Discussion utilisateur:El Caro/Équation

pythagore

bonjour. Le problème est que le théorème de Pythagore n'est pas une équation mais une égalité entre trois termes. Certes, si l'on suppose un des termes inconnu, cela devient une équation mais c'en n'est pas une à priori. La notion d'équation ne saurait ainsi se ramener systématiquement à une égalité: il faut qu'il y ait un problème. Claudeh5 (d) 15 novembre 2008 à 17:58 (CET)

Donc E=mc² et l'équation d'un cercle ne seraient pas des équations ? ---- El Caro ^bla 16 novembre 2008 à 09:32 (CET)

Claudeh5 a raison sur le fait que le théorème de Pythagore n'est pas une équation, mais il est vrai que le terme « équation » est utilisé comme tu le fais remarquer pour des relations physiques ou mathématiques avec des variables qui ne sont pas à proprement parler des inconnues. Peux-tu regarder l'introduction de l'article « Équation » que je viens de reprendre et me dire si elle te convient ? Ambigraphe, le 18 novembre 2008 à 09:37 (CET)

Je ne sais pas si ajouter l'expression "algébrique" suffit à éclaircir ce problème : est-ce qu'une équation différentielle est algébrique ? Et l'équation sin(x)=0,5 ? L'article expression algébrique redirige sur algèbre qui n'explique pas cette expression... Mais la nouvelle intro est bien meilleure que la précédente.

Il me semble que l'expression équation de Pythagore existe. Le théorème n'est pas une équation, mais il en pose une (au sens d'égalité entre grandeurs variables, comme E=mc²), me semble-t-il. ---- El Caro ^bla 18 novembre 2008 à 14:46 (CET)

A mon sens, le terme équation de Pythagore traite d'une question diophantienne définissant les triplets pythagoriciens. Le rapport entre l'équation de Pythagore et le théorème de Pythagore est ténu. Je ne connais pas de méthode de résolution de l'équation qui fasse appel au théorème du même nom, les mathématiques associées aux deux concepts sont bien éloignées. Je crains que le lecteur un peu néophyte fasse une affreuse confusion entre des triangles rectangles et une équation diophantienne, cas particulier du dernier théorème de Fermat. L'équation réelle associée porte, à mon avis, le nom d'équation canonique de l'hyperboloïde à une nappe, mais le théorème de Pythagore n'a encore pas grand chose à voir dans l'affaire. Jean-Luc W (d) 18 novembre 2008 à 15:28 (CET)

PS: L'antique mathématicien Pythagore semble avoir cru à une connexion entre les triplets pythagoriciens et le théorème du même nom, cette erreur lui à couté la possibilité de trouver les dits triplets. Il en reste donc au savoir babylonien, c'est à dire à l'explicitation de quelques exemples. Il faut attendre l'époque d'Euclide pour les trouver. Il n'utilise pas d'équation pour y arriver, mais son lemme sur les nombres entiers.

PPS: On peut parfaitement imaginer, pour traiter le rapport entre la géométrie et l'algèbre, un assemblage de deux outils comme le théorème de Pythagore et l'équatio. Je pense à la surface de révolution que doit posséder le miroir d'un télescope. C'est, j'imagine, la deuxième idée à développer sur l'équation. Elle permet de montrer la subtilité du glissement sémantique du terme inconnue vers le terme variable. On peut prendre l'exemple tiré de la dioptrique de Descartes en précisant que cette idée provient des arabes. Jean-Luc W (d) 18 novembre 2008 à 15:39 (CET)

J'adhère aux propos de Jean-Luc et je réponds aux objections légitimes d'El Caro sur l'adjectif « algébrique ». J'ai pas mal hésité avant de l'écrire et en tout cas je n'ai pas écrit que l'équation était algébrique (ce qui n'est effectivement pas le cas de l'équation avec le sinus). Une expression algébrique peut se représenter à l'aide d'un arbre étiqueté enraciné dans lequel les feuilles sont des variables ou des constantes et les nœuds sont des opérations dont l'arité et le typage correspondent avec les nœuds et feuilles voisins. Une équation différentielle utilise notamment l'opération de dérivation sur une variable fonction. L'équation $\sin(x)=0,5$ relie un arbre réduit à une feuille constante à droite, avec à gauche un arbre possédant une racine d'application avec une feuille constante (la fonction sinus) et une feuille variable ($x$). On peut aussi considérer le sinus comme une opération unaire, mais je préfère garder ça pour la géométrie comme une transformation d'angle en nombre. Ambigraphe, le 18 novembre 2008 à 21:59 (CET)

Quelques remarques

Une idée serait de suivre un plan plus historique.

Première idée : La notion d'équation est une découverte de Diophante (3^ième siècle donc bien après Pythagore). Il découvre le concept d'arithme, qui correspond à notre inconnue X actuel. Avec cette découverte, il découvre des méthodes qui révolutionne les mathématiques. Il parvient à résoudre plus simplement des problèmes géométriques déjà traités par Euclide comme trouver la longueur d'un rectangle dont la largeur est plus petite de 2 unités que la longueur et dont la surface vaut 99. Il arrive aussi à des résultats inaccessibles aux anciens (Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [autrement dit, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d’eux, forme un carré.). Cette idée est ensuite développée par Khawarizmi qui parvient à résoudre toute équation du second degré grâce à différentes méthodes toutes illustrées par un exemple. Je pense que l'idée clé est l'opposition de la logique des grecs, d'origine géométrique et la logique de l'équation, à la naissance de l'algèbre. La première difficulté doit à mon avis bien être isolée, c'est à dire la signification de la lettre X, si opposée à la logique des anciens ou de certains enfants de 10 à 12 ans. Ce paragraphe correspond probablement à la demande de la majorité des lecteurs, qui ne comprendront pas la notion de paramètre, ou la relation entre la géométrie et l'équation.

Deuxième idée : La notion de paramètre. François Viète (il faut plus d'un millénaire pour y arriver). Il opère une nouvelle révolution qu'il appelle la logique spécieuse. Au lieu de résoudre une équation de type X² - 2X + 2, il s'intéresse à X² - pX + q. L'expérience montre que la notion de paramètre est beaucoup plus difficile à comprendre que celle d'inconnue ou d'arithme. Cette approche est ensuite formalisée de manière moderne par Fermat et Descartes. C'est probablement l'idée la plus difficile à faire comprendre au public de l'article. L'expérience montre que la compréhension de l'idée de Diophante est assez naturelle, mais celle de Viète a beaucoup de mal à passer.

Troisième idée : L'équation algébrique et transcendante. Parfois, on peut résoudre une équation en y appliquant des transformations à l'aide de fonctions connues comme + , - , x , / et les fonctions racines. C'est le cas de certaines équations algébriques. Parfois on ne peut pas, comme par exemple sin(x) = 1. Une solution, notée traditionnellement π/2 ne peut que s'approcher par, par exemple par une suite dont la limite est la valeur recherchée. Ce sont des méthodes analytiques et non plus algébriques qui permettent d'apporter des éléments de réponses. Ce paragraphe devrait toujours être accessible aux élèves du secondaire.

Quatrième idée : L'équation et la géométrie. Si l'équation comporte deux variables, comme par exemple X² + Y² - 1 = 0, les solutions sont des couples. Il peut en exister un nombre infini. Une représentation graphique de l'ensemble des solutions de l'exemple montre qu'il correspond à un cercle. Ainsi, une équation est un objet qui permet d'appréhender des questions géométriques. Une parabole, une hyperbole ou une ellipse se représentent bien par une équation. De manière générale, beaucoup de courbes, au sens géométrique du terme, peuvent être considérées comme des ensembles de solutions d'une équation.

Cinquième idée : L'équation fonctionnelle. De manière très générale, une équation prend la forme f(X) = 0. Ici, le terme f désigne une fonction, souvent à valeurs dans un espace vectoriel, comme par exemple celui des nombres réels. La valeur X peut être choisie, par exemple dans un espace vectoriel de fonctions. L'exemple typique est celui de l'équation différentielle ou l'équation aux dérivées partielles.

Conclusion : Je te propose une approche beaucoup plus progressive, commençant par des questions purement algébriques sans paramètre et simple, soit en bref de se limiter à une compréhension du niveau de Diophante. Associer Pythagore à l'équation risque de semer une profonde confusion dans la tête de nombreux lecteurs. Il a fallu presque un millénaire avant de comprendre que certains problèmes utilisant le théorème de Pythagore peuvent aussi être vu comme une équation. Euclide fût incapable d'une telle abstraction et de nombreux lecteurs n'ont probablement pas le niveau d'Euclide. J'espère que ces quelques idées t'aideront et bonne chance. Jean-Luc W (d) 15 novembre 2008 à 19:01 (CET)

Babylone et l'équation du second degré

Attention. Babylone, les égyptiens ou les grecs d'avant Diophante ne connaissent pas l'équation. Pour comprendre, leur mode de pensée, je te propose un exemple que j'avais lu, je crois dans une traduction d'une tablette :

Soit un champs dont la longueur dépasse la largeur de 2 et dont la surface vaut 99 : quel est la longueur du champ ?

Je considère un autre champ formé par un large carré de surface 99 + le carré de la moitié de la différence longueur largeur. Ce champ est de surface 100 et de coté 10. En effet, la moitié de la différence est égale à 1 et le carré est de surface 1.

Je retranche à ce champ un carré de coté la moitié de la différence longueur largeur, situé en haut à droite, j'obtiens un champ de surface 99.

Je déplace la langue de terrain située à droite de largeur 1 et de hauteur 9 et je la place en bas du champs. Mon champ est maintenant rectangulaire et de surface 99. Il possède une longueur de 11 = 10 + 1 et une largeur de 9 = 10 - 1. C'est la solution du problème.

Moralité : Ne disposant pas de l'inconnu ou encore de l'arithme, je suis incapable de trouver une solution générique. Les solutions sont limitées à des cas particuliers comme l'exemple cité. La découverte de l'équation et donc de l'arithme est bien plus tardive, cette révolution date de bien après J.C. Jean-Luc W (d) 15 novembre 2008 à 19:25 (CET)

Oui, mais, quelque part, cet exemple prouve qu'il existait des méthodes pour résoudre des problèmes... Je trouve ta proposition de plan ci-dessus très bonne, mais j'aurais envie d'y ajouter une sorte de "préhistoire des équations" avec, justement, ces méthodes "géométriques" antiques qui sont des équations qui s'ignorent.

D'autre part, les affirmations comme "les grecs d'avant Diophante ne connaissent pas l'équation" me laissent perplexe : on n'a pas de document qui prouve ceci, il me semble. Par contre, des indices montrent que des questionnements et des méthodes assez complexes existaient. Dans l'exemple que tu cites, l'auteur ne dit pas "j'utilise telle méthode générale", mais il ne choisit pas ses opérations au hasard, non ?

Merci pour tes critiques très constructives ! ---- El Caro ^bla 16 novembre 2008 à 09:28 (CET)

~:Ton idée de préhistoire me semble dangereuse à deux titres. Tout d'abord, elle risque de propager une idée que les historiens des sciences considèrent comme une contre vérité largement répandue : les babyloniens résolvaient des équations du second degré. En fait, les babyloniens, comme les autres civilisations précoces, sont loin de concevoir cette superbe abstraction qu'est l'arithme. Le problème cité, comme de nombreux autres, peuvent se résoudre à l'aide de différents outils. Le plus puissant, dans ce cas, est l'équation, qui d'ailleurs s'applique à de très nombreuses situations. En revanche, la logique babylonienne n'utilise jamais d'inconnu, tout comme Phytagore ou Euclide.

La préhistoire de l'équation serait beaucoup plus à rechercher dans les origines de ce que l'on appelle l'arithmétique. Le grec Diophante ou des indiens comme Brahmagupta, développe l'idée d'arithme pour résoudre des problèmes de fractions et de nombres entiers, pas pour résoudre des problèmes de géométrie. Il faut attendre encore de nombreux siècle et les arabes pour faire le pont que tu imagines. Un historien des sciences commencerait l'histoire des équations probablement à Kawharizmi et la préhistoire à Diophante et Brahmagupta, mais en aucun cas aux babyloniens. Je te trouverais demain les références de les grecs d'avant Diophante ne connaissent pas l'équation. La nouveauté de l'arithme provient du livre Arithmetica, la radicale nouveauté de l'approche n'a jamais été contestée, même si, hélas une affreuse idée préconçue laisse penser que les anciens résolvaient des équations du second degré.

Enfin, ton public est probablement beaucoup plus moins à l'aise avec l'abstraction que ton approche le laisse supposer. Si tu arrives à exprimer clairement le sens à donner à la lettre x, pour la majorité de ton public, c'est beau. Tenter d'exprimer des idées très subtiles sur l'histoire des sciences dans le même temps me semble douteux. Jean-Luc W (d) 16 novembre 2008 à 19:47 (CET)

Si tu le dis, je te crois. Mais ça me semble contredire http://www.1911encyclopedia.org/Equation (début de la partie History).

Ce n'est pas très grave. On peut dans un premier temps omettre cette "préhistoire" — omission qui pourra éventuellement être définitive — et se concentrer sur le plan avec une intro claire et efficace (!?) ---- El Caro ^bla 16 novembre 2008 à 20:03 (CET)

Quelques précisions

Je ne suis pas très fier des réponses que je t'ai proposé. Finalement je te contredis, avec pour seul argument l'autorité. Voilà une attitude ni courtoise ni très constructive. Tu en es réduit à me répondre Si tu le dis, je te crois, ce qui est fort galant, mais t'impose une attitude peu encyclopédique par ma faute. Je reste convaincu de l'idée que j'ai émise, mais je te propose maintenant des arguments plus construits et surtout sourcés.

La base de mon analyse provient de la lecture de Eecke. Tu peux lire un résumé des conclusions reprises par Radford et accessible sur le Web. De manière très traditionnelle, il part des problèmes babyloniens et cite le cas d'un rectangle de périmètre 40 et de surface 96. Il montre comment cette question est résolue géométriquement par cette civilisation. Il parle aussi des problèmes égyptiens, comme par exemple On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?. Habilement, Radfort ne parle pas d'équation du second degré pour le problème babylonien, mais de problème du second degré. Il conclut : Cet exemple nous permet de voir que la résolution babylonienne, telle qu'elle nous est parvenue, repose sur un enchaînement d'opérations numériques. Il n'y a pas une inconnue mêlée aux calculs. Radfort reprend l'analyse de Eecke, pour lui la nouveauté est originaire de Diophante : Diophante d'Alexandrie (3e siècle ap. J.-C.), au contraire, dans son oeuvre Arithmétique, introduit une inconnue sur laquelle il fait des calculs, pour résoudre des problèmes comme le précédent.

L'article que tu proposes me semble tomber dans le travers que cite Radfort: L'étude du développement des idées mathématiques est devenue un sujet important dans le cadre de l'enseignement: en effet, la détection des obstacles rencontrés au long de la formation d'une théorie et la façon par laquelle ils ont été franchis peuvent donner aux professeurs une idée de la profondeur et de la nature de ces obstacles, et les aider dans la façon de mener l'apprentissage chez leurs élèves. Malheureusement, l'enseignement scientifique, tel qu'il est débité aujourd'hui, repose sur l'enseignement des notions sous sa forme achevée, et nie, par là, l'histoire des sciences. L'article que tu proposes commence par There is little doubt that the earliest solutions of equations are given in the Rhind papyrus, a hieratic document written some 2000 years before our era. The problems solved were of an arithmetical nature, assuming such forms as " a mass and its 7th makes 19. Cette phrase me semble contenir au moins deux imprécisions : Tout d'abord, cette idée de voir des solutions d'équations dans le papyrus est fréquent dans les sites grands publics mais n'est certainement pas celles des spécialistes comme Radfort, Eecke ou Couchoud. Ensuite, tous semblent d'accord pour dire que ces méthodes sont connues des babyloniens avant les égyptiens. Le rédacteur de l'article semble supposer que les lecteurs, tout comme les égyptiens possède des notions mathématiques sous leurs formes achevée, ce qui revient à nier l'histoire des sciences. On lit dans l'article que tu cites Calling the unknown mass x, we have given x+ x = 19, which is a simple equation. Or même pour résoudre un problème de proportion, qui se formaliserait maintenant par l'équation a.x = b, les égyptiens procèdent par tâtonnement, car ils disposent pas de la notion d'inconnu : Les égyptiens savaient, par tatonnements, résoudre les équations du type ax = b (b étant en général un multiple de a). Dans le papyrus est posé le problème suivant : « un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ? » Dans le papyrus Rhind, il ne faut pas moins de 5 étapes pour résoudre le problème. S'ils disposaient de l'outil équation, une seule suffisait. Mais les égyptiens n'avaient, comme probablement beaucoup de lecteurs de l'article, pas compris l'idée, sa profondeur et sa nature, de ce qu'est une équation.

Je te présente mes excuses pour l'argument d'autorité. J'essayerais d'éviter à l'avenir cette attitude si contraire à l'esprit WP. Ai-je maintenant présenté des arguments plus convaincants ? Jean-Luc W (d) 17 novembre 2008 à 11:58 (CET)

Sache que je n'accepte pas tes excuses, car tu n'as pas à en donner ! Ton argumentation est très convaincante.

Comme je suis très têtu, je te proposerais de mettre quand-même un paragraphe sur ce que j'appelais la "préhistoire des équations", mais en reprenant ce que tu dis. Ce ne serait pas hors sujet, il me semble, mais au contraire montrerait bien ce que le concept ultérieuer d'équation a apporté à la résolution de problèmes. Car l'objectif a toujours été essentiellement de résoudre des problèmes. À moins que ça n'embrouille trop les lecteurs ?

En fait, ce serait à moi de te présenter des excuses : je débarque comme un matamore en disant "je vais récrire équation" et, avec mes maladresses et questions idiotes, peu à peu, je TE force quasiment à récrire l'article. Ce n'était pas volontaire mais, finalement, ça me plait bien. ---- El Caro ^bla 17 novembre 2008 à 12:27 (CET)

Une piste ?

Merci pour ta gentillesse et ta tolérance. Moi aussi, cela me plait bien d'avoir à expliciter ce que j'ai compris de ce qu'est une équation. De plus, c'est toujours passionnant de farfouiller le passé pour comprendre comment une idée aussi abstraite finie par poindre. Il faut dire que l'affaire n'est pas si simple. L'idée que les babyloniens ont résolu le problème du second degré sans connaître le concept d'équation est un peu déroutant. Si j'ai compris ton idée, on peut imaginer une bafouille du type suivant, rédigée beaucoup trop rapidement et de manière bien maladroite et incomplète :

Un exemple égyptien : l'équation vue comme une balance

Certains problèmes mathématiques consistent à trouver une valeur. On en trouve des exemples très anciens, par exemple chez les égyptiens. Un texte égyptien, dont l'origine remonte aux alentours de 1650 av. J.C. et appelé Papyrus Rhind en donne un exemple : « un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ? ».

Il existe de nombreux outils mathématiques pour résoudre ce type de questions. L'une d'entre elle est très générale et porte le nom d'équation. Elle se fonde sur la notion d'inconnue. Souvent notée x, l'inconnue se comporte comme un nombre, même si sa valeur n'est pas identifiée. Toutes les opérations que l'on peut effectuer sur les nombres peuvent être effectuées sur l'inconnue. Ainsi, x + x est égal à 2.x, c'est à dire au produit de 2 par x. Pour l'exemple cité, on remarque que si le tas est l'inconnue x, alors il est possible d'exprimer de plusieurs manières un tas et son cinquième. Dans un premier temps, on peut écrire : x + x/5 puis :

$(1)\quad x+{\frac {x}{5}}={\frac {5}{5}}x+{\frac {1}{5}}x=\left({\frac {5}{5}}+{\frac {1}{5}}\right)x={\frac {6}{5}}x$

Définition — Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues.

Dans l'exemple cité, l'équation est un outil qui permet de formaliser le problème. Il s'écrit :

$(2)\quad x+{\frac {x}{5}}=21$

Cette forme permet, dans notre exemple, une résolution aisée. Les égalités (1) permettent d'exprimer différemment le terme de gauche de l'équation :

$(3)\quad x+{\frac {x}{5}}={\frac {6}{5}}x=21$

Si deux nombres sont égaux, les produit de chacun des deux nombres par 5 sont encore égaux. Cette règle s'applique toujours pour une équation, ce qui permet de transformer l'équation (3) :

$(4)\quad 6x=21\times 5=105$

Cette règle est très générale. On peut se la représenter comme deux plateaux d'une balance, ayant de chaque coté le même poids. Si l'on ajoute, soustrait, multiplie ou divise chacun des membres de la balance, les deux poids, un dans chaque plateau, restent égaux. Ainsi, il est possible d'ajouter, de soustraire de multiplier ou de diviser chacun des deux membres de l'équation, ce qui permet d'obtenir une nouvelle équation, équivalente à la précédente. Dans l'exemple, on peut diviser par 6 les deux membres :

$(5)\quad {\frac {6}{6}}x=x={\frac {105}{6}}={\frac {3\times 35}{3\times 2}}={\frac {35}{2}}=17+{\frac {1}{2}}$

Les égalités (5) montrent que le tas est égal à 17 + 1/2, le problème est bien résolu. On dit que la valeur 17 + 1/2 est solution de l'équation (1). De manière plus générale :

Solution d'une équation — Si l'inconnue x est remplacée par une valeur, l'équation devient une égalité entre deux nombres. Si l'égalité est vraie, on dit que la valeur est solution de l'équation.

Cette idée d'introduire une inconnue et de formuler le problème sous forme d'équation n'apparaît pas immédiatement. Les mathématiques de l'Égypte ancienne utilisent une autre technique, à l'aide d'approximations successives pour arriver au même résultat.

La solution égyptienne

A faire

Il faudrait terminer en montrant en quoi les méthodes sont différentes. La méthode égyptienne est plus simple car elle ne nécessite pas de concept aussi abstrait que l'inconnue. En revanche, elle a un coût. Ne pas disposer du formalisme de l'équation impose des approximations successives. Dans l'exemple présent, il n'en faut pas moins de 5 pour aboutir.

 

Un exemple babylonien : deux équations à deux inconnues

Un exemple, provenant de Babylone est encore plus ancien. Le problème est exprimé dans ces termes « Un champ rectangulaire possède une aire de 96 et un périmètre de 40. Quelles sont les longueur et largeur du champ ? »

Cette fois ci, on ne dispose plus d'une, mais de deux valeurs à trouver, la longueur et la largeur. Pour faire face à cette difficulté, il est possible d'introduire deux inconnues : x la longueur et y la largeur. En terme d'équations, on formule le problème de la manière suivante :

$2x+2y=40\quad {\text{et}}\quad xy=96$

En divisant par 2 les deux membres de la première équation, on trouve x + y = 20, il devient possible de retrancher x des deux membres de l'équation, pour trouver y = 20 - x. Cette fois ci, si la logique est la même, la forme devient un peu différente. Au lieu de retrancher un nombre de chaque coté, on retranche une inconnue, la démarche est néanmoins parfaitement licite. On peut appliquer à nouveau cette méthode en remplaçant dans la deuxième équation y par la nouvelle expression, on obtient :

$(1)\quad x(20-x)=96\quad {\text{et}}\quad x^{2}-20x+96=0$

Cette fois-ci, on dispose d'une unique équation ne contenant qu'une unique inconnue. La puissance de la méthode présentée ici provient du fait qu'il est possible d'effectuer de nombreuses transformations dans l'écriture de l'équation, ainsi une identité remarquable permet encore d'écrire l'équation (1) sous la forme :

$x^{2}-20x+96=x^{2}-2\times 10x+10^{2}-4=(x-10)^{2}-4=0\quad {\text{et}}\quad (x-10)^{2}=4$

Si x - 10 au carré est égal à 4, alors x - 10 est égal à 2 ou -2. En effet, les deux seuls nombres de carré égal à 4 sont 2 et -2. En ajoutant 10 à l'égalité obtenue, on remarque que x est égal à 12 ou 8. L'équation x + y = 20 montre que y est égal à 8 ou 12. Par définition une longueur est plus longue qu'une largeur, la seule longueur possible est 12 et la seule largeur 8.

L'outil équation permet de résoudre le problème posé. Les babyloniens, pas plus que les égyptiens anciens, n'avaient envisagé l'usage de cette démarche. Une astuce géométrique leur permettaient néanmoins de trouver la solution :

La solution babylonienne

A faire, avec un zoli schéma Cette fois-ci, la méthode babylonienne n'est pas nécessairement plus complexe que celle fondée sur une équation. Encore une fois, elle utilise un formalisme différent de l'équation. A aucun moment, la méthode babylonienne ne fait appel à des opérations sur une grandeur inconnue. En revanche, elle se fonde sur une astuce peu généralisable. Elle ne permet par exemple pas de trouver trois cubes dont la somme des volumes est égale 1, dont la somme des aires de trois faces, prises chacune dans un cube différent est encore égal à 1 et dont la somme des longueurs de trois arrêtes, prises chacune dans un cube différent est encore égale à 1.

 

L'apport de Diophante

Les deux exemples précédents ne sont pas si probant pour mettre en valeur l'intérêt de la méthode. En effet, d'autres techniques permettent de venir à bout de la question. Ce sont des problèmes de nombres entiers et de fractions qui poussent le mathématicien grec Diophante à découvrir l'équation. Les problèmes qu'il se pose sont nettement plus difficiles. On trouve par exemple dans son livre intitulé arithmetica la question suivante « Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré ». Il résoud cette question, pour certains couples de valeurs comme (2, 3). La question se résume à trouver une fraction x tel que 2 + x et 3 + x soit tous deux des fractions au carré. Diophante trouve la solution 97/64, mais cette fois-ci la seule méthode connue est une équation. Aucun des algorithmes ou méthodes géométriques des égyptiens anciens ou des babyloniens ne permet de résoudre une question d'une telle complexité.

L'inconnue maintenant noté x est appelé arithme dans son livre. Cependant, comme son livre traite problèmes s'exprimant à l'aide de nombres entiers et de fractions, cette racine accouche finalement du mot arithmétique et désigne une branche des mathématiques différente de celle des équations. Les équations dont les solutions recherchées sont des nombres entiers, comme celle du dernier théorème de Fermat portent maintenant le nom d'équation diophantienne.

Diophante est suffisamment fier de sa découverte pour demander de faire graver sur sa tombe, un problème qui se résoud bien avec des équations : « Il resta Enfant pendant le sixième de sa vie, après un autre douzième, ses joues se couvrirent de barbe, après un septième, il alluma le flambeau du mariage, cinq ans après il lui naquît un fils, mais celui-ci, enfant malheureux, quoique passionnément aimé, mourut arrivé à peine à la moitié de l'age de son père. Diophante vécut encore quatre ans, adoucissant sa douleur par des recherches sur la science des nombres. »

Les calculs de Diophante

A faire, en restant surtout très simple et limpide

 

Exposé très intéressant. Mais les titres "Un exemple babylonien : deux équations à deux inconnues" et "Un exemple égyptien : l'équation vue comme une balance" peuvent laisser entendre que ces peuples utilisaient des équations, non ? Si on veut insister sur le contraire (en supposant que ce soit une bonne idée, hein, ce qui n'est pas gagné), il faudrait peut-être davantage insister sur leur méthode, et ne donner une méthode moderne qu'après, pour faire clairement ressortir la différence, quitte à être un peu lourdingue dans le style : les notions en jeu ici sont tellement subtiles ! Ce préambule est vraiment délicat. Il mériterait presque un article, où ton texte serait idéal. Mais là, je pense qu'il faut faire clair, net et bref sous peine d'avoir un article en tête de Special:Pages_longues. Il y a encore tellement à dire ! ---- El Caro ^bla 17 novembre 2008 à 22:12 (CET)

Nous sommes d'accord sur la nécessité d'un découpage plus précis et de la non pertinence des titres. De plus, il est trop verbeux et trop long. Ma bafouille pourrait être la trame d'un article nommé inconnue (mathématiques). Mais ne nous trompons pas, avec un potentiel probable de 5000 lecteurs mois, le lecteur cherche probablement à comprendre les concepts d'inconnue, de paramètre et de variable. De toute manière, il est impératif de statuer sur le niveau du lecteur et la nature de ses interrogations.

Il reste à savoir si la première interrogation du lecteur est une question sur l'histoire des sciences où sur la signification de la lettre x et son maniement. Courir après deux lièvres est une recette pour un désastre. Pour affiner mes contributions didactiques, je teste en général ma prose sur un cobaye ayant le profil visé. Je n'ai pas essayé ici, trop certain d'un échec. Mais j'ai appris la vraie difficulté de faire passer une idée nouvelle, même simple et le danger de courir deux lièvres.

Je suis moins sensible que toi sur l'exhaustivité, car j'estime la tâche impossible à remplir pour l'instant. Ce que j'essaie d'éviter, c'est l'article incompréhensible pour le néophyte et qui n'apprend rien à l'expert. Tes exemples sont à mon avis un peu caractéristique de cette difficulté. Les mots équation d'une courbe n'apprennent rien à ceux qui connaissent déjà l'idée et sont incompréhensibles pour ce que j'imagine le gros du public. La connexion entre l'équation et la transcendance de π vise un public vraiment restreint et ceux qui connaissent un peu le sujet ne retrouvent pas leur petit : La question sous-jacente n'est pas l'équation X⁴ = π et une racine d'un polynôme à coefficients entiers de degré une puissance de 2 n'est pas nécessairement constructible. Enfin, les deux derniers exemples sont trop subtils. Pourquoi sont-ce des équations et non pas des identités ? quels sont les inconnues ? En tout état de cause, je ne crois pas qu'un même visiteur cherche en même temps à comprendre le sens du mot inconnu et celui d'équation transcendante ou fonctionnelle. Ceci impose une segmentation du public, un choix des thèmes prioritaires et un découpage subtil. Jean-Luc W (d) 18 novembre 2008 à 10:07 (CET)

Oui, ma section "exemples" arrive trop tôt, ou (inclusif) ces exemples sont mal choisis.

Peux-tu donner ton avis sur l'"équation de Pythagore" ci-dessus ? J'ai l'intuition que cette équation peut nous servir de support et de fil rouge pour une partie du plan. En effet, historiquement, il me semble qu'elle a été un moteur, avec glissement du "problème de Pythagore" (chercher des triplets pythagoriciens comme dans Plimpton 322), recherche de racines carrées (YBC 7289) - sans équation, jusque là, mais avec des techniques intéressantes - puis Diophante, puis le "théorème" de Fermat, puis Galois, puis la démo du théorème de Fermat-Wiles avec des moyens modernes. J'oublie certainement des étapes. Il y a là une progression sur presque 4000 ans qui n'est pas inintéressante.

Cette intuition est à confirmer, bien entendu, car la clarté de l'article doit passer avant le plaisir des rédacteurs. ---- El Caro ^bla 18 novembre 2008 à 15:06 (CET)

Ton idée me semble excellente pour l'article équation algébrique, c'est à dire un pan de la notion d'équation, qui vise un public beaucoup plus haut en gamme. Il commencerait à mon avis par Diophante, avec l'explicitation des triplets pythagoricien à l'aide d'une équation, il continuerait probablement par Brahmagupta en Inde avec les extractions de racines et l'équation diophantienne X² - pY² = 1 avec p premier et la méthode Chakravala au VI^e siècle. Il continuerait par l'équation algébrique en géométrie avec Ibn Sahl et l'école arabe. On retourne alors en France avec Fermat et les équations diophantiennes, puis son échec à allier équation et algèbre pour les questions diophantiennes. Ensuite, les travaux d'Euler et de Lagrange mettent en lumière la première approche algèbrico-géométrie vraiment payante en géométrie avec l'intégrale elliptique (Weil a écrit un papier passionnant sur le sujet). On continue avec Gauss et Galois sur la vision géométrique très différente de l'équation. Ici, les traitements sont essentiellement linéaires. On termine sur la longue montée en puissance de la géométrie algébrique avec Dedekind, Minkowski et Hilbert et le coup de grâce de Mordell.

En bref, on voit le concept d'équation émerger avec de plus en plus de puissance, jusqu'à oublier son origine géométrique, puis une décroissante de l'importance du concept au profit d'une nouvelle géométrie. Weil termine son article par : après quoi l'analyse de Diophante est devenue une branche et non des moindres de la géométrie algébrique. Les rôles se sont inversés. A présent, la mère a élu domicile chez sa fille. Jean-Luc W (d) 18 novembre 2008 à 16:15 (CET)

PS : En plein dans le sujet, je vois : Diophante, Brahmagupta, Ibn Sahl (dont les résultats sont connus chez nous sous le nom de repère cartésien), Fermat, Euler, Gauss, Galois, Dedekind, Minkowski, Hilbert et Mordell. Je ne sais pas trop quoi dire sur Plimpton, leurs calculs de racine me semble bien analytique pour être vraiment dans le sujet. Quand à la recherche des triplets pythagoriciens, on en trouve des biens plus vieux sur des menhirs. A part dire que les problèmes qui sont à un moment traités par des équations sont antérieurs aux équations, je ne vois pas quoi raconter.

PPS : Pour un article sur les équations, je suis plus sceptique. Cette partie ne traite même pas de la moitié du sujet. Il reste toutes les méthodes analytiques utilisée par exemples pour les équations transcendantes ou les méthodes géométriques comme le théorème du point fixe ou celui de théorème de Lax-Milgram pour les équations différentielles. Ces apports sont aussi majeurs que ceux de Galois ou Mordell.

intro

J'ai essayé une nouvelle mouture d'introduction. Qu'en pensez-vous ? ---- El Caro ^bla 18 novembre 2008 à 19:15 (CET)

Une équation n'est pas la même chose qu'une identité, quand bien même toute valeur possible de ses inconnues serait solution. Une identité est une proposition, qui est vraie ou fausse (ou indécidable, mais laissons ce détail de côté pour l'instant) car elle est fermée : elle n'a pas d'inconnue. Une équation est une égalité à laquelle on n'associe pas de valeur de vérité, mais dans laquelle certaines variables ont le statut d'inconnues.

En dehors de l'adjectif « algébrique », qu'est-ce qui te gêne dans l'introduction que j'ai réécrite ? Ambigraphe, le 19 novembre 2008 à 21:49 (CET)

Je n'ai pas dit qu'une équation était la même chose qu'une identité : au contraire, j'ai parlé d'identité pour insister (lourdement ?) sur le fait qu'une équation contienne une inconnue.

Pour la distinction entre identité et égalité, je dirais plutôt le contraire, en suivant le TLFI (tout en bas de la page sur "identité") par exemple.

La nouvelle intro que tu as faite est bien meilleure que la précédente. Dans la "mienne", je m'apprêtais aussi à parler de l'ensemble dans lequel on peut chercher les solutions, ce qui est fondamental. La première phrase ne me parait pas très claire.

Disons qu'on peut sûrement gagner en clarté (plus facile à dire qu'à faire...) mais que, par rapport à l'introduction qu'il y avait avant, c'est le jour et la nuit. Tu as notamment bien élagué l'ancien laïus sur les lettres qui était assez indigeste et qui maintenant est très clair.

L'idée première de l'introduction est à mon avis avant tout la clarté : il ne faut pas essayer d'être exhaustif (notamment en parlant trop tôt de paramètre) au risque de noyer le lecteur. Donc insister sur quatre choses : le problème, l'écriture (avec =, des lettres...), la notion d'inconnue et l'ensemble dans lequel on travaille. Je pense que le plan "historique" qui se prépare montrera bien le lien entre ces 4 notions, et les difficultés qui vont avec.

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El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 05:41 (CET)

Commentaire de jl

J'ai l'impression que les deux introductions sont complémentaires. Celle de Caro est plus simple et celle d'Ambigraphe un peu plus exhaustive. A terme, j'imagine que le travail de Caro est plus adapté à un article qui porterait le nom de inconnue (mathématiques) et celui d'Ambigraphe couvrirait mieux le contenu d'un article dont le titre serait équation, mais cela dépend totalement du découpage choisi. C'est, selon ma compréhension le sens de certaines remarques précédentes de Caro, qui me semblent parfaitement justifiées.

Je pense aussi que l'on peut rendre un peu plus limpide le travail de Caro. La phrase Une équation est une égalité dont l'un au moins des deux membres est exprimé en fonction d'objets mathématiques variables ou inconnus, et qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs de ces objets. est un peu dangereuse, x = x est une équation ainsi que x² + 1 = 0. Les objets mathématiques en questions, comme 1 n'est pas une inconnue et l'inconnu x n'est pas à proprement parler un nombre, car aucun nombre ne vérifie x² + 1 = 0 dans R, mais l'équation fait parfaitement sens. Ce sont néanmoins des détails, je crois que la question clé est celle du découpage. Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 09:10 (CET)

Je ne suis pas d'accord avec cette dernière remarque. Dire que l'un des membres au moins contient un objet inconnu n'empêche pas que l'autre puisse être 1. Et il n'est pas dit non plus que x² + 1 = 0 doive être un nombre, mais un objet inconnu. Néanmoins, si on cherche à résoudre l'équation que tu prends comme exemple, on pourrait dire, a priori, que x désigne un nombre inconnu. Simplement, ce nombre n'existe pas, l'équation n'admet pas de solution réelle. (D'ailleurs, certains mathématiciens ne se sont pas gênés pour imaginer ce nombre qui n'existe pas.) Le cas des équations qui n'ont pas de solution ne doit pas nous bloquer, sinon, en poussant le raisonnement, on ne pourrait plus faire d'opération sur x, puisqu'on risquerait de faire des opérations sur quelque chose qui n'existe pas. Et donc ce serait les anciens Égyptiens qui auraient raison . Cependant, on peut écrire une phrase sur ce problème - à mettre en lien avec les ensembles d'étude dont a parlé Ambigraphe, dont il faudra reparler dans le corps de l'article, car les cas de √2 et i doivent être évoqués, il me semble.

Quant au découpage, tu as entièrement raison : découpage de l'intro et découpage de l'article. La progression "historique" sera-t-elle acceptée ? Je la trouve très intéressante, mais elle ne correspond pas aux habitudes des articles de maths, ce qui risque d'amener à de sévères réticences... ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 10:05 (CET)

Il existe une petite différence de point de vue entre nous. Tes phrases s'interprètent de plusieurs manières. La tienne est parfaitement acceptable, mais les 4000 visiteurs suivront-ils ta logique ? Je crois qu'il est possible d'exprimer la même idée sans erreur d'interprétation possible, mais je crois aussi que nous n'en sommes pas encore là. Je crois qu'il existe une grande tolérance sur les points de vue possibles pour raconter les mathématiques, mais il faut faire attention à deux choses. Un texte comme celui que tu as cité (équation par classique encyclopédia) fait beaucoup de dégâts. Par delà le fait de vieillir le papyrus Rhind de 350 ans, il fait croire que les équations sont connues des égyptiens. Comme de nombreux lecteurs curieux, il semble qu'il t'a abusé. Ensuite, si ton objectif est de faire comprendre ce qu'est une inconnue au néophyte, la ligne directrice doit être le didactisme, l'histoire le support et non l'inverse. Commencer par ce que n'est pas une inconnue peut être très troublant pour un enfant de 12 ans. Cet enfant risque de croire que le tas et son cinquième égale 21 est une équation et ne pas saisir la subtilité du concept et en quoi la découverte de Diophante est une révolution. Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 11:11 (CET)

Qu'est ce qu'une équation ?

En fait, je crois que le problème est encore plus compliqué que ça.

En relisant les différentes sources, il ne semble pas si faux de dire que les Égyptiens ont bien résolu des équations : un tas et sont cinquième sont 21 est une équation. Tout y est : il suffit de traduire mot-à-mot pour obtenir x+x/5=21. Simplement, les Égyptiens n'ont pas vu que c'était une équation, et n'ont pas généralisé leurs recettes.

Il y a une autre erreur à ne pas faire : confondre équation et écriture formalisée (avec x, y et =). Elle est très commune : un professeur actuel pourrait donner le problème égyptien en demandant à ses élèves de le "traduire en équation". Si une phrase écrite en langage courant n'est pas une équation, alors peut-on dire que Diophante et Al-Khawarizmi ont résolu des équations ? ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 12:18 (CET)

Je crois que cela dépend totalement de la définition que tu donnes au mot équation. Si un problème du type machin chose = machin chouette, en déduire machin truc, alors les égyptiens ont en effet résolu des équations. Les écossais sont arrivés au même résultat bien avant, on dispose d'un exemple ou machin chose est égal, soit à la longueur d'une arête d'un polyèdre régulier convexe soit à l'angle entre deux arêtes partageant un même sommet; machin chouette est égal à une autre longueur d'arête ou un autre angle; enfin machin truc est un des cinq solides de Platon. Les druides montrent une connaissance de quelques triplets pythagoriciens deux milles ans avant les premières tablettes babyloniennes. Mais ta définition n'est pas acceptée par les spécialistes.

J'ai relu le Peiffer Une histoire des mathématiques sur la civilisation égyptienne (p 12 à 16 dans l'édition Points de 1986). Elle prend la même position de Eecke, Radford, Heath et les autres historiens des sciences sur cette question. Ils suivent tous la logique de Radfort Cet exemple nous permet de voir que la résolution babylonienne, telle qu'elle nous est parvenue, repose sur un enchaînement d'opérations numériques. Il n'y a pas une inconnue mêlée aux calculs. Diophante d'Alexandrie (3e siècle ap. J.-C.), au contraire, dans son oeuvre Arithmétique, introduit une inconnue sur laquelle il fait des calculs, pour résoudre des problèmes comme le précédent. En effet, la définition d'équation n'est pas loin d'un langage symbolique. Ce n'est pas le hasard si les deux auteurs crédités de cette découverte en invente un. Tu trouves celui de de Al-Khawarizmi dans le livre de R. Rashed : The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Voilà un résumé de celui de Diophante :

Le langage algébrique chez Diophante

Nous avons vu précédemment que Diophante introduit certains symboles pour désigner le carré, le cube, etc et qu'il utilise le symbole ç pour désigner l'arithme. A l'aide de ces symboles il va construire un langage (avec une syntaxe bien définie) qui rend possible de représenter et les espèces et les expressions (ces dernières étant - rappelons-le - d'espèces (i. e. des monômes) opérées entre elles). Les nombres invariants déterminés sont représentés en utilisant la notation alphabétique grecque (9); par exemple : α désigne 1, β désigne 2, γ désigne 3, …, θ désigne 9, ι désigne 10, κ désigne 20, λ désigne 30, …, q désigne 90. Le nombre 12 est désigné par ιβ ,le nombre 23 est désigné par κγ , et ainsi de suite. Le tableau suivant résume la correspondance pour les premiers entiers :

1 – 9 : α β γ δ ε ζ η θ 10 – 90 : ι κ λ μ ν ξ ο π q

Dans le langage algébrique de Diophante, notre monôme 3x² correspond à l'espèce Δyγ. De même, 4x⁵ correspond à ΔΚyδ, alors que 33x correspond à ςλγ. Pour écrire 33x + 8, par exemple, Diophante place à droite le 8, qui est un nombre invariant déterminé (alors que 33 n'en est pas un : il indique qu'on a 33 arithmes), séparés par la lettre M du reste de l'écriture ςλγΜη. De même, 3x2 + 12 s'écrit :

ΔyγΜιβ

Les expressions se forment par juxtaposition. Ainsi, l'expression ΔΚyδΚyεΔyκςλγΜη correspond à 4x⁵ + 5x³ + 20x² + 33^x + 8. La soustraction est dénotée par |Λ Les termes négatifs dans une expression sont placés à la fin. Ainsi, 2x³ – x² – 2x + 8 s'écrit : .

ΚyβΜη |Λ Δyαςβ

Il est important de remarquer que l'arithme ne figure pas explicitement dans les puissances d'ordre ≥ 2. Ainsi, Ky β signifie 2x³; de même, Δyα signifie x². En effet, la méthode de Diophante, comme on peut l'apprécier déjà dans l'exemple précédent, met en scène seulement une inconnue: il n'y a donc pas lieu de préciser de quelle puissance il s'agit. D'autre part, étant donné que Diophante ne considère que des nombres positifs, une expression de type |Λ Δyαζβ n'a pas de sens : le symbole |Λ ne peut figurer au début d'une expression mais seulement à l'intérieur d'une expression. À l'origine, le symbole, chez Diophante, correspond à une "désignation abrégée", comme nous l'avons remarqué au §2.1. Il s'agit en principe d'une utilisation des symboles en vue d'abréger le texte où l'on décrit la résolution d'un problème. Mais l'introduction de la syntaxe permet de créer un langage avec lequel on peut représenter (d'une façon fort efficace d'ailleurs) les opérations entre l'inconnue, les puissances de celle-ci et les nombres invariants déterminés. Or, son efficacité ne se restreint pas uniquement au niveau des calculs. La symbolisation permet, en effet, d'organiser les opérations pertinentes à faire en vue d'isoler l'inconnue, comme on verra sur un exemple au §4. De par le caractère même de la méthode diophantienne (que nous analyserons plus en détail au §4), le langage mis en oeuvre par Diophante aide la pensée à se dégager du contexte numérique dans lequel le problème est posé et de se concentrer sur un calcul formel, c'est-à-dire un calcul qui tient compte seulement de la forme (ειδος ) des expressions.

 

En conclusion, aucune des sources d'un historien des sciences que je connais place l'invention de l'équation chez les égyptiens, même s'il est à déplorer que nombre de sites de vulgarisation font un amalgame que les spécialistes estiment déplorable. Pour moi, il existe une équation quand il existe une inconnue sur lequel on effectue des opérations, pas nécessairement avec un langage symbolique. Proposons, dit Diophante, que la somme des nombres forme 20 unités, et que leur produit forme 96 unités. Que l'excédent des nombres soit 2 arithmes. Dès lors, puisque la somme des nombres est 20 unités, si nous la divisons en deux parties égales, chacune des parties sera la moitié de la somme, ou 10 unités. Donc si nous ajoutons à l'une des parties, et si nous retranchons de l'autre partie, la moitié de l'excédent des nombres, c'est-à-dire 1 arithme, il s'établit de nouveau que la somme des nombres est 20 unités, et que leur excédent est 2 arithmes. En conséquence, posons que le plus grand nombre est 1 arithme augmenté de 10 unités qui sont la moitié de la somme des nombres, donc le plus petit nombre sera 10 unités moins 1 arithme, et il s'établit que la somme des nombres est 20 unités et que leur excédent est 2 arithmes. Il faut aussi que le produit des nombres forme 96 unités. Or leur produit est 100 unités moins un carré d'arithme, ce que nous égalons à 96 unités, et l'arithme devient 2 unités. En conséquence, le plus grand nombre sera 12 unités et le plus petit sera 8 unités, et ces nombres satisfont la proposition (cf Eecke au début de son livre). Je ne crois pas que Radfort confond équation et écriture formalisée quand il écrit : Cette résolution nous permet de voir qu'avec Diophante nous sommes en présence d'un changement conceptuel dans la façon d'aborder certains problèmes mathématiques : une quantité inconnue est mise en scène et cette quantité, l'arithme, va être prise en compte dans les calculs : on va opérer avec elle. Personnellement je partage la sensibilité de Claude et d'Ambigraphe qui donne un sens beaucoup plus précis au mot équation et qui estime que le théorème de Pythagore n'en est pas une. Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 16:20 (CET)

Une équation est un problème posé sous la forme d'une égalité entre différentes quantités dont une au moins est inconnue. De ce point de vue, une courbe n'a pas d'équation à proprement parler et ce terme est alors utilisé par abus de langage, ce qui est fréquent en mathématiques.Claudeh5 (d) 20 novembre 2008 à 16:31 (CET)

La définition que tu proposes est celle reprise par les historiens des sciences. Il faut alors définir ce mot subtil qu'est l'inconnue et particulièrement ses propriétés algébriques : L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme indique Diophante. Nos druides s'étaient posés la question de deux nombres entiers dont la somme des carrés est aussi un nombre carré. On a bien une égalité entre différentes quantités dont deux sont inconnues. Mais, comme rien n'indique que nos druides avaient conscience des propriétés algébriques des inconnues, on ne les crédite pas de l'invention de l'équation. Je crois que l'idée des arabes est de considérer une équation comme x² + y² = 1. Elle correspond formellement exactement à ta définition. L'ensemble des solutions est constitué de couples (x, y) formant un cercle. Ce qui justifie l'abus de langage. Comme il ne faut pas trop abuser, j'ai l'impression que l'on parle de variable dans ce cas particulier. Il existe évidemment un amalgame subtil entre variable au sens de l'équation et une variable de fonction. Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 17:00 (CET)

Ben voilà : en vous poussant dans vos retranchements, vous avez sorti une très belle définition du mot équation ! Si un Candide comme moi comprend, c'est qu'on ne doit pas être loin de la clarté voulue et de l'introduction encyclopédique que wikipedia mérite. Merci pour votre patience.

Pour l'abus de langage dont parle Claudeh5, je pense qu'il peut être réglé relativement facilement (comparé aux autres écueils de cet article) par une ou deux phrases explicatives. ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 17:08 (CET)

La définition est-elle si différente de celle d'Ambigraphe : une équation est une égalité entre deux expressions et qui restreint l'ensemble des valeurs possibles prises par ses différentes variables aux seules valeurs pour lesquelles l'égalité est vraie. la mienne Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. ou celle plus précise de Radfort Diophante commence par énoncer une condition de nécessité sur les paramètres, s'il y a lieu (15); ensuite il exprime les nombres cherchés (les inconnues du problème) en termes de cette inconnue opérationnelle qu'est l'arithme. Une fois cette étape franchie, une mise en équation a lieu, à partir des conditions du problème. Ensuite, des opérations sont effectuées sur l'équation obtenue afin de dégager la valeur de l'arithme. L'essentiel est d'arriver à des conclusions qui ne nient pas l'histoire des sciences et de ne pas considérer les druides de Carnac comme les inventeurs de l'équation. Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 17:25 (CET)

Ta définition citée ici et celle d'Ambigraphe sont à peu près les mêmes. Mais il manque : "il existe une équation quand il existe une inconnue sur lequel on effectue des opérations", que tu as rajouté plus haut, et que j'ai compris comme étant un point indispensable, qui différencie "problème avec égalité et inconnue à chercher" d'équation. ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 17:36 (CET)

Sur la définition d'ambigraphe, "En mathématiques, une équation est une égalité entre deux expressions et qui restreint l'ensemble des valeurs possibles prises par ses différentes variables aux seules valeurs pour lesquelles l'égalité est vraie." je ne suis évidemment pas d'accord pour les deux raisons suivantes: outre que je ne comprends pas le sens du "et" qui suppose un élément précédent le "et" que je ne vois pas, on n'y insiste pas assez sur le fait qu'il s'agit fondamentalement d'un problème et que ce problème n'est pas toujours résoluble. L'introduction récente (un peu plus d'un siècle) d'un ensemble solution, éventuellement vide, est dans un certain sens un artifice.De plus, l'introduction dans la définition du terme "variable" ne me paraît pas souhaitable: il n'y a pas de variable dans une équation, seulement des paramètres (seuls éléments succeptibles de varier), le reste est fixe, ou inconnu.Claudeh5 (d) 20 novembre 2008 à 20:18 (CET)

Tu as raison de contester la présence de ce « et » superfétatoire (j'adore ce mot). Sur le fait que l'équation est fondamentalement un problème, on ne peut nier que les équations de Maxwell ou l'équation d'une droite partagent l'emploi de ce même terme. Abus ou pas, je ne sais pas, mais il me semble plus prudent d'évoquer la vision comme problème au deuxième alinéa de l'introduction (bien sûr, je ne demande qu'à être convaincu du contraire, au risque de décevoir les physiciens).

La résolubilité ou non d'un problème mériterait au moins une phrase, tu as raison. Je vais y réfléchir.

Les inconnues ne seraient donc pas des variables ? Je suis perplexe : il s'agit pourtant d'un symbole de notation pour un objet mathématique défini seulement par l'ensemble des valeurs auquel il peut appartenir. Les paramètres sont aussi des variables. Ambigraphe, le 20 novembre 2008 à 21:34 (CET)

Evidemment non, les inconnues ne sont pas des variables. Supposons qu'on veuille résoudre x^2-a=0 dans R. On va trouver x=sqrt(a) et éventuellement x =-sqrt(a). Donc x est fixe ! Sa "variabilité", le nombre de solutions... ne dépendent que de la seule quantité a qui est ici un paramètre. Si a <0, pas de solution. Si a>0, deux solutions. Si a=0 une seule solution. Ce qui varie ce sont les paramètres. Les solutions, elles, ne varient pas: elles sont fixées par les paramètres.Dire qu'une inconnue x est une varaible suppose de lui permettre de prendre différentes valeurs arbitraires, ce qui n'est pas possible.Claudeh5 (d) 21 novembre 2008 à 07:10 (CET)

J'ai l'impression que tu te contredis, mais c'est sans doute parce que je ne comprends rien à rien. Tu écris « x est fixe » juste après avoir reconnu qu'il pouvait prendre deux valeurs, qui elles-même dépendent d'un paramètre. Le fait que le paramètre guide les variations de x n'est pas un argument contre le caractère variable de x.

Ce qui n'est pas variable, c'est ce qui est constant : les chiffres et nombres notés en chiffres, les symboles d'ensembles de nombres et ceux de certains nombres : π, e, i… les noms de fonctions exp, cos, sin… et j'en passe. Ambigraphe, le 21 novembre 2008 à 18:57 (CET)

Qu'est-ce qu'une variable ?

Il y a manifestement désaccord sur la notion de variable. Commençons par nous documenter.

• Le TLFI définit la variable comme « symbole, terme, phénomène observable auquel on peut attribuer différentes valeurs prises dans un ensemble », antonyme de « constante ». L'inconnue y est simplement une « valeur à déterminer », tandis que le paramètre est une « variable susceptible de recevoir une valeur constante pour un cas déterminé et qui désigne certains coefficients ou certaines quantités en fonction desquels on veut exprimer une proposition ou les solutions d'un système d'équations ».
• Le Petit Robert de la langue française définit la variable comme « symbole ou terme auquel on peut attribuer plusieurs valeurs distinctes à l'intérieur d'un domaine défini » et définit l'inconnue mathématique comme « Variable à déterminer pour connaître la solution d'un problème ». Un paramètre est alors une « quantité à fixer librement, maintenue constante, dont dépend une fonction de variable dépendantes, une équation ou une expression mathématique ». C'est aussi une « variable en fonction de laquelle on exprime chacune des variables d'une équation ».
• Le Dictionnaire historique de la langue française relève la définition de variable : « élément dont la valeur peut varier, n'est pas assignée avec des emplois plus généraux pour élément qui varie en fonction d'autres éléments ». Il n'y a pas de définition d'inconnue, en revanche l'entrée « paramètre » est plus fournie :
  « en algèbre […] nombre figurant comme une variante dans une expression ou une équation. […] En raison de l'ambivalence du concept, suggérant tantôt la notion de « variable », tantôt celle de « constante », paramètre est rapporté à un élément de base variable entrant dans l'élaboration d'un ensemble qui constitue un tout. »
• Le Dictionnaire de mathématiques élémentaires ne nous offre pas d'autre définition de « variable » que celle de Weyl : « Nul ne peut dire ce qu'est une variable » ou celle d'Euler : « Une quantité variable est une quantité indéterminée ou, si l'on veut, une quantité universelle, qui comprend toutes les valeurs déterminées. » En revanche, il y est écrit comment « reconnaître une variable » :
  « On a affaire, explicitement, à des variables quand il s'agit, en algèbre, de résoudre des équations ou des systèmes d'équations […].
  L'article « Inconnue » confirme que « plutôt qu'"inconnue", il serait préférable de dire ou au moins de penser "variable"; ce qu'on connaît en effet de cette inconnue, c'est qu'elle représente une quantité variant dans un ensemble donné ».

Pour moi, ce terme relève du vocabulaire du traitement mathématique, à l'instar de « inconnue », « équation », « factorisation », « résolution » : ce sont des termes qui peuvent être proprement définis mais qui n'ont pas de définition mathématique. Que penser de ces définitions ? Ambigraphe, le 21 novembre 2008 à 16:57 (CET)

réponse

(pour moi) une variable est une quantité qui peut prendre des valeurs arbitraires, gouvernées seulement par ma volonté. Pour ce qui est des solutions d'une équation, les solutions ne sont en rien arbitraires: l'équation x²=a admet deux solutions réelles ou complexes (dans C) notées respectivement sqrt(a) et -sqrt(a) sauf dans le cas où a=0 où il n'y en a qu'une seule. L'ensemble solution est donc dans tous les cas parfaitement fixe en fonction de a qui est ici un paramètre (variable). Mais les solutions ne sont absolument pas arbitraires donc de ce point de vue sont fixées par la valeur a choisie. Je ne vois donc pas comment les solutions seraient des variables qui dépendraient d'autres variables. Si les solutions sont parfaitement déterminées en fixant la valeur des paramètres, ce ne sont pas des variables. Pour te donner un exemple d'une autre nature, un esclave exécute les ordres de son maître. Il est donc amené à faire différentes choses. Pour autant, cette possibilité de faire différentes choses ne le rend pas libre pour autant, même si son maître est tout à fait capable lui aussi de faire la même chose. L'ensemble solution est totalement assujetti aux paramètres donc n'est en rien libre.Mais les paramètres le sont (dans une certaine mesure, éventuellement).D'ailleurs supposons que l'on fasse varier une solution. Cela fait alors varier un ou plusieurs paramètres. Donc une solution n'est en rien une variable.

Je relève d'autre part aucune contradiction entre ma position et celle du TFLI (sauf sur l'antinomie), ni avec celle du dictionnaire historique de la langue française. Tout juste je relève une contradiction avec le Robert en ce qu'il laisse des varaibles dépendrent d'autres variables, ce qui à mon avis est une contradiction de la notion de variable. A mon avis, le contraire de variable n'est pas constant mais contraint.

Dans l'article variable on trouve "En mathématiques une variable est un nom, un symbole ou une lettre parfois indexée, représentant une quantité inconnue ou quelconque appartenant à un ensemble donné. Mathématiquement, on distingue variable et inconnue qui sont toutes deux représentées par des symboles. Si le symbole fait l'objet du système d'équations suffisant, on peut calculer sa valeur, c'est à dire la quantité qu'il remplace. Dans ce contexte, l'utilisation du mot variable est abusif car la variable aurait une valeur à priori inconnue, mais fixée."

Claudeh5 (d) 21 novembre 2008 à 19:47 (CET)

En fait, pour toi le mot « variable » signifie donc « libre » ? Ni la volonté ni l'arbitraire n'apparaissent dans les différentes définitions de « variable » ci-dessus. Une variable n'a pas besoin d'être libre pour varier, de même que ton esclave n'est pas forcément fixe.

Tu écris que « l'ensemble solution est donc dans tous les cas parfaitement fixe », ce que je préciserais sans que tu me contredises en « l'ensemble solution est fixe pour chaque choix de paramètres ». Mais c'est bien l’ensemble des solutions qui est fixe. À l'intérieur de celui-ci, l'inconnue est variable. Ambigraphe, le 21 novembre 2008 à 22:11 (CET)

On ne va pas se chamailler indéfiniment sur la conception de chacun des inconnues, variables ou non. Et je crois que Weyl avait raison de dire qu'on ne sait pas ce qu'est une variable. Je propose donc qu'on n'en parle pas, se limitant au concept vague (primaire ?) d'inconnue. Par contre on peut dire tout de même qu'en général l'ensemble des solutions est fini mais qu'il peut y avoir dans certaines équations un certain degré d'indétermination de la solution. Exemple: cos(x)=1 dans l'ensemble des réels a pour solution x=2k pi. Ici l'ensemble des solutions est infini, la solution s'exprime par un paramètre k qui l'identifie bien que n'apparaissant pas dans l'équation proposée. L'équation admet donc un degré d'indétermination figuré dans la solution par le paramètre k. Le degré d'indétermination n'est généralement pas connu à priori. On peut aussi dire qu'en affaiblissant les contraintes que doit satisfaire une inconnue, on augmente le degré d'indétermination.Claudeh5 (d) 22 novembre 2008 à 09:38 (CET)

Dire que l'ensemble des solutions d'une équation est en général fini me parait très restrictif. L'ensemble des couples (x,y) de réels vérifiant l'équation 2x+3y=5 est infini et est représenté graphiquement par une droite d'équation 2x+3y=5 on ne peut pas dire sans référence à l'appui que le terme d'équation de courbe ou de surface est un abus de langage. L'ensemble des fonctions dérivables sur R et vérifiant l'équation différentielle f'=f est infini. HB (d) 22 novembre 2008 à 19:40 (CET)

tout dépend du statut que l'on donne aux différents objets ! l'équation 2x+3y=5 n'admet qu'une seule solution x = 5/2 - 3y/2 ! (je considère donc y comme un paramètre...).Claudeh5 (d) 22 novembre 2008 à 22:08 (CET)

Définitions référencées

En lisant cette page forte intéressante et les débats qu'elle engendre ils devraient avoir lieu sur la page de discussion de l'article et non sur une sous-page utilisateur, je me dis qu'au lieu de construire une définition personnelle et sujette à débat de ce qu'est une équation, il serait bon d'aller à la pêche aux définitions référencées de cette notion, quitte ensuite à les analyser, les confronter et éclairer alors seulement ensuite l'aspect historique de l'apparition de la première équation. je commence donc les hostilités. HB (d) 22 novembre 2008 à 19:40 (CET)

• Soient f et g deux applications d'un ensemble E dans un ensemble F la relation f(x)=g(x) s'appelle équation et l'élément x de E inconnu. Tout élément x de E pour lequel la relation est vraie s'appelle solution de l'équation. La recherche de l'ensemble des solutions s'appelle résolution de l'équation (Dictionnaire des mathématiques modernes, Lucien Chambadal, 1969)
• « Si, dans une égalité, on introduit une variable, […] ce n'est plus une égalité. […] Aussitôt que la valeur de vérité d'une écriture comportant le signe "égal" dépend de la valeur de la variable, c'est une équation. » Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Stella Baruk.
• ....

concernant la définition de Chambadal, elle me paraît intéressante mais difficile à expliquer simplement. Dans le formalisme bourbakiste, une relation est une relation binaire donc un sous-ensemble du produit cartésien ExF. x, l'inconnue, n'est rien d'autre qu'un élément du graphe de la relation binaire. Il faudrait définir la notion d'application, ... D'autre part, que veut réellement dire "la relation f(x)=g(x)" ? faut-il introduire dans cette affaire le noyau en disant que l'ensemble des solutions de f(x)=g(x) est le noyau de f(x)-g(x) ? Enfin, pitié, pas de "s'appelle" ! Dites "est appelé" mais à priori, une valeurs de x pour laquelle la relation est vraie ne s'appelle pas : elle sait qui elle est.Claudeh5 (d) 22 novembre 2008 à 21:56 (CET)

Pour le "s'appelle" s'adresser à Chambadal . Cette définition est très générale, f et g n'ont pas de raison d'être linéaire donc il est possible que l'on ne puisse pas définir le noyau de f-g, il n'est pas même sûr que l'on puisse calculer f-g. Je suis d'accord que cette définition, limpide dans son formalisme et sa généralité elle regroupe me semble-t-il tous les cas d'équation (algébrique, différentielle, fonctionnelle...), risque d'être difficile à faire passer en tête d'article, C'est pourquoi je souhaite que l'on fasse une recension de toutes les définitions et qu'on essaie éventuellement ensuite de présenter une version vulgarisée qui s'approche d'une des définitions référencées que l'on aura trouvées. HB (d) 22 novembre 2008 à 22:35 (CET)

Le débat plus haut porte sur les définitions de l'inconnue et de la variable, pas sur celle de l'équation. La définition de Chambadal me semble très hermétique car elle réduit la problématique de l'équation à un formalisme qui fait l'impasse sur les vraies difficultés. La définition de Baruk est loin d'être parfaite mais elle me semble plus adaptée à un public néophyte. J'ai juste essayé de consolider cette définition et de lui donner toute l'étendue de son emploi. Ambigraphe, le 23 novembre 2008 à 00:05 (CET)

Nouvel introduction

J'ai essayé de récrire une intro en reprenant celle d'Ambigraphe et en faisant une synthèse de ce qui a débattu ici. Elle est sans doute encore à remanier, mais les idées y sont-elles, sans "approximations dangereuses" ? ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 17:55 (CET)

Pour moi, elle est difficilement améliorable. Une remarque un peu plus importante que les autres, j'aurais tout de même introduit la notion de paramètre, qui permet d'un seul coup de résoudre une famille d'équations au lieu d'une unique. Si ce thème est traité dans l'article, il faut l'introduire. Les autres remarques sont vraiment très mineurs. Je n'aurais pas parlé d'abus pour l'équation d'une courbe. La définition que tu donnes colle exactement avec celle annoncée et sourcer cet abus est un peu difficile. Ensuite, j'imagine plus parlant l'image qu'a choisi Ambigraphe pour l'introduction. Elle illustre mieux le cœur du sujet, à mes yeux. Enfin, une dernière remarque pour le choix de l'équation exemple. Celui choisi est-t-il plus judicieux que y = 2.x + 1. L'équation affine est plus simple et peut être préférée, mais les esprits chagrins diront que la courbe associée est un peu droite. Je sais bien qu'une droite est un cas particulier de courbe, mais certains lecteurs ne vont-ils pas être troublés? Jean-Luc W (d) 20 novembre 2008 à 18:46 (CET)

Paramètre : je pense qu'il faut en parler dans l'article, mais là, dès le début, je trouvais ça un peu difficile à faire comprendre... Sinon, je suis d'accord avec toi, mais comment faire ? Ambigraphe a essayé, mais je trouve que la mention des paramètres complique son introduction. Faut-il que l'intro soit exhaustive, ou doit-on laisser ce concept de paramètre uniquement aux lecteurs plus "experts" qui ne se contenteront pas de lire cette intro pour avoir une idée de ce qu'est une équation ? Le ratio (nombre de lecteurs largués)/(nombre lecteurs satisfaits de voir un mot sur les paramètres) me parait à première vue assez faible, en tout cas avec ce que je me sens capable d'écrire.

Abus : c'était pour faire plaisir (voire amadouer, s'il en était besoin) Claudeh5. Dans les deux cas, la lâcheté l'a emporté sur l'esprit scientifique.

Mais il me ferait passer pour l'ogre du coin !Claudeh5 (d) 20 novembre 2008 à 20:21 (CET)

Pour l'exemple, je n'ai pas de préférence. Tu as sans doute noté qu'il n'est pas fait mention de "courbe", justement. Disons que le cercle est plus... plus quoi ? Je n'en sais rien. Ça a été au feeling, encore. Alors que la droite a l'avantage d'être compréhensible par un plus grand nombre : les gens qui ont étudié les équations de cercle à l'école ont sans doute vu les droites avant. Mais ce dernier argument risque de ne pas tenir si on parle de paramètre, car, à ce moment-là, le niveau exigé pour lire cette intro va augmenter nettement.

Pour l'image, OK, mais avec un commentaire, alors. Car x²=4, hors contexte, c'est juste une égalité. Cette remarque vaut aussi pour "mon" image, d'ailleurs. ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 20:05 (CET)

J'ai modifié l'exemple pour donner un exemple de paramètre et de droites (deux lièvres à la fois, rarement judicieux) . Est-ce mieux ? ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 20:30 (CET)

Une équation est un problème posé sous la forme d'une égalité entre différents objets mathématiques dont un au moins est inconnu.(pour couvrir le cas des équations fonctionnelles).Claudeh5 (d) 20 novembre 2008 à 20:32 (CET)

Oui. Du coup, je me suis senti obligé de rédiger différemment la deuxième phrase. ---- El Caro ^bla 20 novembre 2008 à 20:42 (CET)

Je regrette que l'introduction que tu proposes ne mentionne même pas le terme « équation » dans la première phrase. Tu insistes un peu trop à mon goût (et en tout cas trop tôt dans l'article) sur le fait que de nombreux problèmes se présentent sous la forme d'une équation. C'est important, mais pas prioritaire. En revanche, le fait que la plupart des équations permettent de traiter des problèmes est fondamental. Tu vois la nuance ?

Ce n'est pas pour rien que je milite (pas très ostensiblement, certes) contre l'usage du pronom « on » dans les articles. « On parle d'équation lorsqu’on peut faire des opérations sur la ou les inconnues afin de résoudre le problème. » Qui peut faire ces opérations ? surtout pour résoudre le problème ! N'importe qui ? Les mathématiciens ? Le logicien parfait ? D'abord il n'y a pas que sur les inconnues qu'on peut faire des opérations (le changement de variable est presque secondaire par rapport aux transformations algébriques). Ensuite, comme l'a souligné Claudeh5, on ne peut pas forcément résoudre le problème, ce ne peut donc pas être une caractérisation de l'équation.

En tout cas, merci pour ton travail sur le sujet. Nous allons certainement arriver à quelque chose de bien tous ensemble. Ambigraphe, le 20 novembre 2008 à 22:07 (CET)

Nouvelle nouvelle intro

J'ai remanié les deux premières phrases pour répondre à certaines remarques, puis écrit une deuxième version possible avec le mot équation au début. On peut même proposer de mettre les deux : version2 puis version1. Il manque toujours un mot sur les paramètres, mais je pense que ce n'est pas urgent : une erreur serait de vouloir produire dès maintenant un AdQ au risque de se donner trop de difficultés — celui qui veut en savoir plus sur les paramètres saura chercher plus loin dans l'article, quand ça y sera. Un article "potable" serait déjà suffisant, dans un premier temps. La publication sur l'espace encyclopédique amènera sûrement de nouvelles remarques et critiques qui pourront nous éclairer. ---- El Caro ^bla 21 novembre 2008 à 21:31 (CET)

problèmes classiques

Les équations posent traditionnellement plusieurs problèmes. Les deux plus classiques sont

1. l'existence de solutions à l'équation proposée.
2. l'unicité de la solution.

le troisième problème est celui du calcul effectif de la solution (ou d'une solution). Dans la majorité des cas, on ne sait pas calculer exactement une solution. Cela soulève ainsi le quatrième problème, celui du calcul approché d'une solution, voire, quand il y a plusieurs solutions leurs estimations, même grossières.

Ici, il faut rappeler que toute équation peut se formuler en un problème de minimisation: l'équation f(x,y)=0 (où x désigne les inconnues et y les paramètres) peut toujours s'écrire sous la forme "trouver le minimum de |f(x,y)|". On ramène ainsi un problème de calcul effectif de la solution à un problème de suites minimisantes pour lequel existe tout un éventail de méthodes.

Le problème suivant est d'obtenir des solutions "généralisées", soit parce que les solutions ordinaires ne sont pas satisfaisantes à certains égards, soit parce que l'équation n'admet pas de solution au sens classique, soit parce que les solutions sont trop nombreuses. La mise sous forme de problème d'optimisation permet alors souvent de définir des solutions non classiques, en affaiblissant au besoin les contraintes. Claudeh5 (d) 22 novembre 2008 à 17:24 (CET)

Je suis complètement d'accord avec tout ceci. Ambigraphe, le 23 novembre 2008 à 00:06 (CET)

Un exemple d'affaiblissement ou de solutions généralisées: on a un système linéaire Ax=b. Si A est inversible, on trouve immédiatement x en utilisant la matrice inverse. Mais si A n'est pas inversible, on peut poser le problème de trouver x tel que ||Ax-b|| soit le plus petit possible. Il y a alors une solution généralisée, qui coïncide avec le problème classique dans le cas A inversible.

Un second exemple est donné par le processus itératif d'Emile Picard pour les équations différentielles. Le processus fonctionne même si les solutions ne sont pas des solutions au sens classique.Claudeh5 (d) 23 novembre 2008 à 08:29 (CET)

Oui encore, à ceci près que la phrase « Si A est inversible, on trouve immédiatement x en utilisant la matrice inverse » fait hurler de rire les analystes numériciens avec leurs matrices carrées d'ordre approchant le million. Il serait judicieux d'en toucher un mot à ce moment-là. Ambigraphe, le 23 novembre 2008 à 12:56 (CET)

(Je te rappelle ou t'apprends que je suis diplomé d'analyse numérique). Mon propos ne traitait pas de l'aspect approximation mais de l'aspect théorique. Il est vrai que certains problèmes mènent à des matrices mal conditionnées, que les questions de consistance et de stabilité des méthodes numériques se posent, ... D'où le quatrième problème soulevé, celui du calcul approché d'une solution, qui est d'ailleurs souvent la seule voie praticable. Une dernière remarque: personne ne sait inverser une matrice pleine d'ordre 1 million. Les problèmes pratiques donnant lieu à des matrices de plusieurs centaines de milliers de noeuds (la méthode des éléments finis par exemple) font apparaître en fait des matrices très creuses dont le profil, après un renommage adéquat des noeuds est petit.Claudeh5 (d) 23 novembre 2008 à 15:52 (CET)

plan

Le problème posé par un article comme équation est qu'il doit couvrir un maximum de situation sans être trivial, apporter des informations pertinentes sans entrer dans des détails qui feront nécessairement l'objet d'articles séparés. Le plan actuel proposé ne me convient pas du tout. Mais pas du tout du tout: on se perd dans un saucissonnage de problèmes relatifs à des équations particulières, des considérations historiques, certes intéressantes mais qui doivent faire l'objet d'une partie en dernier ressort ou un article séparé afin de ne pas rebuter le lecteur. Le travers est le caractère par trop trivial du plan actuel qui ne permettra sûrement pas d'en extraire un plan cohérent, lumineux. Je vous propose donc (aie ! je vais me faire mordre) un plan tout différent:

1. définition d'une équation: une équation est un problème posé sous forme d'égalité entre différents objets mathématiques dont l'un au moins est inconnu. On doit indiquer le domaine dans lequel le problème est posé.
2. inconnues/paramètres: Le problème faisant apparaître différents objets mathématiques, certains sont supposés connus et seront qualifiés de paramètres. Les autres objets dont la valeur n'est pas connues sont les inconnues de l'équation. Cette classification entre inconnues et paramètres est arbitraire mais il doit y avoir au moins une inconnue: l'exemple de l'équation 2x+3y=5 dans R fait apparaître deux objets mathématiques, x et y. Si l'on admet que x est une inconnue, le statut de y est alors arbitraire: soit y est aussi une inconnue et on aura des couples (x,y) de solutions en nombre infini, soit y est considéré comme un paramètre et l'équation n'a alors qu'une seule solution x=5/2-3y/2.
3. résolution: résoudre une équation consiste à trouver toutes les inconnues du problème dans le domaine de résolubilité du problème. Par exemple l'équation, d'inconnue x, 3x+3y=5 admet une seule solution x=5/3-y dans R mais n'en admet aucune dans Z.
4. équations équivalentes: deux équations sont dites équivalentes lorsqu'elles ont exactement les mêmes solutions. On a les propositions suivantes
   1. on obtient une équation équivalente à la première si l'on ajoute à chaque membre le même terme (sous réserve de compatibilité du terme avec les autres)
   2. on obtient une équation équivalente à la première en multipliant par une quantité non nulle chaque membre (sosu réserve là encore du sens)
5. problèmes classiques et solutions généralisées: Les équations posent traditionnellement plusieurs problèmes. Les deux plus classiques sont
   1. l'existence de solutions à l'équation proposée.
   2. l'unicité de la solution.
   3. le troisième problème est celui du calcul effectif de la solution (ou d'une solution). Dans la majorité des cas, on ne sait pas calculer exactement une solution. Cela soulève ainsi le quatrième problème, celui du calcul approché d'une solution, voire, quand il y a plusieurs solutions leurs estimations, même grossières.
   4. formulation en terme d'optimisation: toute équation peut se formuler en un problème de minimisation: l'équation f(x,y)=0 (où x désigne les inconnues et y les paramètres) peut toujours s'écrire sous la forme "trouver le minimum de |f(x,y)|". On ramène ainsi un problème de calcul effectif de la solution à un problème de suites minimisantes pour lequel existe tout un éventail de méthodes.
   5. Le problème suivant est d'obtenir des solutions "généralisées", soit parce que les solutions ordinaires ne sont pas satisfaisantes à certains égards, soit parce que l'équation n'admet pas de solution au sens classique, soit parce que les solutions sont trop nombreuses. La mise sous forme de problème d'optimisation permet alors souvent de définir des solutions non classiques, en affaiblissant au besoin les contraintes.
   6. Dans certains problèmes, on peut se poser la question de la continuité de la solution par rapport aux paramètres, voire de trouver des solutions "exotiques".
6. d'autres définitions: chambadal, ...
7. historique
8. quelques exemples classiques.

Claudeh5 (d) 23 novembre 2008 à 09:16 (CET)

Je suis assez d'accord, d'autant que c'est de ce plan que je commençais à m'approcher.

La partie 1 n'est-elle pas à mettre en introduction ?

Il reste à trouver la place de l'historique : faut-il le reléguer à la fin pour faire plaisir aux non-matheux de wikipedia (comme dans la plupart des articles de maths, quand encore il existe), ou a-t-il une vraie utilité ? Je pencherais pour la deuxième solution, au moins pour la partie "inconnue", afin de distinguer problème d'équation, mais aussi dans les autres parties. Par exemple, il faut remettre l'ensemble d'étude dans l'Histoire : on commence par ne s'intéresser qu'aux entiers (ou rationnels, ce qui revient en fait au même) puis, à la renaissance, on "imagine" des nombres nouveaux (complexes) pour pouvoir résoudre certaines équations ! C'est quand-même une idée assez phénoménale.

J'accorderais moins de place aux paramètres dans les exemples : un paramètre permet de faire "varier" l'équation. Une équation avec un paramètre, c'est en fait une famille d'équations. Il faudra y faire attention, car dans certains exemples c'est très pertinent (résoudre ax+b=0 par exemple, avec a et b paramètres) dans d'autres, moins. D'autant que la plupart des concepts ici en jeu peuvent être illustrés par des exemples à la fois très simples et "historiques". Par contre, le paragraphe sur les paramètres est essentiel.

Disons que le découpage me satisfait pleinement (quoi que "autres définitions" me laisse songeur) mais qu'il y aura des choix à faire ensuite pour "remplir" chaque partie. ---- El Caro ^bla 23 novembre 2008 à 10:17 (CET)

Le plan me parait aussi très judicieux avec cependant deux bémols : la place accordée au paramètre et la transformation de l'équation en problème d'optimisation mais les autres contributeurs peuvent "bécarriser" mes bémols. Je soulève par ailleurs le risque de limiter les "objets inconnus" aux seuls nombres. le terme d'objet en math est vague, il faudrait le mettre en italique ou entre guillemets et préciser en note ou en parenthèse des types d'"objet mathématiques" (nombre, fonction, matrice...). HB (d) 23 novembre 2008 à 10:30 (CET)

Le plan proposé par Claudeh5. Je me permets donc de le mordre puisqu'il le propose si gentiment.

• El Caro a raison de recommander le placement de la définition informelle en introduction.

pas de problème. Je pense aussi que c'est ce qu'il faut faire.

• Il ne vaut mieux pas opposer inconnue et paramètre, car comme Claudeh5 le fait très justement remarquer plus haut, une inconnue peut servir de paramètre pour l'autre, par exemple dans une équation de droite. Ce qui caractérise le paramètre est la liberté (cf les définitions que j'ai listées plus haut). La formulation du deuxième point est à remanier, mais il faut effectivement en parler assez tôt.

la formulation est juste une proposition.

• Il existe d'autres transformations possibles que l'addition d'une constante et la multiplication par une constante non nulle.

Sûrement. A vos suggestions.

L'application d'une fonction bijective ? (l'inverse si rien n'est nul, un log pour résoudre 1,05^x=2 dans des problèmes de pourcentage, par exemple...) ---- El Caro ^bla 23 novembre 2008 à 18:52 (CET)

oui, bien sûr. D'autres ? ce ne sont que des suggestions.

• Les exemples sont à mon avis à distiller au long du texte, mais une dernière section peut renvoyer vers la foultitude d'articles sur les familles d'équations avec une brève explication d'une ligne à chaque fois.

tout à fait d'accord. Bon, en fait de morsure, je l'attends toujours...Claudeh5 (d) 23 novembre 2008 à 18:42 (CET)

Ambigraphe, le 23 novembre 2008 à 17:04 (CET)