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En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.
La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.
La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.
Définition
Soit un espace vectoriel de dimension finie , ainsi que deux bases et telles que le changement de base de vers s'écrit:
Soit alors une famille de fonctions, chacune de vers un espace vectoriel de même corps que .
Les familles de vecteurs et sont alors notées respectivement et .
est dite covariante lorsque
L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:
est dite contravariante lorsque
L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:
Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs et , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.
Exemples
Décomposition dans une base
Théorème et définition —
Les coefficients de l'unique décomposition d'un vecteur dans une base forment une famille contravariante de scalaires appelés coordonnées contravariantes, qui sont donc notés avec un indice haut.
Démonstration
Soit un vecteur et une base .
s'écrit de manière unique:
Les scalaires forment alors une famille de fonctions de vers .
Dans la base , s'écrit:
Par conséquent:
Et donc, compte tenu de l'unicité de la décomposition de dans la base :
∎
Produits scalaires dans une base
Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas.
Démonstration
Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base peuvent être écrits:
Ces scalaires forment une famille de fonctions de vers .
Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas.
Démonstration
C'est une conséquence directe de la linéarité de l'opérateur de dérivation directionnelle selon la direction.
Si est un - ou -espace vectoriel de dimension finie, alors et son dual sont isomorphes. Par conséquent, à tout vecteur de correspond un unique vecteur de , et on identifie parfois les deux. Dans l'énoncé suivant, la deuxième égalité doit donc être comprise comme une correspondance plutôt que comme une égalité.
De plus, ce qu'on entend par "produit scalaire" dans l'énoncé suivant et sa démonstration est en réalité le crochet de dualité de et de , c'est-à-dire le résultat de l'application de la forme linéaire à .
Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.
C'est-à-dire:
Démonstration
On a, par définition des coordonnées du vecteur :
Par définition de la base duale, on a , d'où, en calculant le produit scalaire par :
Et donc:
C'est-à-dire:
∎
Démonstration
s'écrit, dans la base duale :
Le produit scalaire par donne:
et donc:
D'où:
∎
Produit contracté
Théorème et définition —
Soient
et deux familles respectivement contravariante et covariante, à valeurs dans une algèbre associative. L'expression
ne dépend pas du choix de la base utilisée, et est appelée produit contracté.
Démonstration
En notant et les expressions des deux familles dans la base , il vient:
∎
Extension en géométrie différentielle
En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables. Cependant, les variétés différentielles sont, localement, assimilables à des espaces vectoriels à travers les espaces tangents. Des correspondances
naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées .
Localement, ces coordonnées varient selon les différentielles:
Les différentielles forment alors une base dans l'espace tangent, tandis que les dérivées partielles forment la matrice de passage.
Dès lors, lorsqu'un ensemble de fonctions varie comme les différentielles, c'est-à-dire lorsque
alors est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice .
Lorsqu'un ensemble varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque
ou
,
alors est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice .
peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres. La transformation la plus générale s'écrit alors:
Ceci constitue une définition simplifiée du concept de tenseur.
Certains auteurs, tels que Sean M. Carroll (cf. bibliographie), préfèrent poser le symbole prime sur les indices et non sur le tenseur. Ils notent ainsi:
Autres usages du vocable
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Les concepts de covariance et contravariance se retrouvent dans d'autres domaines, comme en informatique, notamment concernant le typage des données. Le lien entre ces différents usages
traduit une structure commune plus abstraite qui relève essentiellement de la théorie des catégories.
Bibliographie
Le calcul tensoriel en physique, Jean Hladik, Masson 1995