YBC 7289

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Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien.
(Crédit :  Bill Casselman)

La tablette d'argile YBC 7289 (abréviation de Yale Babylonian Collection, no 7289) est une pièce archéologique de la période paléo-babylonienne écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Son intérêt réside dans le fait qu'elle est la plus ancienne représentation connue d'une valeur approchée de la racine carrée de deux, notée aujourd'hui √2. Depuis 1912, elle est en possession de l'université Yale.

Description[modifier | modifier le code]

Cette tablette a la forme d'un disque d'environ 8 cm de diamètre et 8 mm d'épaisseur.

Une face représente un carré et ses diagonales. Elle comporte les inscriptions suivantes en numération babylonienne[1] :

Inscriptions babyloniennes Valeurs décimales Nombre représenté Position
30 30 30 côté du carré
1   204   501   10 1 ; 24 ; 51 ; 10 1,41421296 le long d'une diagonale
402   205   305 42 ; 25 ; 35 42,4263889 sous cette diagonale

Au revers, on distingue les traces grandement effacées d'un problème qui semble concerner un rectangle de dimension 3 × 4 et diagonale 5[2].

Les suites de nombres basées sur un système sexagésimal se traduisent de la manière suivante[3] :

Histoire[modifier | modifier le code]

La tablette YBC 7289 a probablement été écrite par un scribe babylonien de la première dynastie, ce qui la situe entre 1900 et 1600 av. J.-C.[4]. La forme et les dimensions de la tablette laissent supposer qu'elle a été écrite, dans le sud de l'Irak actuel, par un apprenti scribe utilisant des valeurs connues issues d'une liste[5]. De telles tablettes, rondes et petites (entre 8 et 12 cm en général) tenaient aisément dans la main.

Elle a été achetée vers 1912 et publiée pour la première fois en 1945. Elle est actuellement conservée à l'université Yale.

Elle constitue à la fois le premier objet mathématique connu et la première pensée scientifique[4].

Analyse[modifier | modifier le code]

Schéma de la tablette YBC 7289.

Les trois nombres inscrits sur la tablette sont liés par la relation : . Ce qui se traduit par : la longueur de la diagonale d'un carré de côté 30 s'obtient en multipliant 30 par 1,41421296. Cette tablette présente donc la racine carré de 2 comme constante fondamentale de la géométrie[6].

La précision de cette valeur de la racine carrée de 2 est exceptionnelle, puisque proche du millionième. Les évaluations antérieures donnaient la suite « 1 ; 25 », ce qui représente environ 1,4167 (précision au millième)[7]. Cette précision ne sera atteinte que 2 500 ans plus tard, par l'Indien Govindashwamin ; le plus étonnant est que la valeur calculée au millième est largement suffisante pour toutes les applications pratiques (comme par exemple l'architecture)[8].

La tablette YBC 7243, qui donne des listes de nombres, contient, dans sa dixième ligne[9] :

« 1 24 51 10, la diagonale du carré »

sous-entendu : il faut multiplier le côté du carré par 1 24 51 10 pour obtenir sa diagonale. La tablette YBC 7289 consistait peut-être à calculer la diagonale d'un carré de côté 30 à partir d'une liste semblable à celle de YBC 7283, éventuellement apprise par cœur.

Pourquoi 30 ?[modifier | modifier le code]

Le système de numération babylonien ne permet pas de noter la valeur exacte d'un nombre, mais seulement celle-ci à un exposant 60 près[10]. Ainsi 30 peut-il signifier 30 comme 30×60, 30×60² ou 30/60, c'est-à-dire 1/2, etc.

Une hypothèse « sûrement moins arbitraire »[11] est que le « 30 » pourrait représenter le nombre 1/2. Le nombre 402  205  305 représenterait alors √2/2, soit 1/√2. Ainsi, la tablette donnerait (en valeur approchée) le couple de nombres inverses l'un de l'autre : √2 et 1/√2. Cette hypothèse est confortée par le fait que de tels couples de nombres apparaissent souvent dans les tablettes mathématiques babyloniennes : les scribes, plutôt que de diviser, multipliaient par l'inverse et de nombreuses tablettes contenant des listes de nombres et leurs inverses ont été retrouvées[11].

Cette hypothèse est parfois évoquée[12] mais peut aussi être remise en question. Ainsi David Fowler (en) et Eleanor Robson voient dans cette tablette le calcul d'un élève sur la diagonale d'un carré de côté 30 ninda (un ninda vaut environ 6 mètres[13]), le 30 provenant cette fois du fait que le carré étudié serait un carré classique, intervenant dans de nombreux problèmes, inscrit dans un carré de côté 1 UŠ, c'est-à-dire 60 ninda. Le premier nombre sur la diagonale serait alors un coefficient multiplicateur (approximation de √2) recopié à partir d'une table et le second une longueur exprimée en ninda[14].

Calcul[modifier | modifier le code]

La tablette ne donne aucune indication à propos de la méthode utilisée pour obtenir cette approximation. Une hypothèse est que celle-ci a été obtenue par une méthode itérative mathématiquement équivalente à celle connue plus tard sous le nom de méthode de Héron. Fowler et Robson ont proposé une reconstitution[15] s'appuyant d'une part sur certains calculs décrits dans d'autres tablettes, d'autre part sur des justifications géométriques par « coupé-collé » d'aires dont, à la suite des travaux de Jens Hoyrup, beaucoup d'historiens pensent qu'elles sous-tendent les calculs des mathématiques de l'époque[16]. Cependant jusqu'à présent[17], il n'existe aucune preuve d'un tel processus itératif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Rittaud 2006, p. 24.
  2. Eleanor Robson, «Mesopotamian mathematics», in Victor J. Katz,The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A sourcebook, Princeton University Press, 2007, p. 143
  3. Rittaud 2006, p. 25.
  4. a et b Rittaud 2006, p. 23.
  5. Fowler et Robson 1998, p. 366
  6. Rittaud 2006, p. 26.
  7. Rittaud 2006, p. 27.
  8. Rittaud 2006, p. 28.
  9. Fowler et Robson 1998, p. 372
  10. Cela ressemble à la notation de nos calculatrices contemporaines avec mantisse et exposant. Les Babyloniens ne retenaient que la mantisse à condition qu'elle ne se termine pas par un zéro et ne notaient pas l'exposant qu'ils conservaient mentalement. En fait, vue d'un œil moderne nous dirions que les Babyloniens calculaient en virgule flottante.
  11. a et b Fowler et Robson 1998, p. 368
  12. Fowler et Robson 1998, p. 368 citent le nom de Jöran Friberg (de)
  13. Fowler et Robson 1998, p. 369 note 8.
  14. Fowler et Robson 1998, p. 369-370.
  15. Fowler et Robson 1998, p. 370-376
  16. Christiane Proust, présentation du livre de Høyrup, 2002 Lenghts, Widths, Surfaces. A portrait of Old Babylonian algebra and its kin, en ligne sur le site educmath.
  17. 1998

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]