Discussion:Nombre normal

recopié de Projet:Mathématiques/problème sur un article

Cette page de discussion n'a pas l'air d'attirer les foules, mais je tente... L'article nombre normal prétend qu' « Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. » Or, le rationnel 1234567890/9999999999 = 0,1234567890123456789... me semble tout ce qu'il y a de plus normal en base 10. En fait, je penche pour une mauvaise traduction de (en) « No rational number is normal to any base, since the digit sequences of rational numbers are eventually periodic. » Voilà, j'ose pas toucher moi-même les articles de maths, donc si quelqu'un a 5 minutes pour jeter un coup d'œil... ;)-- ma page^discuter 16 mars 2007 à 09:09

d'après en: il semble qu'il y a deux concepts : un nombre "simply normal" (traduction classique en français : ???) a ses chiffres équidistribués, et ton exemple montre que les rationnels peuvent l'être. Mais la notion de "nombre normal" est plus forte : il faut que les séquences de deux chiffres soient toutes équiprobables, celles de trois chiffres aussi, etc. Et là aucun rationnel ne peut être normal au sens fort. Quelqu'un connaît -il les dénominations standard en français ? Peps 16 mars 2007 à 10:01

Dans tous les exposés auxquels j'ai assisté sur cette notion, l'expression nombre normal désignait bien la propriété forte. Mais la propriété faible n'y était pas envisagée.Salle 16 mars 2007 à 10:23

Je ne connaissais pas les nombres normaux. À la lecture de l'article, je propose les définitions suivantes :

On note

- N : ensemble des nombres entiers

- Z : ensemble des nombres relatifs

- R : ensemble des nombres réels

Pour A dans R et b dans N avec b > 1, on note :

- x la suite des chiffres de A dans la base b

- pour k et n dans N vérifiant n > k >= 1 et s dans (Z/bZ)^k, N(s,n) le nombre d'apparition la suite s parmi les n premiers chiffres de x.

On peut alors écrire la définition suivante :

A dans R est simplement normal en base b

<==>

qq soit k dans N* et qq soit s dans (Z/bZ)^k, on a

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N(s,n)}{n}}={\frac {1}{b^{k}}}$

On peut ensuite étendre cette définition de la manière suivante :

A dans R est normal

<==>

qq soit b dans N, b > 1, qq soit k dans N* et qq soit s dans (Z/bZ)^k, on a

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N(s,n)}{n}}={\frac {1}{b^{k}}}$

Je laisse les pros valider ....

Par ailleurs, à la formule "presque tous les nombres réels sont normaux", j'aurais préféré "l'ensemble des nombres normaux est dense dans R" au sens où qq soit x dans R et qq soit e>0, il existe A normal tq |A-x|<e ... La mesure de Lebègue est sûrement une excellente référence, mais elle est quand même moins accessible que la notion de densité, non ?

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 193.253.179.7 (discuter), le 6 février 2008 à 14 h 14‎.

La différence d'accessibilité ne me semble pas si importante (L2 vs L3 en France, il me semble, et encore on revient beaucoup sur la densité en L3) qu'il faille choisir de modifier aussi radicalement l'énoncé du résultat. D'ailleurs, je doute, au vu de WP:NPOV, qu'une raison d'accessibilité doive jamais nous faire choisir une telle modification. Salle (d) 6 février 2008 à 17:49

En outre, la notion de densité ne dit pas du tout qu'il y a « beaucoup » de nombres normaux. Rappelons que les rationnels sont denses dans R. Le fait que les nombres normaux forment une partie dense est une évidence. Le fait qu'ils forment une partie essentielle de R est bien moins trivial. Ambigraphe, le 6 février 2008 à 19:46

conctruction ?

« Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité des nombres qui n'ont pas de construction explicite. » Et on donne √2 comme exemple. S'il est un nombre irrationnel qu'on sait "construire", c'est bien celui-ci ! Qu'entend-on par "construire", ici ? ---- El Caro ^bla 13 février 2009 à 14:49

Aléatoire

Je viens de suprimer le mot "aléatoire" de la définition de nombre réel parce que ça ne va pas. Le nombre de Champernowne est normal et néanmoins il n'est pas du tout aléatoire meme ni dans le sense statistique ni sous la définition de la théorie algorithmique de l'information. Alors je l'ai changé par "equi-distribué" qui peut-etre n'est pas le meilleur mais beaucoup mieux et prècis. À la fin ce qui défini avec tout precision le concept c'est la définition donné en suite dans l'article. ici — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Hzenilc (discuter), le 10 mars 2007

je suis d'accord avec vous sur le fait que "aléatoire" ne correspond pas du tout à la définition de nombre normal. Cependant, j'ai remplacé "equi-distribué" (car ne correspondant à aucune définition mathématique précise concernant la notion de normalité (je me trompe peut-être)) par une définition que j'ai trouvé sur un livre parlant de pi (ISBN 9782842418250). La définition que j'introduis me paraît, en plus, en accord avec la "phrase mathématique". 10 octobre 2010 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Marmotton64 (discuter)

définition à préciser

Dans la première phrase de l'article, il est dit qu'un nombre normal doit [posséder des nuplets équirépartis] dans toutes les bases.

Or dans la suite de l'article, on trouve l'expression "normal en base 10", ou encore, "normal dans toutes les bases", Un nombre peut être normal dans une base mais pas dans une autre.

Je pense que la définition devrait alors être : "un nombre normal doit [posséder des nuplets équirépartis] dans une base donnée".

Ou alors si l'on veut conserver cette définition, il faut revoir les formulations dans le reste de l'article.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.245.116.37 (discuter), le 1/12/2016, 2 h 18‎.

Relisez le § Définition. Anne, 7 h 43

Nombre simplement normal

Le mini-article Nombre équiréparti pourrait avec profit être redirigé (et entièrement réécrit, donc pas besoin de procédure de PàS ou PàF) ici, au début de la section Définition(s). Anne, 1/9/2017

Simplification

transfert de ma pdd et réponse en suivant.

simplification (abusive à mon avis)

La definition : "normal en base b s'il est simplement normal en base bk pour tout entier k > 0" permet de simplifier la démonstration en évacuant les chevauchements des mots qui cassent l'indépendance. Une fois indépendant ça devient simple. Malheureusement, la définition ci-dessus est fausse, à mon avis: as tu une référence ? L'article de Borel de 1909 ? autre ref ? La proportion doit etre calculée sur tout les blocs de longueur k qui se chevauchent, ça n'equivaut pas à la base bk, qui revient à regarder des blocs disjoints consécutifs, je pense ... Je révoque en attendant que tu me détrompes, éventuellement ...

Chassaing 3 septembre 2017 à 23:30

J'avais pas vu la référence à Niven. Pas sûr que ce soit une amélioration, cependant, car la définition de Borel est plus forte en apparence, rendant le résultat plus frappant, et sa démonstration est plus simple et lumineuse. Qui plus est elle est self contained modulo la loi forte des grands nombres. De plus c'est la démonstration historique, à plus d'un titre:

• car c'est la motivation pour la premiere demonstration de la loi forte des grands nombres, un des théorèmes les plus importants des maths;
• probablement la première motivation-demonstration-utilisation du Lemme de Borel-Cantelli.
• première preuve d'existence probabiliste à ma connaissance, mais je peux me tromper.

Chassaing 3 septembre 2017 à 23:53

La définition est juste (j'avais mis les refs : Niven et surtout Pillai).

Pour ce qui est de la preuve du théorème, je n'ai pas accès à l'article de Borel 1909, mais c'est exactement avec sa définition (donc même sans la simplifier) que Niven et Hardy&Wright montrent (en utilisant seulement que toute réunion dénombrable de négligeables est négligeable) qu'il suffit de prouver que dans une base fixée, presque tout réel est simplement normal. Je ne crois donc pas avoir trahi Borel en supprimant le gros morceau inutile de ta démonstration et en laissant le principal (la loi forte des grands nombres). La seule chose que je regrette est d'avoir effacé ta note 7 : je ne sais pas comment la recycler.

Anne, 4/9/2017, 23 h 45

Là je suis un peu trop occupé pour lire Niven ou Hardy&Wright, mais je reste perplexe. J'y reviendrai en Octobre, car d'ici là je suis trop occupé. Merci pour les références. Chassaing 5 septembre 2017 à 15:04

 Anne Bauval et les autres, l'article de Borel de 1909 --Epsilon0 (discuter) 5 septembre 2017 à 23:23 (CEST).

Je vois qu'au moins à la fin (§27) il parle de nombres réels indéfinissables ... peut-être de quoi relancer le feu article Nombre définissable dont il ne reste que la pdd : Discussion:Nombre définissable ! --Epsilon0 (discuter) 5 septembre 2017 à 23:55 (CEST)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une proposition d'anecdote pour la section « Le Saviez-vous ? » de la page d'accueil, et basée sur cet article, a été proposée sur la page dédiée.
N'hésitez pas à apporter votre contribution sur la rédaction de l'anecdote, l'ajout de source dans l'article ou votre avis sur la proposition. La discussion est accessible ici.
Une fois l'anecdote acceptée ou refusée pour publication, la discussion est ensuite archivée là.
(ceci est un message automatique du bot GhosterBot le 08 septembre 2018 à 01:46, sans bot flag)