nombre d'argent cette solution, égale à .

Le développement en fraction continue de ce nombre est [2, 2, 2, …] (celui du nombre d'or est [1, 1, 1, …]).

La récurrence associée est .

Troisième proposition[modifier | modifier le code]

L'inverse du nombre d'or étant égal à , il a été proposé que le nombre d'argent noté soit égal à .

Il est la racine positive de l'équation , associée à la récurrence .

À l'aide du nombre d'or et du nombre d'argent, il est assez facile d'exprimer la table trigonométrique des angles de 1° à 45°, de degré en degré.

En effet, ceux-ci sont des multiples de 3 (catégorie I) et/ou 5 (catégorie II), des multiples de 2 (catégorie III), et des premiers (catégorie IV). Les premiers (catégorie IV) sont les complémentaires à 45° de la catégorie III. La catégorie III se calcule aisément à partir des catégories I et II, qui elles-mêmes découlent de et de .

La question reste posée de savoir si on peut faire mieux avec d'autres nombres, soit de la classe x2 = q - p x, soit de la classe x3 = q - p x.

La courbe de Lissajous et (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique et .

Sans être aussi riche que les recherches faites autour des suites de Fibonacci, le nombre d'argent est l'objet d'études de curieux des mathématiques.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Table de lignes trigonométriques exactes