Transport parallèle

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Transport parallèle d'un vecteur autour d'une boucle fermée (de A à N à B et retour en A) sur une sphère. L'angle par lequel il a tourné est proportionnel à l'aire intérieure à la boucle.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le transport parallèle est une façon de définir une relation entre les géométries autour de points le long d'une courbe définie sur une surface, ou plus généralement sur une variété. Si la variété est munie d'une connexion affine (une dérivée covariante ou plus généralement une connexion sur le fibré tangent), alors cette connexion permet de transporter des vecteurs le long des courbes de telle sorte qu'ils restent « parallèles » par rapport à la connexion. Réciproquement, une notion de transport parallèle donne un moyen de relier les géométries de points voisins, et donc, en un certain sens, définit une connexion, qui est l'analogue infinitésimal du transport parallèle.

Le transport parallèle définissant une réalisation locale de la connexion, il définit aussi une réalisation locale de la courbure connue sous le nom d'holonomie. Le théorème d'Ambrose-Singer explicite cette relation entre les deux notions.

D'autres connexions admettent une forme de transport parallèle. Par exemple, une connexion de Koszul sur un fibré vectoriel permet le transport de façon analogue à l'utilisation d'une dérivée covariante. Une connexion d'Ehresmann permet de relever les courbes de la variété à l'espace total du fibré principal, ce qu'on peut interpréter comme un transport parallèle de référentiels.

Transport parallèle sur un fibré vectoriel[modifier | modifier le code]

Soit M une variété différentielle, EM un fibré vectoriel de dérivée covariante ∇ et γ: IM une courbe lisse paramétrée par un intervalle ouvert I. Une section de le long de γ est dite parallèle si

Soit un élément e0EP à P = γ(0) ∈ M. Le transport parallèle de e0 le long de γ est l'extension de e0 à une section X le long de γ. Plus précisément, X est la seule section de E le long de γ telle que

On peut remarquer que, localement, (1) définit une équation différentielle, avec les conditions initiales données par (2). Ainsi, le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence et l'unicité de la solution.

La connexion ∇ définit ainsi une façon de déplacer des éléments des fibres, et plus précisément des isomorphismes linéaires entre les fibres au dessus de points distincts γ(s) et γ(t) de la courbe :

.

Ces isomorphismes sont les applications de transport parallèle associées à la courbe. Ils dépendent en général du choix de la courbe ; lorsqu'ils n'en dépendent pas, il est alors possible de définir des sections parallèles de E sur M tout entier, mais cela ne se produit que si la courbure de ∇ est nulle.

En particulier, le transport parallèle sur une courbe fermée commençant en un point x définit un automorphisme de l'espace tangent en x, qui n'est pas nécessairement trivial. L'ensemble de ces automorphismes, pour toutes les courbes fermées en x, forme un groupe de transformations appelé le groupe d'holonomie de ∇ en x. Il y a une relation étroite entre ce groupe et la valeur de la courbure de ∇ en x, précisée par le théorème d'Ambrose-Singer.

Reconstruction de la connexion à partir du transport parallèle[modifier | modifier le code]

Étant donnée une dérivée covariante ∇, le transport parallèle le long d'une courbe γ s'obtient en intégrant la condition . Réciproquement, si l'on dispose d'une notion convenable de transport parallèle, on en déduit une connexion par différentiation. Cette approche est essentiellement due à Knebelman, en |1951[1].

Plus précisément, soit, pour chaque courbe γ de la variété, un ensemble d'applications

telles que

  1. , l'identité de Eγ(s).
  2. Γ est une fonction « lisse » de γ, s, et t.

(la condition 3 est quelque peu délicate à rendre rigoureuse (voir plus bas la discussion concernant le cas des fibrés vectoriels). En particulier, les auteurs modernes comme Kobayashi et Nomizu voient généralement le transport parallèle de la connexion comme provenant d'une autre connexion, où la notion de fonction lisse est plus aisément formulée).

Si l'on interprète ces applications comme des transports parallèles , il est possible de retrouver la connexion infinitésimale associée de la manière suivante. Soit γ une courbe différentiable de M d'origine γ(0) et de vecteur tangent initial X = γ′(0). Si V est une section de E sur γ, on pose

Cela définit une connexion ∇, et on retrouve Γ comme transport parallèle associé à ∇.

Un cas particulier : le fibré tangent[modifier | modifier le code]

Soit M une variété différentielle. Une connexion sur le fibré tangent de M, appelée connexion affine, permet de distinguer une classe de courbes appelées géodésiques (affines)[2]. Une courbe lisse γ: IM est une géodésique affine si est transportée parallèlement le long de , c'est-à-dire si

En dérivant par rapport au temps, on obtient la forme plus familière

Transport parallèle en géométrie riemannienne[modifier | modifier le code]

En géométrie pseudo-riemannienne, une connexion métrique (en) est une connexion dont les applications de transport parallèle préservent le tenseur métrique, c'est-à-dire une connexion Γ telle que pour tout couple de vecteurs (X, Y) de Tγ(s), on ait

Prenant la dérivée en t=0, on voit que l'opérateur différentiel associé, ∇, doit satisfaire une règle du produit par rapport à la métrique :

Géodésiques[modifier | modifier le code]

Si ∇ est une connexion métrique, les géodésiques affines sont les géodésiques usuelles de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire les courbes de longueur (localement) minimale. Plus précisément, on remarque d'abord que si γ: IM est une géodésique (avec I intervalle ouvert), la norme de est constante sur I, puisque

Appliquant le lemme de Gauss, on en déduit que si A est la norme de , la distance induite par la métrique entre deux points de la courbe γ suffisamment proches γ(t1) et γ(t2) est donnée par

La formule ci-dessus pourrait ne pas être vraie pour les points qui ne sont pas assez proches puisque la géodésique pourrait par exemple s'enrouler autour de la variété (comme dans le cas d'un cylindre).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Le transport parallèle peut être défini de manière plus générale pour d'autres types de connexions, et pas seulement pour celles définies sur un fibré vectoriel. Une de ces généralisations existe pour les connexions principales[3]. Soit PM un fibré principal sur une variété M sur laquelle opère un groupe de Lie G et une connexion principale (en) ω (c'est-à-dire une 1-forme différentielle à valeurs dans l'algèbre de Lie de G, avec des conditions de compatibilité convenables[4]). Comme pour les fibrés vectoriels, ω définit, pour chaque courbe γ de M, une application

de la fibre au dessus de γ(s) vers celle au dessus de γ(t), qui est un isomorphisme d'espaces homogènes, pour chaque gG.

D'autres généralisations du transport parallèle existent. Dans le cas des connexions d'Ehresmann, où la connexion repose sur une notion de « relèvement horizontal (en) » d’espaces tangents, on peut définir un transport parallèle par relèvement horizontaux. Dans le cas des connexions de Cartan (en), qui sont des connexions d'Ehresmann munies de structures supplémentaires, ce transport parallèle peut être vu comme le « roulement » d'un certain « espace modèle (en) » le long d'une courbe de la variété ; ce roulement est appelé un développement, par analogie avec les notions de développée et de courbe développante.

Approximation : l'échelle de Schild[modifier | modifier le code]

Deux barreaux de l'échelle de Schild. Les segments A1X1 et A2X2 approximent au premier ordre le transport parallèle de A0X0 le long de la courbe.

Une approximation discrète du transport parallèle est donnée par l'échelle de Schild (en), qui effectue des pas finis le long de la courbe, et approche les parallélogrammoïdes de Levi-Civita (en) par des parallélogrammes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Knebelman 1951, cité par Guggenheimer 1977.
  2. Kobayashi et Nomizu 1996, chapitre III
  3. Kobayashi et Nomizu 1996, chapitre II
  4. De façon précise, ω appartient à et vérifie 1)Rg est la multiplication à droite par g, et ) ; 2) si et Xξ est le champ de vecteurs sur P associé à ξ en différentiant l'action de G sur P, alors ω(Xξ) = ξ (pour tout ξ).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]